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La serie armonica

Eccovi due problemi a prima vista assolutamente scorrelati, ma che hanno fondamentalmente la stessa soluzione – nulla di strano in matematica, che è la scienza del riciclo dei concetti. Riuscite a vedere la somiglianza?

Nel primo problema si ha un mazzo infinito di carte (perfette, come sempre in questi problemi…), e si chiede qual è l’aggetto massimo che si possa avere, senza che le carte crollino miseramente. Per spiegarmi meglio, se avessimo solo due carte si può mettere quella in alto in modo che il suo baricentro sia esattamente sul bordo della inferiore; l’aggetto è pertanto di metà carta. Se abbiamo una terza carta sotto, possiamo mettere l’insieme delle prime due carte in modo che il loro baricentro sia esattamente sul bordo della terza carta: otteniamo così un aggetto totale di tre quarti di carta.

Il secondo problema vede una formica puntiforme che si muove lungo una barra, partendo dall’esterno. La barra è lunga un metro; in un secondo la formica percorre un centimetro, e alla fine di quel secondo la barra si allunga uniformemente di un altro metro, spostando quindi in avanti anche la formica che ora si trova a 198 centimetri dalla fine della barra. A ogni secondo capita lo stesso; la formica percorre un centimetro, e la barra si allunga uniformemente di un metro, spostando con sé la formica. Potrà mai la formica raggiungere la fine della barra? Se volete provare a risolvere i problemi, smettete di leggere adesso e fate un po’ di conti.

In entrambi i casi la risposta è controintuitiva: l’aggetto può crescere a piacere, e la formica raggiungerà la fine della barra. Il tutto almeno in teoria. Per quanto riguarda il mazzo di carte, abbiamo visto che con due carte l’aggetto è 1/2 e con tre si somma 1/4; la quarta carta può contribuire per 1/6, la quinta per 1/8, e così via. Nel problema della barra, immaginiamo di cambiare scala ogni volta, per tornare alla lunghezza iniziale della barra; chiaramente la formica percorrerà una distanza minore. Dopo il primo allungamento con cambio di scala, nel minuto successivo la formica si muoverà quindi di mezzo centimetro; in quello ancora successivo (la barra è ora lunga tre metri) percorrerà 1/3 di centimetro, e continuerà così con 1/4, 1/5 e via camminando.

Entrambi gli esempi – per amor di precisione, il primo a meno di un fattore 2 – rappresentano la serie armonica, vale a dire la somma infinita

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …

Credo che la serie prenda il nome dal fatto che i vari termini corrispondono alle lunghezze relative delle corde che suonano gli armonici di una nota, o almeno Wikipedia dice così. Come vedete, i termini della somma diventano sempre più piccoli e tendono a zero. Però ci tendono troppo lentamente, e quindi la somma ce la fa a crescere oltre ogni limite. Mostrarlo è piuttosto semplice; raggruppiamo i termini in questo modo.

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + … + 1/16) + …

All’interno di ogni parentesi sostituiamo tutti i numeri con il più piccolo del gruppo. Abbiamo pertanto nella prima parentesi (1/4 + 1/4) = 1/2, nella seconda quattro addendi 1/8 la cui somma è di nuovo 1/2, nella terza otto addendi 1/16 e quindi ancora 1/2… Adesso è immediato vedere che la somma è infinita. Se avete studiato un po’ di analisi matematica, potete anche fare una stima un po’ più precisa delle somme parziali della serie: come vedete nella figura qui sopra, la somma si può approssimare bene con la funzione 1/x. Questo significa che la somma dei primi n termini della serie è maggiore dell’integrale tra 1 e n della funzione 1/x, vale a dire log(n). Non solo questo ci conferma che la somma va all’infinito, ma ci dà anche un’idea di come ci fa. In effetti avremmo potuto spostare di un’unità a destra i rettangolini e ricavare che la somma è minore di log(n)+1. Fu il solito Eulero a scoprire che la differenza tra la somma dei primi n termini della serie armonica e il logaritmo (naturale, mi raccomando! Non quello in base 10 che si impara al liceo!) di n tende a una costante, indicata con la lettera γ e nota come costante di Eulero-Mascheroni. Per i curiosi, γ vale circa 0,5772156649; non penso valga però la pensa di giocarsi questi numeri al lotto.

Il logaritmo è una funzione che va all’infinito mooooolto lentamente, più lentamente di una qualunque funzione x^α per α > 0. Ciò significa che nei nostri problemi iniziali non bisogna affatto avere fretta; con un mazzo di 52 carte si può avere un aggetto massimo teorico di poco più di due carte, e un secondo mazzo aggiunge un terzo di carta. La nostra formica arriverà sì alla fine della barra, me le ci vorranno più di 10⁴³ secondi. Formica longeva, ma si sa che le formiche puntiformi hanno caratteristiche peculiari.

Resta solo lo spazio per aggiungere che basta variare di pochissimo i parametri perché la serie risultante abbia una somma finita. Se per esempio si prendono i numeri 1/n^s con s > 1 la somma converge, per la cronaca al valore ζ(s) della zeta di Riemann; la somma degli inversi dei quadrati degli interi, come aveva già dimostrato… Eulero (gli piaceva così tanto lavorare sulle serie infinite), è al esempio π²/6. Anche la somma degli inversi dei numeri che non contengono una delle dieci cifre è finita; il valore varia da 16.17696 circa nel caso si omettano tutti i numeri contenenti la cifra 1 a 23.10344 circa nel caso si ometta lo zero, che come ben si sa vale di meno. Queste successioni si chiamano successioni di Kempner, dal nome del primo che ne ha parlato, pur non essendo riuscito a stimarne la somma. Con il progresso matematico non solo si sono ottenuti questi valori, ma nel 2008 T. Schmelzer, e R. Baillie hanno dimostrato che la somma degli inversi di tutti i numeri che non contengono all’interno una stringa definita, per esempio 31415926, è comunque finita, e sono riusciti anche a dare una formula per stimare questo valore. Per me la cosa è incredibile, non so per voi.

In compenso non ci crederete: ma la somma degli inversi dei numeri primi, che pur essendo infiniti non sono poi “così tanti”, è infinita. La somma cresce ancora più lentamente, visto che è dell’ordine di log log n; ma è pur sempre una funzione che va all’infinito. Basta non avere troppa fretta.