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Sullo Scientific American, Jack Murtagh ha presentato un paradosso che a prima vista sembra inconfutabile. Come premessa, immaginate di avere due urne identiche, una contenente i numeri da 1 a 100 e un’altra i numeri da 1 a un miliardo. Non state a sindacare sulla grandezza di queste urne: se non vi piacciono pensate di avere due generatori di numeri casuali. Scegliete un’urna a caso, pescate un numero e scoprite che è (ovviamente…) 42. Secondo voi, è più probabile che abbiate preso il numero dalla prima o dalla seconda urna? Credo che sarete tutti d’accordo che fosse quasi certamente la prima: dalla seconda urna ci saremmo aspettati di prendere un numero come 271828182.

Cambiamo ora esempio e prendiamo noi esseri umani. Si stima che fino a oggi siano vissuti sulla Terra 117 miliardi di esemplari di Homo sapiens, miliardo più miliardo meno. Insomma nella nostra “urna degli umani” abbiamo preso il numero 117314159265 o giù di lì. Secondo voi, è più probabile avere preso un numero all’inizio della serie degli umani e post-umani, il 42 nell’esempio sopra, oppure uno pìù o meno a metà? In questo secondo caso l’umanità è pericolosamente vicina all’estinzione, visto che siamo nove miliardi e non ci vorranno troppi millenni per far nascere qualche altro centinaio di miliardi di persone. Se preferite un conteggio più preciso da un punto di vista probabilistico, possiamo dire che c’è un 50% di probabilità che il numero totale di umani vissuti fino a oggi sulla terra sia tra il 25% e il 75% di quello definitivo, quando non ci saranno più umani; questo si traduce in una stima dell’umanità globale tra 156 e 468 miliardi di persone. Al tasso corrente di 132 milioni di bambini nati per anno l’ultimo umano nascerà con il 50% di probabilità tra il 2321 e il 4685, e con l’80% di probabilità tra il 2124 e il 10003, in quest’ultimo caso presumo perché l’Y10K bug avrà colpito. Questo senza considerare che la popolazione al momento sta ancora crescendo esponenzialmente…

C’è già stata una predizione di questo tipo: quando nel 1939 l’astrofisico J. Richard Gott III visitò Berlino e passò davanti al Muro, che era stato costruito 8 anni prima, fece gli stessi conti e stimò che sarebbe resistito tra 2,67 e 24 anni con il 50% di probabilità. E in effetti cadde dopo 20 anni. Personalmente questo esempio non mi dice molto: non ho idea di quante predizioni simili siano state falsificate… Ma in genere io penso che queste stime sul giorno del giudizio (il Doomsday) siano falsate da un principio che non è indicato tra quelli portati come esempio dall’autore dell’articolo. Più precisamente, c’è un’assunzione implicita: che si sappia a priori la quantità di numeri nell’urna, o degli umani che vivranno. Stiamo cioè usando la probabilità alla rovescia: dal punto di vista di un bayesiano, ogni giorno che passa (e quindi ogni accrescimento del numero di esseri umani vissuti) allunga l’età media stimata in questo modo. Non mi sembra una grande idea, no?

Matematici e fisici non vanno d’accordo, si sa. Però a volte mi pare lo facciano apposta… Questo articolo di Le Scienze racconta di come un fisico francese avesse postulato l’esistenza di un tipo ipotetico di particella con livelli energetici corrispondenti ai logaritmi dei numeri primi; l’aveva chiamata “primone” e studiato le caratteristiche che avrebbe potuto avere un “gas di primoni”; il tutto perché un suo amico matematico l’aveva sfidato a trovare l’equivalente fisico della zeta di Riemann.
Pare che nel 2025 altri fisici abbiano scoperto che le fluttuazioni degli zeri della zeta di Riemann genererebbero una struttura di caos frattale simile a quella che si trova nelle vicinanze di una singolarità, cioè di un buco nero. Cito: «Questa simmetria di scala, insieme a un po’ di matematica, ha rivelato un sistema quantistico vicino alla singolarità il cui spettro si organizza in numeri primi: una nube di gas di primoni conforme.» E in un successivo preprint, aggiungendo una quinta dimensione alle quattro dello spazio-tempo, hanno scoperto che invece che i numeri primi occorre prendere i primi di Gauss – numeri complessi della forma \( a + bi \), con $a$ e $b$ interi, che non sono scomponibili come prodotto di altri numeri di quella forma.

