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Le mirabolanti proprietà dell’insieme vuoto

Un aneddoto divertente racconta di come un filosofo, per validare la tesi «tutti i corvi sono neri», andava raccogliendo esempi di oggetti variopinti che non erano corvi. Quando gli chiedevano spiegazioni, rispondeva dicendo «Affermare che tutti i corvi sono neri è equivalente ad affermare che tutte le cose non-nere sono non-corvi; quindi una pietra bianca corrobora la mia tesi!». L’affermazione è paradossalmente vera, anche se in pratica è assolutamente inutile; ci sono talmente tanti oggetti non-neri e non-corvi che il rafforzamento della nostra ipotesi è talmente impercettibile da essere praticamente nullo. La logica è anche questo. Ma succedono cose ancora più strane quando si prende in considerazione l’insieme vuoto: qui davvero il buon senso e il senso logico sembrano prendere due strade completamente diverse!

Innanzitutto, cerchiamo di capire cos’è esattamente l’insieme vuoto. In un certo senso è l’equivalente del numero zero, ed è accomunato ad esso dal non essere stato a lungo considerato qualcosa di reale. Come si fa a contare zero pecore? Per farlo non devi avere nemmeno iniziato a contare. E se un insieme è una collezione di elementi, come si fa ad avere una collezione senza elementi? E poi, senza quali elementi? Detto questo, mi affretto ad aggiungere che zero e insieme vuoto sono due cose ben distinte, e quest’ultimo ha ancora meno esistenza fisica del primo. In effetti è forse più semplice definire l’insieme vuoto – ah, ci sono ben due modi diversi per indicarlo; due graffe senza nulla in mezzo, {}, oppure il simbolo ∅. Un’esagerazione, vero? – per completamento. Se partiamo dall’assunto che l’intersezione di due insiemi è ancora un insieme, e prendiamo due insiemi disgiunti, la loro intersezione… non c’è. Oppure possiamo dire che c’è, ed è l’insieme vuoto, cioè un insieme con zero elementi.

Dall’insieme vuoto si può andare avanti a costruire i numeri naturali, se si vuole; l’insieme { {} } non è vuoto, perché ha un elemento, per l’appunto l’insieme vuoto; associamo questo nuovo insieme al numero 1, e andiamo avanti con l’insieme { {}, { {} } } – spero che non vi si siano incrociati gli occhi… –, che ha ben due elementi, e così via. Ex nihilo aliquid, insomma; quando Kronecker disse che Dio creò i numeri naturali mentre tutto il resto era opera dell’uomo ha fatto delle ipotesi non necessarie.

Ma questo è nulla. Tanto per dire, l’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme, il che ci permette di enunciare la formula che afferma che ci sono 2ⁿ sottoinsiemi di un insieme di n elementi. Nell’algebra booleana l’insieme vuoto rappresenta il concetto di “falso” contrapposto all’universo, cioè a tutti i concetti possibili, che invece rappresenta il concetto di “vero”. Ma fin qui ci siamo limitati a poco più che definizioni; ora arriva il bello.

Nella logica matematica vengono usati due quantificatori, simboli che indicano quanti oggetti di un insieme hanno una certa proprietà: c’è ∃ che assomiglia a una E rovesciata e significa “esiste” (cioè c’è almeno un elemento dell’insieme ha quella proprietà) e ∀ che assomiglia a una A rovesciata, in inglese all, e significa “per ogni” (tutti gli elementi dell’insieme hanno quella proprietà). Prendiamo l’insieme vuoto; possiamo immaginarci una qualunque proprietà, e siamo certi che tale proprietà varrà per ogni elemento dell’insieme vuoto! Per esempio, per ogni numero primo pari maggiore di due si ha che la somma delle cifre del numero stesso è una potenza di due. La cosa vi appare impossibile? È solo perché noi siamo abituati a pensare che ci sia almeno un elemento nel nostro insieme di partenza. Ma qui siamo nella stessa situazione del filosofo che voleva dimostrare che tutti i corvi sono neri: dire che «per ogni A vale P» è la stessa cosa che dire «in tutti i casi in cui P è falsa, anche A è falsa». E in effetti penso concorderete tutti con me: se la somma delle cifre di un numero non è una potenza di due, quel numero non è un numero primo pari maggiore di due.

Magari state pensando che tutto questo sistema è uno dei soliti sporchi trucchi dei matematici, e non ha alcun utilizzo pratico. Beh, vi sbagliereste. Sappiate che ci sono molte dimostrazioni, specialmente quelle che si fanno per induzione, in cui capita che in un caso si possa affermare che il teorema è vero per l’ottima ragione che non esiste nessun elemento nell’insieme considerato. Se vi sentite ancora truffati mi spiace davvero: la matematica è anche questo.