mate-light 2026

Se vogliamo trovare il terzo lato $\overline{AB}$ di un triangolo quando conosciamo gli altri due lati $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ e l’angolo $γ$ tra di loro possiamo usare il teorema del coseno:

$$ \overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma $$

Fin qua nulla di così strano, anche se questo teorema di solito non si studia a scuola. Ma se stiamo navigando, la formula non funziona perché non tiene conto della sfericità della terra: ci vuole un teorema dei coseni apposito. La cosa buffa è che in trigonometria sferica non ci sono triangoli simili, quindi le lunghezze dei “lati” di un triangolo sferico (parti di un cerchio massimo sulla superficie sferica) sono indicate dal coseno dell’angolo al centro. Il teorema del coseno sferico è pertanto

$$ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C\ $$

dove $C$ è l’angolo interno del triangolo.

Fin qua ancora nulla di strano. Il problema è che i triangoli in mare sono sì sferici ma relativamente piccoli rispetto al raggio terrestre; quindi $a$ e $b$ sono numeri piccoli, i loro coseni sono molto vicini a 1 e i loro seni molto vicini a 0. Moltiplicando $\sin a \sin b$ otteniamo un numero ancora più piccolo, che sommato a un “quasi 1” si perde. Questo significa tra l’altro che anche adesso che abbiamo le calcolatrici non possiamo usare quella formula perché sballerebbe comunque. Brutta storia. Ma già gli indiani, nel loro trattato di astronomia Surya Siddhanta, avevano trovato la soluzione: la funzione senoverso, definita come

$$\textrm{versin}\theta := 1 – \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$

L’emisenoverso (haversine in inglese) è ovviamente la metà del senoverso, cioè $\textrm{hav}\theta := (1 – \cos\theta)/2$. Il nostro teorema del coseno sferico diventa così

$$\textrm{hav}(c) = \textrm{hav}(a − b) + \sin(a) \sin(b) \textrm{hav}(C)$$

Visto il trucco? La differenza di due valori piccoli è quasi zero, quindi il coseno è quasi 1 e l’emisenoverso quasi zero. Sommiamo insomma due numeri molto piccoli e non abbiamo problemi di perdita di precisione. Sembra incredibile, ma le prime tavole numeriche che tabulavano l’emisenoverso apparvero solo nel 1805, nonostante la loro indubbia utilità; evidentemente già in passato la matematica teorica e quella pratica andavano per conto loro…

PS: Per un algoritmo che uso nel mio lavoro dobbiamo calcolare la distanza di un’abitazione dalla cella telefonica che la serve. I miei colleghi avevano fatto una ricerca in rete e scoperto la formula dell’emisenoverso: non sono riuscito a convincerli che date le distanze in gioco (massimo 35 km) e la (scarsa) precisione dei dati a nostra disposizione l’errore che avremmo avuto usando banalmente il teorema di Pitagora era trascurabile…

In un mondo dove le dimostrazioni le fanno le IA, ha ancora senso cercare di spiegare la matematica? Per Antonio Lupetti sì: ecco perché sta assemblando (in inglese…) il sito algebrica.org, che ha come scopo il creare una base di conoscenza matematica libera, aperta e distribuita dedicata a rendere la matematica chiara, accessibile, e spiegata in modo rigoroso. La parte più interessante del progetto è che è è scritto in markdown (con le formule matematiche scritte in LaTeX, se vi stavate chiedendo come facesse a farle) mentre le figure sono in formato svg: questo, unito al fatto che il sito ha la licenza CC-BY-NC 4.0, permette a chiunque di prenderlo e crearsi dei documenti personali (ma non di postarlo su Wikipedia, che richiedere di avere anche la clausola di uso commerciale).

Se il progetto vi piace, potete finanziarlo oppure contribuire con testi matematici… o magari convincere Antonio ad avere una versione multilingua :-)

Se persino il Corsera ieri mattina parlava della risoluzione da parte di OpenAI delle equazioni di Navier-Stokes (altri italici quotidiani non pervenuti). Quelle equazioni intendono modellare il comportamento dei fluidi viscosi (quindi reali), ed è stata trovata e verificata formalmente una soluzione alle equazioni che parte da una condizione normale e arriva in un tempo finito ad avere un comportamento che esplode, il che significa che come modello non possono essere davvero corrette.
Se volete una spiegazione più dettagliata ma comprensibile, vi consiglio il post dei miei amici di MaddMaths!, che oltre alla storia delle equazioni e della loro importanza (sono uno dei sette Problemi del Millennio) racconta di tutto quello che ci sta dietro oltre alla matematica. Due matematici spagnoli, Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa, avevano avuto qualche anno fa un’idea promettente che aveva portato ad alcuni nuovi risultati nel caso in cui veniva aggiunta energia al sistema in modo non fisico; l’anno scorso Tristan Buckmaster della New York University e Levent Alpöge di Anthropic (!) hanno cominciato a lavorare sul problema e ad agosto avevano formalizzato il caso di energia “naturale” ma senza viscosità con una nuova tecnica assistita dall’IA; a quel punto a OpenAI hanno sentito delle voci che Anthropic aveva una soluzione e si sono buttati a pesce con un attacco a forza bruta (si calcola che hanno speso l’equivalente di 22 milioni e mezzo di dollari, ai prezzi di computazione correnti) per arrivare per primi alla soluzione. Ma quello che è peggio è che Buckmaster afferma che gli avevano telefonato da OpenAI dicendo che gli lasciavano la paternità dell’articolo se affermava che il lavoro era stato completato da un modello OpenAI… e non avesse indicato Alpöge come coautore, essendo della concorrenza.