Sarò prevenuto, ma tutto questo mi sembra una pura elucubrazione senza alcun rapporto con la realtà e semplicemente ottenuta con manipolazioni formali. Lo so, i matematici lo fanno tutti i momenti, ma almeno non dicono che abbia alcunché a che fare con il mondo qua fuori. I fisici, invece…

Qualche mese fa vi avevo raccontato (qui, qui, e qui) delle dimostrazioni a conoscenza zero. Per chi non si ricorda e non ha voglia di tornare a leggere quei post, rispiego in poche parole di che cosa si tratta: è possibile “dimostrare” di conoscere la risposta a un problema complesso senza presentare la soluzione, ma rispondendo semplicemente a una serie di domande. Il punto fondamentale è che la risposta a ogni singola domanda non dà all’interlocutore nessuna informazione oltre al fatto che abbiamo risposto correttamente alla domanda. C’è sempre la possibilità che noi in realtà la risposta non la sappiamo e siamo stati fortunati: ma visto che l’interlocutore può farci quante domande vuole quella probabilità è piccola a piacere. Un esempio pratico. Sappiamo che ogni mappa planare può essere colorata con quattro colori in modo che due regioni confinanti non abbiano mai lo stesso colore. Ci sono però mappe per cui bastano tre colori: ma data una mappa dimostrare che questo è possibile è un problema spesso intrattabile. Immaginate però che io abbia trovato in qualche modo che una data mappa richiede solo tre colori, e ti voglia vendere la struttura. Voi non volete pagare senza aver visto la colorazione; io non voglio mostrarvi la colorazione prima di essere pagato altrimenti me la copiate e basta. Come si fa? Semplice (quando si sa il trucco)! Io scelgo a caso i tre colori con cui colorare la mappa e poi la copro. Tu mi indichi due regioni confinanti, io scopro solo quelle due regioni e mostro che hanno colore diverso. Certo: se avessi colorato la mappa a caso, avrei comunque mostrato due colori diversi in due casi su tre. Ma io posso fare una nuova colorazione, sempre casuale, e farti scegliere altre due regioni confinanti, diverse o le stesse non importa: di nuovo io ti mostro che hanno colori diversi. A questo punto la probabilità che io abbia avuto fortuna per due volte di fila scende a 1/9, e andando avanti calerà ancora di più; inoltre, proprio perché i colori in ciascuna richiesta sono casuali, non ho la possibilità di fare dei confronti.

Il problema di questo tipo di dimostrazioni è che sono interattive: tu domandi e io rispondo. Nel 1994 i crittografi Oded Goldreich e Yair Oren dimostrarono che è impossibile costruire una dimostrazione completatamente non interattiva che sia a conoscenza zero, come indicato sopra e definito formalmente da Shafi Goldwasser, Silvio Micali e Charles Rackoff. Fine della storia? A quanto pare no. Rahul Ilango ha messo sotto attento scrutinio la dimostrazione di Goldreich e Oren, e ha notato che dipende dal fatto che per avere una dimostrazione a conoscenza zero tu “sai” cosa io ti dirò (che cioè le due regioni sono colorate diversamente). Il termine tecnico per questo fatto è “esiste un simulatore”. Qui entra in scena Gödel, o meglio Ilango. Cosa succede se ti dico che esiste un simulatore, ma tu non sei in grado di trovarlo? Tecnicamente la dimostrazione di Goldreich e Oren regge: il simulatore esiste. Ma praticamente tu non puoi “sapere” qual è il simulatore, quindi la dimostrazione può essere non interattiva. In pratica (si fa per dire…) non diciamo più “questa mappa può essere colorata con tre colori”, ma “questa mappa può essere colorata con tre colori, se non esiste un metodo efficiente di dimostrare che la matematica non è contraddittoria”. Visto che non possiamo essere certi al 100% che la matematica non è contraddittoria, non possiamo essere certi al 100% che la dimostrazione non abbia un simulatore, e quindi abbiamo il diritto di non applicare il teorema di Goldreich e Oren. Se vi si è annodato il cervello, tranquilli: siete in buona compagnia.

