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I numeri perfetti li conoscete probabilmente tutti: sono quelli per cui la somma dei divisori propri è uguale al numero stesso. Gli esempi canonici sono 6, che ha divisori 1, 2, 3; 28, che ha divisori 1, 2, 4, 7, 14; 496, che ha divisori 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248. Non sono noti molti numeri perfetti: al momento ne conosciamo 52.

Un numero sublime è invece un numero che ha un numero perfetto di divisori, e la somma di questi divisori è ancora un numero perfetto. Per esempio 12 è un numero sublime: ha come divisori 1, 2, 3, 4, 6, 12 (sono 6, e abbiamo visto che 6 è un numero perfetto), e la somma di questi divisori è 28, altro numero perfetto. Ci sono altri numeri sublimi? Certo! Un altro è 6.086.555.670.238.378.989.670.371.734.243.169.622.657.830.773.351.885.970.528.324.860.512.791.691.264, come vi sarete sicuramente accorti. Infatti il numero si fattorizza come (2¹²⁶)(2⁶¹ − 1)(2³¹ − 1)(2¹⁹ − 1)(2⁷ − 1)(2⁵ − 1)(2³ − 1), il che significa che ha 8128 divisori la cui somma è 2¹²⁶(2¹²⁷-1), il dodicesimo numero perfetto. Tutti i fattori, tranne il primo, sono numeri primi di Mersenne, che sono intimamente legati ai numeri perfetti; questo numero sublime è stato ricavato così, non è che si siano testati tutti i numeri fino a quello.

Ah, la sequenza (si fa per dire) dei numeri sublimi conosciuti è ovviamente su OEIS. Direi che comunque vista la loro rarità il nome è più che appropriato, no?

L’ultimo quizzino della domenica presentava un problema con una specie di “sudoku a spirale”: una griglia 5×5 nella quale in ciascuna riga e colonna troviamo i numeri da 1 a 5, e sulla spirale abbiamo un 1, due 2, tre 3, quattro 4 e cinque 5. La soluzione è mostrata qui a destra: magari vi siete accorti che nella spirale, partendo dal centro e andando verso l’esterno, troviamo una successione che possiamo suddividere come 5-45-345-2435-14325. Se siete amanti dei pattern come me, avrete anche notato che la successione dei numeri non cerchiati è in un certo senso il suo complementare: abbiamo infatti 1-21-321-4231. In entrambi i casi abbiamo gruppi di dimensione crescente, e la somma delle cifre rispettive di ciascun gruppo è sempre 6. Richard Green ha parlato di questa struttura: il suo post è dietro paywall, ma potete leggere qualcosa in più sulla struttura in questo preprint di Vadim Ponomarenko che descrive appunto la sequenza Pulsar, quella che parte da 1.

La sequenza Pulsar è una delle ultime aggiunte a OEIS, il che significa che è qualcosa di davvero nuovo: cosa piuttosto incredibile, dopo decenni di ricerca di successioni di interi. I primi suoi termini sono

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 5, 2, 3, 4, 1, 6, 2, 4, 3, 5, 1, 7, 2, 5, 4, 3, 6, 1, 8, 2, 6, 4, 5, 3, 7, 1, 9, 2, 7, 4, 5, 6, 3, 8, 1, …

dove ho scritto alternativamente in corsivo e grassetto i numeri delle sottosequenze per riconoscerli meglio. Riuscite a vedere come queste sottosequenze S(n) sono generate? In pratica il primo termine di S(n) è sempre n e l’ultimo è 1; a partire da S(3) i numeri in mezzo sono quelli di S(n−2) a cui si somma 1 e che vengono scritti in ordine inverso. Quindi se S(5) è (5,2,3,4,1) noi scriviamo (6,3,4,5,2), lo rovesciamo in (2,5,4,3,6), gli mettiamo in cima 7 e in fondo 1 e otteniamo S(7). Ma possiamo anche continuare per induzione a costruire quadrati contenenti la sequenza pulsar! Per passare per esempio da 5 a 6 caselle, aggiungiamo una striscia verticale per la spirale e la striscia orizzontale che completa il quadrato: poi sommiamo 1 a tutti i numeri della spirale (nella figura sotto li vedete in rosso), completiamo la spirale con i numeri per formare un quadrato latino (sono in blu nella figura) e infine aggiungiamo S(5) in basso (in verde). Da qui potete facilmente verificare le varie proprietà accennate sopra: esiste un’unica successione, perché c’è solo un modo per riempire righe e colonne: il primo valore è sempre n (perché nell’antipulsar della spirale è 1) e l’ultimo 1 (perché nell’antipulsar è n), e così via.

