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Dal paradosso dell’Alabama ai deputati frazionari

Beh, in Italia ormai facciamo fatica a ricordarci quale sia il sistema elettorale del momento, e verrebbe quasi voglia di riprendere il duetto Enzo Jannacci-Paolo Rossi: “si minore diminuito, si minore maggioritario; si minore proporzionale, si minore referendario!” Negli USA la cosa è molto più semplice: il Senato elegge due rappresentanti per stato, e il Congresso ha un numero di rappresentanti per stato proporzionale al numero di abitanti calcolato a ogni censimento. Ma è poi tutto davvero così semplice? Non proprio.

La Costituzione americana si limita a dire che “il numero di rappresentanti non deve eccedere uno per trentamila abitanti, ma ogni stato deve avere almeno un rappresentante”. Il limite dei 30.000 abitanti è da un bel pezzo teorico, come potete bene immaginare: con 300 milioni di abitanti attualmente residenti, il Congresso dovrebbe avere 10000 parlamentari! Come racconta Alex Bogomolny nell’articolo che ho usato come fonte, nel 1929 si decise di fissare il numero di rappresentanti a 435, e quindi limitarsi a spostare seggi da uno stato all’altro. Ma prima di allora vennero usati diversi metodi per ripartire i seggi, metodi che casualmente venivano caldeggiati dall’uno o dall’altro politico a seconda del loro tornaconto, e che facevano spesso cambiare il numero di seggi assegnati per cercare di accontentare tutti. Si andava dall’arrotondamento per difetto del numero di seggi (e gli stati piccoli si lamentavano, perché perdevano ancor più potere relativo) all’arrotondamento per eccesso (e gli stati grandi si lamentavano, perché i piccoli ottenevano più potere relativo) all’arrotondamento all’intero più vicino (e almeno in questo caso nessuno poteva lamentarsi a priori, era la dura legge del caso).

Alla fine si stabilì di usare quello che in fin dei conti sembrava il sistema più logico; si iniziava ad allocare i seggi con una divisione intera della popolazione per il numero totale di posti da assegnare, e i seggi rimasti venivano assegnati agli stati con i resti più alti – in percentuale, non in assoluto. Anche un ragazzino avrebbe convenuto che in fin dei conti la cosa era equa. O no? Dopo il censimento del 1880 C. W. Seaton, funzionario capo dell’ufficio del censimento, si mise a calcolare quanti seggi sarebbero stati assegnati ai vari stati se il Congresso ne avesse avuti un numero tra 275 e 350. Quello era un periodo in cui si tendeva a far crescere il numero di rappresentanti totale per evitare che qualche stato ne perdesse; anche senza i computer si poteva comunque perdere il tempo di fare qualche migliaio di divisioni. Successe però un fatto a prima vista incredibile; come spiega Wikipedia, se si fosse deciso per un Congresso di 299 seggi l’Alabama ne avrebbe avuti 8, ma aumentando il numero di seggi a 300 l’Alabama ne avrebbe ottenuti solo sette. Da qui il nome di paradosso dell’Alabama dato a questa distribuzione.

Com’era possibile? Facciamo un esempio numerico semplice, e vediamo cosa succede. Immaginiamo di avere tre stati con un totale di 100 cittadini; lo stato A e il B ne hanno 42 mentre il C ne ha solo 16. Vediamo come si suddividerebbero tra gli stati rispettivamente 15 e 16 seggi:

Stato	abitanti	seggi	seggi
A	42	6,3 → 6	6,72 → 7
B	42	6,3 → 6	6,72 → 7
C	16	2,4 → 3	2,56 → 2
totale	100	15	16

Dalla tabella si vede cosa succede in questo caso particolare; i due stati più grandi, proprio perché hanno un quoziente più grande, riescono a far crescere la parte frazionaria più in fretta dello stato più piccolo e così possono crescere entrambi di un seggio a scapito dell’altro. È triste (per i cittadini dello stato C, intendo), ma è così. Ma ci sono anche altre fregature: prendiamo ad esempio il paradosso della popolazione. In questo caso abbiamo il numero di seggi prefissato, ma la popolazione complessiva che cresce. Bene, può darsi che uno stato più piccolo ma con una crescita proporzionale maggiore perda seggi a favore di uno stato più grande con una crescita minore. Ecco un esempio di questo paradosso (mi spiace che sia leggermente più complicato, ma è il primo che sono riuscito a trovare)

Stato	abitanti	seggi	abitanti	seggi
A	92	15,44 → 15	97	15,75 → 16
B	42	7,05 → 7	41	6,66 → 7
C	15	2,52 → 3	16	2,60 → 2
totale	149	25	154	25

Lo stato C è cresciuto di 1/15, cioè del 6.6% abbondante, eppure ha perso un seggio a favore dello stato A che è cresciuto dei 5/97, cioè di meno del 5.5%. Forse ancora peggio, lo stato B, che ha perso cittadini, continua a mantenere i suoi sette rappresentanti.

Esiste anche un terzo paradosso, quello del nuovo stato; se si aggiunge un nuovo stato a parità di seggi totale può capitare che uno degli altri stati ne ottenga un altro in più. Se volete divertirvi, la pagina citata in cima ha alcune applet Java che vi permettono di fare delle prove per conto vostro.

Purtroppo non c’è una soluzione univoca; un po’ come quanto capita con il Teorema di Arrow, esiste un teorema dimostrato nel 1982 dai matematici Michel Balinski e Peyton Young che dimostra che ogni metodo di assegnazione dei resti risulta in un paradosso, se ci sono tre o più stati (o partiti) in gioco. Come fare, allora? Beh, George Szpiro ha proposto di inviare al congresso deputati frazionari. No, non bisogna tagliare loro parti del corpo, anche se so di molti elettori che apprezzerebbero la cosa: molto più semplicemente, se per dire uno stato avrebbe diritto a 3,4 rappresentanti se ne inviano tre “con pieni poteri” e uno il cui voto vale solo 0,4. In questo modo la proporzionalità a livello statale sarebbe perfettamente rappresentata, e oggi come oggi non sarebbe affatto difficile contare elettronicamente il voto totale sommando tutti i decimali necessari.

Io nel mio piccolo farei una proposta leggermente diversa: nell’ipotesi di cui sopra si inviano quattro rappresentanti, il voto di ciascuno dei quali vale 0,85. È vero che distruggeremmo completamente l’associazione “un delegato, un voto”; però le differenze non sarebbero così ampie e nel caso di voto compatto a livello dei singoli stati non cambierebbe nulla rispetto a oggi. Purtroppo il metodo non è applicabile ai singoli partiti nel parlamento italiano, come sono certo tutti sperate; ce ne sono troppi, e anche se è vero che un rappresentante con 0,07 “voti equivalenti” non riuscirebbe probabilmente a far cadere un governo non avremmo comunque spazio sufficiente a Montecitorio per far sedere tutti i nostri onorevoli, e soprattutto dovremmo continuare a pagarli tutti come “interi”. Ancora una volta l’eleganza della trattazione matematica si scontra con la dura realtà.