Quello che mi lascia più stupito è lo sfruttare una limitazione a priori della conoscenza matematica per avanzare la conoscenza matematica stessa: un doppio salto mortale carpiato.

Un vecchio problema pubblicizzato da Martin Gardner chiedeva qual era la probabilità che spezzando un segmento a caso in tre parti si potesse costruire un triangolo: detto in altri termini, che la parte più grande sia minore della somma delle altre due. La risposta era “dipende”: a seconda della definizione operativa di “spezzare a caso” la risposta poteva essere 1/2, 1/3 oppure 1/4.

Fast forward ai giorni nostri con una variante del problema. Se prendiamo quattro numeri ciascuno scelto a caso e indipendentemente tra 0 e 1, qual è la probabilità che non possiamo trovarne tre che formino un triangolo? In questo caso la definizione è univoca, quindi si può arrivare a un risultato univoco: con tre numeri la probabilità sarebbe 1/2. Due giovani studenti, Arthur Sun ed Edward Wang, rispettivamente al primo anno di università e all’ultimo delle superiori, fecero una simulazione al computer scoprendo che la probabilità era circa 1/6. Poi hanno provato con l’aiuto di un matematico, David Treeby, con cinque e sei numeri ottenendo 1/30 e 1/240. Come raccontato sullo Scientific American, i valori non sembravano casuali; erano infatti l’inverso del prodotto dei primi n numeri di Fibonacci! Il pattern continua anche all’indietro: se abbiamo meno di tre numeri, un triangolo non lo possiamo fare e quindi la probabilità cercata è 1. Con l’aiuto di ancora un altro matematico, Aidan Sudbury, hanno trovato una dimostrazione del fatto e pubblicato un preprint. L’unica pecca, se volete, è che la dimostrazione è analitica: uno si chiede se non ci sia un modo “visivo” per arrivarci, anche se comunque dovrebbe essere in uno spazio n-dimensionale e quindi io per esempio non riuscirei a vederlo.

Quello che io trovo incredibile è che in questa formula i numeri di Fibonacci venngono moltiplicati, e non sommati come capita di solito. La matematica riserva sempre sorprese!

Dopo quella della scorsa settimana, ecco un’altra approssimazione trigonometrica scovata da John D. Cook. Immaginate di avere un arco $a$ (in rosso in figura) di un cerchio di raggio $r$, il cui angolo al centro relativo è $\theta$. La corda sottesa dall’angolo (in blu) è lunga $c$, mentre la corda sottesa da metà dell’angolo (in verde) è lunga $b$. Come sappiamo, se misuriamo in radianti abbiamo che $a = r\theta$. Ma se non abbiamo un goniometro ma solo un righello? Vale allora l’approssimazione

$$ a = rθ ≈ 12 b^2/(c + 4b).$$

L’approssimazione è come sempre migliore per un angolo piccolo, ma è rimarchevole anche per angoli moderatamente grandi. Se per esempio abbiamo (anche se non lo sappiamo…) $\theta = \pi/3$, cioè 60 gradi, e il raggio del cerchio è 1 per semplificare i conti sappiamo che $a = \theta$, e $c = 1$. Se ora misurassimo $b$, otterremmo 0,51764 con cinque cifre significative. La formula ci dà per l’arco $a ≈ 1,\! 04718$, mentre il valore esatto a sei cifre significative è $1,\! 04720$. In pratica gli errori di misurazione sono molto maggiori dell’errore compiuto usando la stima!