Uno dei teoremi di geometria euclidea più utilizzati è quello che afferma che in un cerchio l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza corrispondente: nella figura qui a fianco, l’angolo BOC è il doppio dell’angolo BAC.

Il teorema non ha un nome specifico: al più lo si può chiamare Euclide III.20, dal numero della proposizione degli Elementi che lo dimostra. Arthur Baragar, nel suo libro del 2001 A Survey of Classical and Modern Geometries, propose di chiamarlo “Lemma di Star Trek”, visto che il disegno ricorda il logo della Flotta Stellare. È vero che quel logo ha i lati un po’ curvi, ma chi siamo noi per non vedere la somiglianza con questa figura?

(fonte)

Un quadrato magico è una matrice di numeri tutti diversi per cui la somma di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali dà lo stesso numero, detto costante magica. Di solito lo si vede raffigurato nella forma cinese del Lo Shu, che si pensa essere la prima sua rappresentazione:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

In questo caso la costante magica è 15. Questo è l’unico quadrato magico di dimensione 3, a meno di rotazioni e riflessioni: al crescere della dimensione il numero di possibilità aumenta vertiginosamente. Considerate ora questo quadrato magico:

Che sia un quadrato magico lo si può verificare facilmente; la somma di righe colonne e diagonali è sempre 381. Scrivete ora in lettere questi numeri:

ottantasette centosessantacinque centoventinove
centosessantanove centoventisette ottantacinque
centoventicinque ottantanove centosessantasette

Ora contate il numero di lettere di ciascun numero.

Notate nulla di strano? Abbiamo di nuovo un quadrato magico! La sua costante magica in questo caso è 45. Un quadrato magico di questo tipo si chiama quadrato alfamagico (in una certa lingua). Il concetto è stato ideato da Lee Sallows nel 1986: a questo link trovate i suoi articoli al riguardo. Secondo Sallows, c’è un unico quadrato alfamagico in italiano con numeri sotto il 100, che evidentemente non può essere questo. Anche questa tesi triennale riprende lo stesso quadrato. A questo punto ho chiesto a Claude, che mi ha trovato il quadrato 97,55,79/59,77,95/75,99,57 che però a differenza di questo genera un quadrato magico imperfetto, nel senso che il quadrato derivato ripete alcuni numeri: 12,15,12/13,13,13/14,11,14. A far così ci sono lingue facilitate: in tedesco i numeri 1,2,3,4,5,8,9 hanno tutti quattro lettere e 20,30,40,50,60,70,80.90 ne hanno sette. Teniamoci insomma stretto il nostro quadrato alfamagico: non sarà bello come l’inglese 5,22,18/28,15,2/12,8,25 il cui quadrato derivato è 4,9,8/11,7,3/6,5,10 ma almeno è nostro.

Un’ultima curiosità: il quadrato qui a fianco (l’immagine è dall’articolo di Lee Sallows pubblicato sulla rivista Abacus) è alfamagico in latino. Però mi sa che Sallows abbia barato: almeno per le mie conoscenze di latino il numero 97 non si dice “septem et nonaginta” ma “nonaginta septem”…

Le costruzioni geometriche si fanno con riga e compasso, questo lo sappiamo tutti. In tanti sappiamo che la definizione di “riga” e “compasso” è molto precisa, nel senso che la riga non è graduata e il compasso si richiude non appena lo alziamo; quindi non possiamo riportare una lunghezza da una parte all’altra della nostra costruzione. Se questo fosse possibile, potremmo per esempio trisecare un angolo (o detto in termini algebrici risolvere un’equazione di terzo grado, mentre con gli strumenti euclidei possiamo solo arrivare al secondo grado). Accettare quegli strumenti permette quindi di ottenere più costruzioni, ma cosa succede se invece proviamo a essere ancora più minimalisti?