Il sospetto è che OpenAI abbia recuperato le informazioni che Buckmaster e Alpöge si sono scambiati con OpenAI Codex. Il comunicato di OpenAI è piuttosto fumoso: afferma che gli esseri umani non hanno guardato quelle informazioni (probabilmente vero), né l’hanno fatto gli agent AI (e qua avrei qualche dubbio, visto come stanno facendo: vedi il caso HuggingFace), ma non possono escludere che nel materiale di addestramento del loro nuovo modello possa esserci stata qualche informazione anonima sul tema (vedete il loro naso che si allunga?)

Alla fine della fiera, il risultato pratico è che il teorema è stato dimostrato ma è partito un casino tale che sembra di essere tornati alle disfide matematiche del Cinquecento, con la differenza che le dimostrazioni dei risultati ottenuti sembrano troppo oscure per portare avanti la ricerca matematica. E comunque l’IA è brava, ma solo se la si sa indirizzare.

Ultimo aggiornamento: 2026-09-10 11:13

Se usate un foglio di calcolo, sapete che i risultati delle formule sono automagicamente aggiornate quando cambiate il valore in una cella. Se mettete nella clla A1 il numero 3, nella cella B1 il numero 7, e nella cella C1 la formula “=A1×B1” il risultato che vedrete è 21; ma se poi mettete 6 nella cella A1 allora C1 diventerà 42.

Non sarebbe bello che se al posto di 42 nella cella C1 mettessimo 14 allora il valore in A1 diventasse 2, calcolando all’indietro il valore che rende corretta la formula? Beh, anche Victor Poughon lo ha pensato e così ha creato bidicalc. Il progetto è ovviamente poco più di uno scherzo, anche perché non è sempre possibile trovare una soluzione unica per la propagazione all’indietro di un valore: se nel mio esempio avessimo A1=6 e B1=14, allora C1=84. Se mettessimo 42 potremmo avere 3 e 14 oppure 6 e 7, e non abbiamo modo di distinguerli. Credo però che sia interessante pensare a come si possa implementare un foglio di calcolo che lavori in quel modo, perché si ha un’idea migliore di come funzioni la matematica.

Inizialmente avevo messo un + anziché un × nella formula… tra l’altro con il + sarebbe stato impossibile propagare all’indietro nel mio esempio iniziale, anche se avessi correttamente sommato i due valori, perché ci sarebbero state troppe possibilità

Ultimo aggiornamento: 2026-09-02 09:53

Il quizzino di domenica scorsa ha una soluzione che sembra essere stata tirata fuori da un cappello: come si potrebbe immaginare un protocollo di questo tipo? In realtà le cose non stanno proprio così: pensandoci su attentamente, non è troppo difficile arrivare alla soluzione. Il trucco è pensare a tutti i casi possibili contemporaneamente anziché cercare di lavorare caso per caso. Vediamo come si può fare.

Innanzitutto ricordo il contesto. Ci sono tre oggetti a, b, c; due giocatori, che chiameremo A e B, devono trovare l’oggetto corrispondente al loro nome. Essi hanno due tentativi ciascuno a disposizione ma non possono scambiarsi informazioni, quindi l’algoritmo da seguire deve essere preparato a priori. Sappiamo che ci sono sei permutazioni possibili di a, b, c; sappiamo anche che un singolo giocatore non può fare meglio di una probabilità 2/3, e quindi quello è il valore massimo ottenibile. Detto in altri termini, l’algoritmo può al massimo dare la risposta corretta in quattro casi su sei. Nel nostro gioco, “risposta corretta” significa che entrambi i giocatori trovano il loro oggetto; per massimizzare le probabilità di farlo, dobbiamo fare in modo che non capiti mai che uno solo indovini, ma quando il primo sbaglia sbagli anche il secondo. In tal modo compattiamo il più possibile gli errori.