La dimostrazione si vede in figura. Partiamo con un angolo $ \varphi = \theta/4 $ e costruiamo le righe ausiliare mostrate in figura. Abbiamo una serie di triangoli simili: quindi $ \cos(\varphi) = c / 2b $ e $ \sin(\varphi) = b / 2r$. Espandendo in serie di potenze,

$$ c / 2b = \cos(\varphi) = 1 − φ^2/2! + \varphi^4/4! − … $$
$$ 2b / a = \sin(\varphi) / \varphi = 1 − \varphi^2/3! + \varphi^4/5! − … $$

Se moltiplichiamo $ 2b / a $ per 3 e sottraiamo $ c / 2b$, i termini $\varphi^2$ si cancellano e resta

$$ 6b / a − c / 2b = 2 − \varphi^4/60 + … $$

da cui

$$ 6b / a − c / 2b ≈ 2 $$

La formula segue immediatamente. Avendo tolto un termine alla quarta potenza e anche diviso per 60 è chiaro che anche per valori non piccolissimi di $\varphi$ l’errore è minimo.

Un’ultima curiosità: sia questo risultato che il precedente sono stati pubblicati durante la seconda guerra mondiale. La mia ipotesi è che non avendo ancora calcolatori elettronici i matematici applicati cercavano di semplificare il lavoro dei calcolatori umani.

John D. Cook riprende in un suo post una curiosa approssimazione trovata dal matematico statunitense J. S. Frame nel 1943. Consideriamo un triangolo rettangolo $ABC$ come in figura, dove $a$ è il cateto più corto e $c$ l’ipotenusa. Allora un’approssimazione per l’angolo $\alpha$ opposto al cateto $a$ è data da
$$\alpha ≈ a \, 172° / (b + 2c)$$
(sì, 172 gradi…) Nel triangolo 3-4-5 mostrato in figura, abbiamo $\alpha = 3 × 172° / (4 + 2×5)$ $ = 258°/7 \approx 36.8571°$, mentre il valore reale approssimato a quattro cifre decimali è $36.8699°$; per angoli più piccoli l’approssimazione è ancora migliore.

Come ha fatto Frame a trovare questa approssimazione? È partito dallo sviluppo in serie $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x)$ $= 3/x + x^3/60 + O(x^4)$, dove gli angoli sono misurati in radianti; se l’angolo è piccolo possiamo anche trascurare l’addendo $ x^3/60 $ e rimanere con $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x) \approx 3/x$. Da qui, sapendo che $\rm{csc}(x) = c/a$ e $ \rm{cot}(x) = b/a $, otteniamo che $x \approx 3a/(b + 2c)$, sempre in radianti. Per arrivare ai gradi dobbiamo moltiplicare per $180°/\pi$; prendiamo infine il fattore 3 e notiamo come $540°/\pi \approx 172°$.

Sì, ma come si è inventato la formula iniziale? A quanto pare è partito dalla constatazione che per angoli (misurati in radianti) piccoli $ 3x ≈ 2\, sin(x) + tan(x) $; poi ha pensato che un’approssimazione migliore della media aritmetica sarebbe stata la media armonica…

Il triangolo di Tartaglia (che fuori dall’Italia chiamano triangolo di Pascal ma che è stato studiato inizialmente dal matematico cinese Yang Hui) ha tantissime proprietà. Ma non immaginavate che al suo interno ci fosse nascosto pi greco, vero? Eppure, come si vede dalla figura qui sopra, prendendo alternativamente i valori di una diagonale otteniamo π. Più precisamente,

$$ \pi = 3 + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{4}\, -\, \frac{1}{20} + \frac{1}{56}\, -\, \frac{1}{120} + \frac{1}{220}\, – \ldots \right) $$

