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Lotteria allettante

Nel numero di giugno 1983 dello Scientific American, Douglas Hofstadter indisse una lotteria tra tutti i lettori dello Scientific American. Il nome della lotteria era “The Luring Lottery”; i biglietti erano gratuiti, e chiunque poteva acquisirne quanti ne voleva; le uniche restrizioni erano che il numero di biglietti da chiedere fosse un numero intero positivo, e che si potesse fare una sola richiesta, scrivendo il numero di biglietti che si voleva in una cartolina postale da spedire alla redazione del mensile. Avrebbe vinto colui o colei che avesse indicato il numero maggiore; nel caso in cui più persone avessero scelto lo stesso numero vincente, il premio sarebbe stato diviso tra di loro. Il premio era sicuramente interessante: poteva arrivare fino a un milione di dollari! Per la precisione, era 1000000/B dollari, dove B era il numero totale di biglietti acquisiti. Quale fu il risultato finale?

Nonostante la lotteria fosse pubblicizzata al termine di un numero della rubrica in cui si parlava di collaborazione contro egoismo, i risultati furono sconsolanti, tranne per chi aveva offerto il montepremi. Ci furono persone che scrissero numeri enormi, addirittura inventandosi notazioni apposite – non che servissero; bastava per esempio usare la notazione a frecce di Knuth – pur di vincere. Alla fine non si sa neppure chi sia stato il vincitore, ma tanto la cosa non aveva più alcuna importanza: come potete facilmente intuire, bastava già che qualcuno avesse scritto un numero maggiore di 200 milioni e il montepremi sarebbe diventato minore di mezzo centesimo, quindi arrotondato a zero. Ne ha parlato qualche settimana fa anche Maxwell’s Demon: lui ha persino fatto un esperimento pratico con i cento studenti universitari del suo corso. Ogni studente avrebbe dovuto scrivere un numero intero positivo; tutti quelli che avrebbero scelto il numero più alto si sarebbero divisi il premio finale, che in questo caso sarebbe stato 1000000/N dollari, dove N era il numero vincente. Anche in questo caso il risultato finale è stato lo stesso. E dire che Maxwell’s Demon aveva anche spiegato ai suoi studenti che un essere razionale avrebbe scritto il numero 1, e così ciascuno di loro avrebbe guadagnato 10000 dollari; ma aveva anche accennato al fatto che se novantanove di loro avessero fatto così e il centesimo avesse scritto 2, costui o costei si sarebbe felicemente portato/a a casa ben mezzo milione di dollari. È probabilmente bastato quell’accenno per far scattare qualcuno a scrivere numeroni assurdi…

Molti di voi, a leggere di questo esperimento, si saranno ricordati del dilemma del prigioniero: due criminali vengono arrestati e interrogati separatamente per vedere se confessano un reato da loro commesso. Se entrambi confessano, saranno condannati a cinque anni perché verranno date loro le attenuanti generiche; se entrambi negano di essere coinvolti nel reato, verranno condannati a due anni di reclusione per altri reati minori; ma se uno solo confessa, lui verrà liberato mentre l’altro si cuccherà dieci anni di gattabuia. Se si guarda il risultato globale, conviene che entrambi restino zitti; ma ciascuno dei due può sperare che il suo compagno di merende sia collaborativo (con lui) e quindi fare il collaboratore (con la polizia), per un risultato finale peggiore. In questo caso, il numero maggiore di utenti rende ancora più evidente la difformità tra quello che dice la teoria matematica e quello che succede in pratica, o se preferite la differenza tra un comportamento individualista e uno superrazionale, che cerchi di ottimizzare il risultato complessivo pur sapendo di non ottimizzare il proprio risultato. In prima approssimazione, se i cento studenti dell’esempio qui sopra fossero stati esseri superrazionali avrebbero scelto a caso un numero tra 1 e 100, e avrebbero tutti scritto 1 tranne nel caso in cui qualcuno avesse ottenuto 2, nel qual caso avrebbe scritto 2. In seconda approssimazione sarebbe probabilmente stato meglio scegliere – sempre a caso – un numero in un insieme un po’ più limitato, perché c’è circa il 37% di probabilità che a nessuno fosse uscito il 2… ma questa è un’altra storia, chissà se riuscirò a parlarvene. Nella lotteria allettante hofstadteriana il comportamento dell’essere superrazionale sarebbe stato di stimare quanti altri avrebbero voluto partecipare; se il numero di persone previsto fosse stato P, il nostro amico (anzi tutti i nostri amici, visto che l’ipotesi fondamentale è che si sia tutti superrazionali) avrebbe inviato una cartolina con su scritto “1” con una probabilità di 1/P o leggermente superiore per le stesse ragioni di cui sopra. E in effetti, quando ai tempi io lessi la rivista, la mia dislessia mi fece erroneamente capire «The Lurking Lottery»; e il bello è che la cosa avrebbe anche avuto senso!

Termino con un altro esempio in cui la strategia “naturale” porta a pessimi risultati. Supponete che io metta all’asta una banconota da 100 euro. Potete fare tutti i rilanci che volete, offrendo sempre un numero intero di centesimi; l’unica clausola è che io intascherò i soldi delle due persone che hanno fatto le offerte maggiori, e non solo quelli del vincitore. Pronti? Via! Amanda subito fa un’offerta di un centesimo; se l’asta la vincesse lei, avrebbe un utile di 99 euro e 99 centesimi, il che ammetterete non è male. Ma immediatamente dopo Boris fa un rilancio e porta l’offerta a due centesimi; se l’asta fosse vinta da lui, avrebbe un utile di 99 euro e 98 centesimi. Ma attenzione! In questo momento Amanda ha una perdita virtuale di un centesimo (la sua è la seconda offerta) e quindi conviene anche a lei rilanciare a tre centesimi. Il suo utile teorico sarebbe ora di 99 euro e 97 centesimi, peggio di prima ma sempre meglio di niente. Ora è Boris a trovarsi davanti una perdita virtuale di due centesimi, e pertanto è costretto a rilanciare a 4 centesimi. E così via: quello che è peggio è che quando a furia di rilanci Boris offre 100 euro (sì, non guadagna nulla, ma altrimenti perderebbe 99,98 €) Amanda è di costretta a offrire 100 euro e un centesimo. Sì, se “vincesse” l’asta perderebbe un centesimo, ma è sempre meglio di perdere 99,99 € per avere fatto la seconda miglior offerta, no? E Boris allora dovrà offrire 100,02 € e Amanda 100,03 €, e così via all’infinito. Ricordatevelo: sempre meglio leggere le clausole in piccolo, prima di lanciarvi nell’azzardo!