John D. Cook riprende in un suo post una curiosa approssimazione trovata dal matematico statunitense J. S. Frame nel 1943. Consideriamo un triangolo rettangolo $ABC$ come in figura, dove $a$ è il cateto più corto e $c$ l’ipotenusa. Allora un’approssimazione per l’angolo $\alpha$ opposto al cateto $a$ è data da
$$\alpha ≈ a \, 172° / (b + 2c)$$
(sì, 172 gradi…) Nel triangolo 3-4-5 mostrato in figura, abbiamo $\alpha = 3 × 172° / (4 + 2×5)$ $ = 258°/7 \approx 36.8571°$, mentre il valore reale approssimato a quattro cifre decimali è $36.8699°$; per angoli più piccoli l’approssimazione è ancora migliore.

Come ha fatto Frame a trovare questa approssimazione? È partito dallo sviluppo in serie $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x)$ $= 3/x + x^3/60 + O(x^4)$, dove gli angoli sono misurati in radianti; se l’angolo è piccolo possiamo anche trascurare l’addendo $ x^3/60 $ e rimanere con $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x) \approx 3/x$. Da qui, sapendo che $\rm{csc}(x) = c/a$ e $ \rm{cot}(x) = b/a $, otteniamo che $x \approx 3a/(b + 2c)$, sempre in radianti. Per arrivare ai gradi dobbiamo moltiplicare per $180°/\pi$; prendiamo infine il fattore 3 e notiamo come $540°/\pi \approx 172°$.

Sì, ma come si è inventato la formula iniziale? A quanto pare è partito dalla constatazione che per angoli (misurati in radianti) piccoli $ 3x ≈ 2\, sin(x) + tan(x) $; poi ha pensato che un’approssimazione migliore della media aritmetica sarebbe stata la media armonica…