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Il paradosso di Monty Hall

Di paradossi in matematica, veri o presunti, ce ne sono tanti. Ma sono pochi quelli che possono avere al loro attivo un libro interamente dedicato a essi, come il paradosso di Monty Hall. L’esposizione del paradosso è piuttosto semplice, ma occorre stare estremamente attenti alla formulazione, perché cambiare una sola parola può modificare completamente la soluzione!

Innanzitutto il testo per così dire “ufficiale” del problema, dove ho solo cambiato alcuni nomi (Monty Hall è stato un presentatore televisivo americano, ma tanto lui non ha mai presentato quel gioco…). Gerry Scotti presenta il suo quiz preserale, Chi vuol essee ferrarista?. Questa volta il concorrente siete voi; avete sbaragliato il campo e alla prova finale vi trovate davanti a tre porte: dietro una di esse si trova una Ferrari, dietro le altre due una fotografia di una Ferrari. Gerry vi fa scegliere una porta, e voi indicate la numero 1; poi, come tutte le volte in cui un concorrente è arrivato in fondo, sfoggia il suo miglior sorriso e ci dice «Ma ne è proprio sicuro? Guardi, lei mi è simpatico (non si sa come, tutti gli sono simpatici…) e voglio aiutarla. Adesso le apro una porta che non le sarebbe piaciuto scegliere, visto che lì dietro c’è solo la foto della Ferrari». E in effetti apre la porta numero 3, dove c’è effettivamente solo una foto. «Bene!», prosegue il presentatore, «ora la scelta è più limitata. Se vuole, togliamo 500 euro dal suo montepremi e le permettiamo di cambiare la scelta. È un’offertona! Che ne pensa?» Voi sapete che nelle puntate precedenti Gerry Scotti ha sempre fatto quell’offerta, che ogni volta è stata effettivamente aperta una porta senza Ferrari e che il presentatore non sembra avere una predilezione per una porta particolare. Che fareste?

La gente a cui questo scenario viene presentato per la prima volta si divide in due gruppi: quelli che pensano che dopo l’apertura di una porta le probabilità di ciascuna delle due porte rimaste crescano allo stesso modo al 50%, e quindi non cambierebbero certo la propria scelta, e quelli che invece preferiscono cambiare porta, ritenendo di avere un vantaggio. Vi dico subito che la risposta corretta è quest’ultima, qualunque cosa ne possiate pensare; cambiare porta raddoppia le vostre possibilità di vincita! Come può succedere una cosa del genere? Beh, il punto fondamentale è che bisogna fare molta attenzione alla formulazione del problema. Vediamo alcune varianti del problema, con un loro risultato distinto.

– Se il presentatore non sa dov’è la porta che nasconde la Ferrari, potrebbe aprirla per sbaglio. Il buon andamento del programma ne risentirebbe, in effetti; ma supponendo che nella puntata che stiamo osservando questo non sia capitato, a questo punto entrambe le porte rimaste hanno la stessa probabilità di essere quella giusta.
– Se il presentatore non offre sempre la possibilità di cambiare porta, potrebbe darsi che stavolta lo faccia cercando di dissuadervi dalla vostra scelta iniziale, per evitare di far sforare il budget della trasmissione; quindi vi potrebbe convenire non cambiare porta.
– Se sapete che il presentatore ama aprire se possibile la porta numero 1, voi avete scelto la porta numero 2 e stavolta apre la numero 3, è probabile che la porta 1 sia quella giusta.
– Se una persona totalmente ignara di come funziona la trasmissione accende la TV dopo la proposta del presentatore, e vede solo due porte senza conoscere quella scelta in precedenza dal concorrente, per lui una porta o l’altra pari sono.

