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problemini matematici natalizi

Come per i problemini matematici ferragostani, in questi problemi non c’è nulla di esplicitamente natalizio: semplicemente vengono pubblicati nel giorno di Natale per chi non sopporta la tombola. Le risposte arriveranno a San Silvestro :-)

1. Quadrati e radici quadrate
Considerate i numeri della forma round(n+√n), con n intero positivo; in pratica, prendete un numero intero positivo, sommategli la sua radice quadrata e arrotondatelo all’intero più vicino (se la parte decimale è minore di 0,5 si arrotonda per difetto, altrimenti per eccesso). Dimostrate che non si può mai ottenere un quadrato perfetto.

2. Potenze di cinque
Scrivete le prime potenze di 5 (25, 125, 625, 3125, 15625, 78125) come espressione numerica che usi le cifre del numero in un altro modo. Per farvi un esempio: se avessimo dovuto fare la stessa cosa con 64, avremmo potuto scrivere √(4⁶). Si congettura che la cosa sia possibile per tutte le potenze di 5, ma la cosa non è stata dimostrata.

3. Rosso e blu
Supponiamo di colorare tutti i punti di una retta di rosso oppure di blu: lo si può fare in modo che non esistano due punti a distanza esattamente 1 dello stesso colore, come si vede nella figura qui sotto. Tutti i segmenti colorati sono di lunghezza 1; l’estremo sinistro fa parte del segmento ma quello destro no. Due punti all’interno di un segmento sono pertanto a distanza strettamente minore di uno, e due punti in segmenti distinti dello stesso colore sono a distanza strettamente maggiore di 1.

Dimostrate che passando al piano due soli colori non bastano per evitare di avere due punti dello stesso colore a distanza 1.

4. Volta la carta
Avete davanti a voi due file di quattro carte, come mostrato nella figura qui sotto. Qual è il minimo numero di carte da spostare per fare in modo che la somma dei numeri di tutte le file sia la stessa?

5. La generazione dei quadrati
Posizionate dodici fiammiferi come in figura, ottenendo tre quadrati. È possibile raddoppiare il numero di quadrati aggiungendo solo tre fiammiferi? I fiammiferi non si possono sovrapporre né spezzare.