Cominciamo dalla prima scelta del primo giocatore: è assolutamente casuale, quindi diciamo che apre la porta 1. I casi sono due: o c’è l’auto oppure no. (Non mi interessano le probabilità relative, almeno per il momento). Se l’auto è là le permutazioni corrispondenti sono abc e acb; al giocatore 2 basterà non aprire la porta 1 e la squadra vince. Questo ci fa dedurre che la prima mossa del secondo giocatore non deve essere la porta numero 1. Abbiamo trovato due casi vincenti. Se invece l’auto non c’è, può scegliere la porta 2 oppure la 3, che hanno la stessa probabilità di avere l’auto: le quattro permutazioni rimaste sono bac, bca, cab, cba.

Il primo giocatore potrebbe sempre scegliere la porta 2, e quindi trovare l’auto nei casi bac e cab, mentre non la troverà nei casi bca e cba. Passiamo ora al secondo giocatore: visto che sa che il primo non ha aperto la porta 3, la aprirà per prima. Se trova a sa già che hanno perso; se trova b hanno vinto; se trova c non sa però quale delle altre due porte aprire, e quindi la soluzione non è ottimale perché abbiamo tre casi in cui perdono: i due che terminano con a e uno dei due che termina con a. Quindi il primo giocatore deve aprire l’eventuale seconda porta a seconda di quello che trova nella prima: le due possibilità sono “scegliere la porta corrispondente a quello che si è trovato” e “scegliere l’altra porta”. Di per sé la situazione resta simmetrica, perché basta cambiare il numero alle porte 2 e 3; possiamo quindi immaginare che faccia la prima scelta, e quindi vinca nei casi cba e bac e perda nei casi cab e bca. Passiamo al secondo giocatore. Aprendo la porta 2, se trova b hanno vinto, perché le due combinazioni con b al secondo posto sono entrambe vincenti per il primo. Se trova a, i due casi possibili sono cab e bac; gli conviene sperare nella seconda, perché se fosse la prima tanto avrebbero già perso. Quindi aprirà la prima porta. Similmente se trova c gli converrà aprire la terza porta. Per i curiosi: se il primo giocatore avesse scelto l’altra strategia, e quindi i casi perdenti fossero cba e bac, naturalmente il secondo giocatore avrebbe dovuto aprire inizialmente la porta 3: come dicevo, basta scambiare tra loro le due porte. Si sarebbe arrivati comunque alla soluzione, ma l’algoritmo sarebbe stato più difficile da memorizzare.

Il vantaggio di questo gioco in miniatura è che le possibilità sono così poche (sei…) da poter fare l’analisi a mano. Ma il principio “cercare di raggruppare insieme tutti i casi perdenti, così ce li togliamo dai piedi in un colpo solo” è importantissimo in questo tipo di problemi. Il secondo principio da notare è che anche in un caso così semplice non è possibile definire una strategia indipendente da cosa appare nella prima porta aperta. A un certo punto mi ero detto “ma non possiamo far scegliere per esempio a entrambi i giocatori una permutazione ciclica di abc? Poi ho guardato ed evidentemente la cosa funziona solo se la permutazione è effettivamente ciclica, quindi la probabilità di vittoria finale è solo del 50%. Questo significa che non basta indovinare o sbagliare entrambi, ma bisogna anche pensare a come l’altro concorrente può sbagliare!

I numeri perfetti li conoscete probabilmente tutti: sono quelli per cui la somma dei divisori propri è uguale al numero stesso. Gli esempi canonici sono 6, che ha divisori 1, 2, 3; 28, che ha divisori 1, 2, 4, 7, 14; 496, che ha divisori 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248. Non sono noti molti numeri perfetti: al momento ne conosciamo 52.

Un numero sublime è invece un numero che ha un numero perfetto di divisori, e la somma di questi divisori è ancora un numero perfetto. Per esempio 12 è un numero sublime: ha come divisori 1, 2, 3, 4, 6, 12 (sono 6, e abbiamo visto che 6 è un numero perfetto), e la somma di questi divisori è 28, altro numero perfetto. Ci sono altri numeri sublimi? Certo! Un altro è 6.086.555.670.238.378.989.670.371.734.243.169.622.657.830.773.351.885.970.528.324.860.512.791.691.264, come vi sarete sicuramente accorti. Infatti il numero si fattorizza come (2¹²⁶)(2⁶¹ − 1)(2³¹ − 1)(2¹⁹ − 1)(2⁷ − 1)(2⁵ − 1)(2³ − 1), il che significa che ha 8128 divisori la cui somma è 2¹²⁶(2¹²⁷-1), il dodicesimo numero perfetto. Tutti i fattori, tranne il primo, sono numeri primi di Mersenne, che sono intimamente legati ai numeri perfetti; questo numero sublime è stato ricavato così, non è che si siano testati tutti i numeri fino a quello.

Ah, la sequenza (si fa per dire) dei numeri sublimi conosciuti è ovviamente su OEIS. Direi che comunque vista la loro rarità il nome è più che appropriato, no?