Questa struttura è stata trovata da Daniel Hardisky. Ma come ha fatto? Ha sfruttato una delle prime serie infinite per calcolare π, ricavata nel Conquecento dal matematico indiano Nilakantha e che sicuramente conoscete se avete comprato il mio Chiamatemi pi greco. La derivazione è questa

$ \begin{align} \pi & = & 3 + \frac{4}{2\times 3\times 4} \,-\, \frac{4}{4\times 5\times 6} + \frac{4}{6\times 7 \times 8} \;-\ldots \\
& = & 3 + \frac{4}{6} \left( \frac{1 \times 2 \times 3}{2\times 3\times 4} \,-\, \frac{1 \times 2 \times 3}{4\times 5\times 6} + \frac{1 \times 2 \times 3}{6\times 7 \times 8} \;-\ldots \right) \\
& = & 3 + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{C^4_3} -\\ \frac{1}{C^6_3} + \frac{1}{C^8_3} \;-\ldots \right) \\ \end{align} $

e come sappiamo le combinazioni che troviamo nei coefficienti a denominatore sono proprio gli elementi del triangolo di Tartaglia.

Sappiamo che per alcuni numeri primi $p$ lo sviluppo decimale di $\frac{1}{p}$ ha esattamente $p-1$ cifre. Per esempio, $ \frac{1}{7} = 0,\!(142857)$ e $ \frac{1}{19} = 0,\!(052631578947368421)$, dove le parentesi tonde indicano il periodo. Questi numeri sono detti numeri primi lunghi (full reptend primes) e costituiscono la successione A001913 in OEIS. Per altri numeri primi, invece, il periodo è più corto, anche se deve essere necessariamente un fattore di $p-1$; per esempio $ \frac{1}{13} = 0,\!(076923)$ e $ \frac{1}{37} = 0,\!(027)$. Nel caso dei numeri primi lunghi sappiamo che il periodo si ripete ciclicamente: i resti di $\frac{i}{7}$ sono 142857, 285714. 428571, 571428, 714285, 857142. Negli altri casi troveremo più gruppi di periodi ciclici: nel caso di $\frac{i}{13}$ abbiamo 076923, 153846, 230769, 307692, 384615 e così via. Notate che almeno a prima vista non c’è nessun ordine nella successione; il primo periodo è in posizione 1, 3, 4 e il secondo in posizione 2 e 5. Questi periodi si chiamano insiemi ripetuti distinti.

Un risultato di James K. Schiller, riportato da John D. Cook, mosgra però che la collezione di insiemi ripetuti distinti per ciascun numero primo è il più uniforme possibile rispetto alle cifre da 0 a 9. Più precisamente, se abbiamo $p = 10q + r$, con $1 \le r \le 9$ e prendiamo tutte le cifre degli insiemi ripetuti distinti avremo che $11 − r$ cifre appariranno $q$ volte e le altre $r − 1$ appariranno $q + 1$ volte. Per esempio con $ \frac{1}{13} $ abbiamo i due insiemi 076923 e 153846, e quindi dovremmo avere due cifre che appaiono due volte e tutte le altre una volta. In effetti troviamo due volte 3 e 6. Un esempio più complicato è $1/73$, che ha i nove periodi 01369863, 02739726, 04109589, 05479452, 06849315, 08219178, 12328767, 16438356 e 24657534; se prendiamo tutte queste cifre scopriamo che anche in questo caso il 3 e il 6 appaiono una volta in più delle altre cifre.

È un caso che siano sempre il 3 e il 6? Secondo me no, ma sono troppo pigro per dimostrare che se il numero primo finisce per 3 le cifre in eccesso sono quelle due, mentre se il numero finisce con 7 saranno 1, 2, 4, 5, 7, 8 e se finisce con 9 saranno tutte tranne 9 e 0 (se finisce per 1 ovviamente tutte le cifre appariranno lo stesso numero di volte). Volete divertirvi voi?