Forse qualcuno di voi si ricorda ancora di avere studiato a scuola la formula di Erone che calcola l’area di un triangolo semplicemente considerando le lunghezze dei suoi lati: $$ A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$ dove $p$ è il semiperimetro e $a, b, c$ la lunghezza dei lati. Non so quanti conoscano la formula di Brahmagupta, che fa lo stesso con un quadrilatero ciclico, che è inscrivibile in una circonferenza: $$ A = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$ Come avrete sicuramente notato, la formula di Erone è un caso particolare, dove il quarto lato del quadrilatero è lungo 0; d’altra parte ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza, quindi il problema delle ipotesi non si pone. Insomma, un quadrilatero ciclico è abbastanza interessante.
Quello che almeno in occidente non è praticamente nota è un’altra proprietà dei quadrilateri ciclici, che prende il nome di teorema giapponese dei quadrilateri ciclici. Prendete un quadrilatero ciclico $ ABCD $ e disegnate le due diagonali: ottenete così i quattro triangoli (sovrapposti) $ ABD, ABC, BCD, ACD. $ In ciascuno di questi triangoli si può inscrivere una circonferenza, naturalmente; bene, i quattro centri $ M_1, M_2, M_3, M_4 $ sono sempre i vertici di un rettangolo.
Ma c’è di più: si può dimostrare che se scegliamo una singola diagonale e sommiamo le misure dei due incentri corrispondenti otteniamo sempre lo stesso valore: nel nostro caso, $ r_1 + r_3 = r_2 + r_4$. E ancora questo non vale solo per un quadrilatero ciclico, ma per un qualunque poligono ciclico che venga triangolato, nel senso di essere suddiviso in triangoli che non si sovrappongono e i cui vertici sono vertici del poligono di partenza. Ance in questo caso, qualunque sia il modo in cui il poligono è triangolato la somma degli incentri continua a essere la stessa. Come mai questi teoremi non apparvero nella matematica occidentale? Misteri: probabilmente il motivo è che non era una linea di pensiero che si riteneva interessante, anche se le dimostrazioni non richiedono nulla più che la geometria euclidea.
La prima dimostrazione del teorema si trova in un sangaku, cioè una tavoletta di legno lasciata in un tempio giapponese come offerta votiva. Non so a voi, ma io trovo più simpatica l’idea di avere come ex voto la dimostrazione di un teorema di geometria anziché il disegno del santo di turno che ha protetto il malcapitato!