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Di elezioni e gelatai

Domani si vota in parecchie città italiane. Rispetto anche a solo pochi anni fa i giochi sono di nuovo cambiati, e almeno in città come Milano si direbbe che il bipolarismo non sia più di moda, e occorra tenere presente l’esistenza di più coalizioni, l’una contro l’altra armata. La matematica delle coalizioni è una cosa complicata e deludente per gli amanti del determinismo: il teorema di Arrow afferma infatti che, dato un insieme di condizioni generalmente condivisibili, è impossibile essere certi di trovare un ordinamento univoco dei candidati. Ma anche in un sistema bipolare le cose non sono poi così semplici come potrebbe sembrare a prima vista!

Spesso si sente parlare della metafora della spiaggia e dei gelatai per “dimostrare” che in un sistema bipolare i due candidati tendono a portarsi entrambi al centro dello schieramento, o almeno a trovarsi su posizioni molto simili. Se non ne avete mai sentito parlare, ecco una descrizione della metafora.

Siamo su una bella spiaggia lunga un chilometro, e ci sono due gelatai che hanno il loro carretto e un duopolio – la spiaggia non offre più di tante risorse economiche – per vendere calippi e cornetti ai bagnanti, che immaginiamo uniformemente distesi a prendere il sole e giocare a beach volley. Il loro posizionamento più logico, almeno visto da un osservatore esterno, è mettersi uno a 250 metri dall’inizio della spiaggia e uno a 250 metri dalla fine della spiaggia; in questo modo si dividono equamente i bagnanti, e nessuno deve fare più di 250 metri per andarsi a dissetare. Ma ecco che il gelataio di destra fa un ragionamento “intelligente”. Se io mi sposto di 100 metri verso il centro, si dice, mantengo tutta la mia clientela originale; quelli in fondo alla spiaggia continueranno a dover passare davanti a me prima di poter raggiungere il mio collega. Se però la mia posizione non è più al metro 750 ma al 650, chi si trova tra il metro 450 e il 500 scoprirà che il gelataio più vicino adesso sono io, e quindi mi piglio quei clienti in più! Il gelataio di sinistra però non vuole farsi rubare così la clientela, e fa la stessa manovra; anzi raddoppia, diventando un gelataio di centro-centrosinistra e posizionandosi al metro 450. In questo modo, non solo si riprende i suoi vecchi clienti, ma in più otterrà anche quelli che stanno tra il metro 500 e il 550. Alla fine di questo balletto di spostamenti, la nuova soluzione di equilibrio vede i due carretti fianco a fianco al centro della spiaggia, con la stessa clientela iniziale; in compenso che sta agli estremi della spiaggia ora è costretto a percorrere ben 500 metri per procacciarsi il suo gelato. Ottimo risultato, non è vero?

La metafora è molto cruda, ma dà sicuramente una rappresentazione visuale molto vivida; chi ama portarla come esempio è poi anche pronto a spiegare perché uno dei gelatai non ha invaso la metà spiaggia altrui. La risposta, nel caso ve lo chiediate, è che arriverebbe subito un terzo gelataio che si posizionerebbe a metà spiaggia e otterrebbe così la maggioranza dei votant… pardon, dei bagnanti. Tutto perfetto, allora? No, naturalmente non è cosi.

Il guaio, come capita spesso con i modelli matematici applicati alla vita reale da chi queste cose non è abituato a farle, è che il modello è troppo grezzo e non coglie un qualche aspetto essenziale della situazione. Il problema non è, come si potrebbe immaginare, avere supposto che i bagnanti siano uniformemente distribuiti; basta infatti prendere le misure in bagnanti dall’inizio della spiaggia, anziché in metri, e tutto torna. Anche questa è una regola importante in matematica: scegliendo opportunamente il modo in cui si misurano le cose, la risoluzione può notevolmente semplificarsi. In questo caso il ragionamento non funziona per un motivo molto più prosaico. Cosa succede se gli “estremisti”, quelli cioè che stanno ai due lati della spiaggia, decidono che non vale la pena fare tutta quella strada per un banale gelato e se ne stanno dove sono? Succede che il gelataio dal loro lato rimane fregato lo stesso. Tornando alle elezioni, succede che se i candidati principali si spostano verso il centro aumenta contestualmente l’astensionismo, cosa che ci è capitata di vedere in pratica anche da noi.

Accenno ancora a un ultimo interessante punto. Nel nostro nuovo modello, quello coi bagnanti astensionisti, risulta abbastanza naturale vedere arrivare sulla spiaggia alcuni gelatai molto schierati (nel senso che si posizionano agli estremi del lido) che intercettano gli acquisti dei delusi. Ottengono molto probabilmente una minoranza di clienti, ma il loro seguito ce l’hanno; e non rubano affatto clienti ai gelatai storici, checché loro affermino con strepitii e alti lai. Nelle elezioni reali non possiamo esserne certi, a differenza che in questo modello giocattolo dove possiamo variare a piacimento i parametri; ma la cosa è comunque plausibile. Visto quante cose si ricavano da un semplice modello, pur se evidentemente schematico e impreciso? La parte difficile per il matematico applicato è capire quali sono i limiti e cosa si può ricavare: peccato che nessun non-matematico ci pensi mai…