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La successione di Fibonacci

Leonardo Pisano è stato un mercante medievale vissuto a cavallo tra il XII e il XIII secolo. Visto che gli affari sono affari, come usa dire Filo Sganga, passò parte della giovinezza in Algeria dove fu a contatto con i matematici arabi, e contribuì a portare in Europa le loro scoperte; nel suo Liber abaci introdusse ad esempio le cifre arabe. Ma la cosa per cui è più noto è un problema all’interno di questo suo opus magnum: «Determinare quanti conigli si avranno alla fine dell’anno partendo da una coppia che sarà fertile a partire dal secondo mese, se ogni coppia fertile genera un’altra coppia al mese». La risposta è data dai numeri di Fibonacci.

Leonardo infatti è più noto come Fibonacci: non perché fosse figlio di un Bonaccio – suo padre si chiamava Guglielmo – ma perché Bonacci era la sua famiglia. Chissà chi era il suo antenato con quel nome. Il problema dei conigli si risolve vedendo innanzitutto cosa succede di mese in mese. Il primo mese c’è una coppia. Il secondo mese continua ad esserci una coppia. Il terzo mese le coppie sono due, visto che quella iniziale ha figliato. Il quarto mese la coppia iniziale figlia ancora, per un totale di tre coppie; il quinto mese le coppie nate sono due, perché i primi conigli nati figlieranno anch’essi – l’incesto evidentemente non viene considerato importante – e si giunge a cinque coppie. Andando avanti si ottiene la successione seguente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

nota appunto come successione di Fibonacci; quando la si indica simbolicamente, il suo nome è F e i vari elementi sono

F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21, F₉=34…

Come sapete, i matematici non sono ancora riusciti a mettersi d’accordo se iniziare a contare da zero oppure da uno: a volte si fa iniziare la successione con uno zero, ma la cosa non dà grossi problemi visto che quel termine viene ovviamente chiamato F₀ e quindi non facciamo confusione con gli indici.

Il modo più semplice di definire i numeri di Fibonacci, con l’ulteriore vantaggio di non dover maltrattare alcun coniglio, consiste nell’usare una formula ricorsiva, che cioè definisce un elemento dell’insieme mediante altri elementi dell’insieme stesso; elementi si immagina più “semplici”, altrimenti ci si impelaga sempre di più un po’ come quando bisogna semplificare un’espressione algebrica. La definizione ricorsiva è molto semplice:

♦ F₁ = F₂ = 1
♦ F_n+2 = F_n+1 + F_n per n ≥ 1

che tornando all’esempio iniziale rappresenta il fatto che il numero di conigli a un certo mese è dato da quelli al mese precedente – ah, sì: mi ero dimenticato di dire che in questo mondo felice i conigli non muoiono né vengono cucinati in salmì – più quelli che erano già vivi due mesi prima e quindi hanno figliato.

La notazione ricorsiva è molto elegante – per i non matematici, «la si scrive in fretta e non usa formule astruse» – ma naturalmente non è molto comoda per calcolare il millesimo o il milionesimo numero di Fibonacci. In questi casi ci sono dei metodi più o meno standard per ricavare una formula “chiusa”, che cioè permetta di ricavare il valore di F_n direttamente. Eccovi la formula:

Non spaventatevi di tutte quelle radici quadrate: se volete potete al più rimanere stupiti che come per magia tutti questi valori irrazionali si annullano tra loro per fornire un risultato intero. Facendo bene attenzione alla formula, ci si accorge facilmente che il secondo addendo, essendo una potenza di un numero compreso tra 0 e −1, serve proprio per aggiungere o togliere quel poco di differenza che serve per ottenere un valore intero a partire dal primo addendo che è la vera approssimazione. Le radici di cinque derivano dal rapporto aureo φ, che è indissolubilmente legato ai numeri di Fibonacci; andando avanti nella successione, il rapporto tra due termini successivi tende infatti a φ, e lo stesso capita se si parte con due numeri qualsiasi invece che 1 e 1. Ma di questo parlerò un’altra volta, sennò vi stancate subito!

I numeri di Fibonacci si trovano dappertutto, basta solo farci un po’ di attenzione: esiste addirittura una rivista, The Fibonacci Quarterly, dedicata per l’appunto alle proprietà di questi numeri. I torinesi possono guardare in alto sulla Mole Antonelliana per vedere l’installazione di Mario Merz, un altro che andava pazzo per essi; ma esistono anche in natura. Per fare un esempio pratico, contando i semi di un girasole nelle due direzioni naturali che si vedono si hanno due numeri di Fibonacci consecutivi, come 55 e 89 oppure 89 e 144. C’è un trucco, naturalmente: non è che i girasoli abbiano chissà quali contatti con i conigli, ma più prosaicamente il posizionamento di questo tipo è quello che permette il migliore accesso alle risorse, in questo caso il sole.

Un’ultima curiosità assolutamente inutile: gli unici numeri di Fibonacci che sono anche delle potenze di numeri interi sono 1, 8 e 144. Vi confesso che non solo non so come si faccia a dimostrarlo, ma credo che non sarei neppure in grado di capirla, la dimostrazione! Anche se la gente in genere non lo crede, anche in matematica ognuno può trovare il proprio livello di piacevolezza, basta non avere troppa paura di buttarsi…