Da questi esempi potreste aver capito che calcolare la probabilità di un evento, nel nostro caso la posizione della Ferrari, dipende dalla conoscenza a priori che noi abbiamo; un’ovvietà che però spesso viene dimenticata. Nella formulazione del problema che io ho dato, il presentatore in alcuni casi ha delle scelte forzate; visto che per ipotesi deve sempre aprire una porta, se noi abbiamo scelto una delle due porte senza Ferrari lui non può fare altro che aprire l’altra. A questo punto possiamo metterci a fare i conti esplicitamente. Immaginiamo di scegliere la porta numero 1 (negli altri due casi il ragionamento è naturalmente lo stesso); immaginiamo inoltre di avere seicento universi paralleli, in ciascuno dei quali le scelte avvengono a caso. Insomma, in duecento universi la Ferrari è dietro la porta numero 1, in altri duecento dietro la numero 2, e negli ultimi duecento dietro la porta numero 3. Nel secondo caso i duecento presentatori paralleli ci apriranno la porta numero 3, e a noi converrà cambiare scelta; nel terzo caso ci apriranno la porta numero 2, e di nuovo a noi converrà cambiare porta; ma nel primo caso ci saranno cento presentatori (e non duecento!) che aprono la porta numero 2 e altri cento che aprono la 3. In tutti i casi cambiare scelta risulterà esiziale, ma sono solo duecento i cloni che sono stati fregati, contro i quattrocento che si fregano le mani. Insomma, cambiare porta va bene due volte su tre.

Se non siete ancora convinti della validità del ragionamento, vi propongo una scommessa. Scegliete un’estrazione del lotto. Come forse sapete, vengono estratti tre volte la settimana cinque numeri tra 1 e 90 su undici ruote distinte, per un totale di 55 numeri. Le estrazioni non sono completamente indipendenti tra loro, visto che un numero non può apparire due volte sulla stessa ruota, ma non dovrebbe essere un gran problema… e se lo fosse scegliete cinque estrazioni consecutive prendendo solo il primo estratto di ciascuna ruota. Dividiamo i numeri in tre classi: quelli da 1 a 30 nella classe 1, quelli da 31 a 60 nella 2, quelli da 61 a 90 nella X; vostro compito è fare 55 predizioni su qual è la classe del numero estratto, il che è equivalente a scegliere la porta vincente fra le tre possibilità. Io faccio il Monty Hall della situazione; per ciascuna vostra scelta guarderò i risultati prima di voi e vi indicherò una classe che sicuramente non è quella giusta, cioè aprirò una porta senza premio. Siete d’accordo che la situazione è equivalente al problema di Monty Hall? Se no, ditemi il perché e ne discutiamo; se sì, e siete convinti che cambiare scelta sia ininfluente, accetterete indubbiamente di fare 55 scommesse a 1.10 contro 1; per ogni estratto, se avete indovinato vi do 11 euro, altrimenti me ne date 10 voi.

Per la cronaca, propongo tante scommesse per ridurre la probabilità di colpi di fortuna; è chiaro che sul singolo caso non ha molto senso scommettere. In media, direbbe Trilussa, vincerete ventisette volte e mezzo e perderete altrettante volte; il vostro guadagno medio sarà dunque di 27 euro e mezzo. Non moltissimo, ma nemmeno qualcosa da buttare via. Se preferite una scommessa fissa, possiamo fare così: se di questi 55 casi ne vincete 25 o più vi darò 10 euro, se ne vincete 24 o meno li darete a me. Non c’è trucco non c’è inganno! Anzi, se avete accettato la scommessa posso permettermi il lusso di dirvi cosa vi dirò: guardate l’algoritmo qui a fianco. Il fatto che il mio algoritmo sia completamente deterministico (non ho nessuna scelta nel dirti quale classe non è stata estratta) e che io esprima la mia scelta dopo aver saputo i risultati sono i punti chiave nella definizione del modello.

Due curiosità: la prima presentazione del paradosso, almeno a quanto ne so, è stata fatta dal solito Martin Gardner nella sua rubrica sullo Scientific American, addirittura nel 1959! Trovate il problema dei tre prigionieri nel secondo volume dei suoi Enigmi e giochi matematici. Il libro sul paradosso di Monty Hall è questo; lo consiglio vivamente a chi è interessato a questo tipo di paradossi, visto che è un’ottima lettura per chi voglia addentrarsi nel regno del calcolo delle probabilità con una guida sicura.