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Ci sono infiniti “più infiniti”!

L’ultima volta abbiamo visto come la cardinalità dell’insieme dei numeri interi, quella indicata come ℵ₀, è anche quella di insiemi che a prima vista sembrano ben più grandi; costruendo un percorso in diagonale simile a quello che nell’albergo di Hilbert ha permesso al direttore di trovare una camera per ciascuno degli infiniti passeggeri degli infiniti pullman arrivati tutti insieme si può dimostrare ad esempio che i numeri razionali hanno la stessa cardinalità degli interi, nonostante in un segmento piccolo quanto vogliamo ce ne sono… beh, infiniti.

Ma forse sapete già come va avanti la storia: a un certo punto Cantor rimase sconcertato nello scoprire che i numeri reali sono “più infiniti” dei razionali! Insomma, ci sono dei casi in cui anche il direttore dell’albergo di Hilbert dovrebbe rassegnarsi e dire ai nuovi arrivati “mi spiace, non posso trovarvi una camera”. La dimostrazione di Cantor, una volta che ci si è abituati a ragionare con l’infinito attuale, è davvero semplice, e vale la pena presentarla per esteso. Per la precisione dimostreremo che i numeri reali nell’intervallo tra 0 e 1 non sono numerabili: detto in altre parole, in qualunque modo noi tentiamo di mettere in una lista ordinata i numeri, ce ne sfugge sempre qualcuno. Il problema non è che tra due numeri reali ne possiamo sempre trovare infiniti altri; quello succede anche con i razionali, ma abbiamo visto che basta ordinarli in un modo diverso e siamo sicuri di trovarli tutti.

La dimostrazione di Cantor è per assurdo: lui suppone che sia possibile scrivere una lista x₁, x₂, x₃, … che comprenda tutti i numeri reali tra 0 e 1, e mostra che data una qualunque lista di questo tipo possiamo trovare un numero che sicuramente in quella lista non c’è. Per prima cosa, come si scrivono i numeri reali? Giusto pochi anni prima, Richard Dedekind – collega e amico di Cantor – aveva trovato un modo formale per farlo. Un numero reale è dato dalla successione infinita delle sue cifre decimali, come dire che π è 3,14159265358979… Immaginando di poter scrivere infinite cifre, resta solo un piccolo problema, visto che 0,999999…. e 1,000000… rappresentano lo stesso numero; per convenzione possiamo scegliere una delle due rappresentazioni possibili, o se preferiamo possiamo metterle entrambe nel nostro listone, che tanto male non fa. Una volta scritta questa lista infinita di numeri nel formato 0,abcdefg… costruiamo un nuovo numero con la seguente regola. Il numero inizia con 0 virgola, come tutti gli altri; la sua n-sima cifra decimale è ricavata dall’n-sima cifra decimale dell’n-simo numero della lista in questo modo; se quella cifra è compresa tra 0 e 4 allora scriviamo 7, mentre se è compresa tra 5 e 9 scriviamo 2. Il numero così ottenuto è per costruzione diverso da ciascuno degli altri numeri per almeno una cifra; abbiamo così trovato un numero tra 0 e 1 che non fa parte della lista. Né vale dire “allora aggiungiamo questo nuovo numero da qualche parte”, oppure “rimescoliamo la nostra lista iniziale”; ribadisco che per ogni lista L siamo in grado di trovare un numero k_L fuori dalla lista stessa. L’indice L sta a significare che il numero che troviamo dipende dalla lista scelta, giusto per completezza.

Cantor dimostrò anche che l’insieme delle parti di un insieme ha sempre cardinalità strettamente maggiore dell’insieme di partenza. Dato un insieme J, l’insieme delle parti di J è l’insieme P(J) (a volte indicato anche come 2^J, il perché lo vedremo subito) i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di J; se ad esempio J è {0,1,2} allora P(J) ha come elementi {}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}. Detto in altro modo: se ho n pastelli colorati e voglio contrassegnare dei fogli in modo che nessuna coppia abbia esattamente gli stessi colori, posso contrassegnare 2ⁿ fogli distinti. Il risultato di Cantor mostra che ci sono infiniti numeri infiniti; l’insieme dei numeri reali ha in effetti la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri interi, e Cantor chiamò tale cardinalità c. Se non sbaglio dovrebbe essere una c minuscola gotica, anche se poi la si trova scritta come una c in grassetto; la lettera non è l’iniziale del suo cognome ma della parola continuum, visto che i numeri reali sono “continui” nella retta dei numeri.

La dimostrazione qui sopra (chiamata metodo diagonale di Cantor) è stata riciclata svariate volte nel corso del ventesimo secolo, e ritengo sia una delle pochissime dimostrazioni veramente fondamentali nella storia della matematica. Eppure non è stata affatto subito accettata dalla comunità dei matematici. Il suo più strenuo oppositore fu Leopold Kronecker, che definì Cantor “ciarlatano scientifico”, “rinnegato” e “corruttore della gioventù”; anche Poincaré non ebbe certo parole di elogio per questo tipo di procedimenti. Persino dopo lo sdoganamento definitivo da parte di Hilbert rimase sempre una piccola corrente che non ritiene valido il ragionamento cantoriano. La ragione di tale atteggiamento è essenzialmente filosofica, e ha anche un suo fondamento: noi non possiamo scrivere effettivamente una lista infinita, quindi per i matematici che seguono queste correnti tutta la dimostrazione cade miseramente. Tali correnti (costruttivismo, intuizionismo, finitismo) hanno come dicevo un certo numero di seguaci; la maggior parte dei matematici però non si cura di queste cose, e basta loro poter lavorare in santa pace.

D’altra parte anche il cristianissimo Cantor aveva dei dubbi su cosa aveva effettivamente scoperto; la storia che scrisse in Vaticano per fugare i suoi dubbi e vedersi risposto dai gesuiti che andava tutto bene purché definisse i numeri da lui trovati “transfiniti” e non “infiniti” è una bufala, ma è vero che ebbe uno scambio di lettere con vari filosofi e teologi, e scrisse anche una lettera a papa Leone XIII (che non rispose). Queste diatribe e l’impossibilità di ottenere una cattedra universitaria più importante – e meglio pagata – di quella di Halle anche a causa dell’ostracismo di Kronecker lo fecero cadere in crisi depressive, forse legate al disturbo bipolare, e mistiche sempre più forti, tanto che pensò anche di essere stato scelto da Dio per divulgare al mondo la teoria dei transfiniti. Anche la sua salute fisica peggiorò, e morì povero in un sanatorio nel 1918.

Però la storia di Cantor e dei numeri transfiniti non è tutta qua; ma sarà per un’altra volta.