L’esempio più noto è quello ideato da Lorenzo Mascheroni, che nel suo libro La geometria del compasso mostra che se una costruzione è possibile con riga e compasso allora lo è anche con il solo compasso, ammettendo che una retta sia nota quando se ne conoscano due punti diversi. Poncelet e Steiner dimostrarono poi che se una costruzione è possibile con riga e compasso la si può anche fare con la sola riga, assumendo che esista un singolo cerchio dato.

David Keith Butler ha invece seguito una strada diversa accettando di usare… un righello come quello mostrato qui sotto, anche se nel suo caso non è graduato (altrimenti sarebbe troppo facile!) Se vi steste chiedendo qual è la differenza tra una riga e un righello, a parte la lunghezza (ma il righello di Butler è estendibile a piacere, come del resto la retta euclidea) la risposta è davanti ai vostri occhi: un righello ha due lati, e quindi possiamo sfruttare questo fatto per fare costruzioni diverse da quelle euclidee.

Le costruzioni di Butler si possono trovare nel suo sito: qui mi limito a presentarvi le prime, per dare un’idea di come procede. Disegnare una retta qualunque, una che passi per un punto specifico o una che passi per due punti specifici è banale, nel senso che non ci serve il secondo lato del righello. Ma dati due punti possiamo costruire altre due rette! Se lo spessore del righello è 1 (la scala è irrilevante) e i due punti A e B sono a distanza maggiore di 1, possiamo infatti mettere il righello in mezzo, come mostrato nella figura qui sotto, e disegnare le due rette che vedete tratteggiate. Butler definisce allineati incrociati (“cross-aligned”) i due punti per mezzo delle rette r e s.

Se la distanza AB è d > 1, disegnando la perpendicolare a r da B otteniamo un triangolo rettangolo ACB e sappiamo che $ \sin(\theta) = \tfrac{1}{d} $. Il lemma dell’arcoseno allineato incrociato afferma appunto che se due punti a distanza d > 1 sono allineati incrociati, l’angolo acuto che i lati del righello formano con la riga che unisce i due punti è $ \arcsin(\tfrac{1}{d}) $; viceversa, se i lati del righello incontrano una riga con un angolo acuto $ \theta $ la distanza tra i punti della retta che incontrano i lati del righello è $ \tfrac{1}{\sin \theta} $. Questo lemma permette di raddoppiare la lunghezza di un segmento (maggiore di 1) e raddoppiare un angolo, riportano la stessa struttura.

Costruire un rombo è banale: basta inclinare in due modi diversi il righello e disegnare le due coppie di rette. Da un rombo, tracciando le diagonali, abbiamo anche un angolo retto, il che significa che possiamo costruire perpendicolari e parallele. Le parallele sono importantissime, perché ci permettono di usare il teorema di Talete e quindi dividere un segmento in un numero qualunque di parti, di distanza anche inferiore a 1. Vi eravate accorti, vero, che c’era sempre questo limite?

Per i cerchi ovviamente bisogna definire cosa si può avere: la soluzione di Butler, nello stile di Mascheroni, è affermare che un cerchio è dato quando conosciamo il suo centro e un punto sulla circonferenza, oppure tre punti sulla circonferenza. Quello che importa davvero è poter disegnare un qualunque punto sulla circonferenza che sia costruibile, cioè che sia il risultato di un’operazione geometrica come l’intersezione tra un cerchio e una retta; tutti gli altri punti, anche se li vediamo quando tracciamo una circonferenza con il compasso, in realtà per Euclide non esistono e quindi li possiamo tralasciare. Se siete interessati, questo suo post mostra le costruzioni necessarie.

A cosa serve tutto questo? Esattamente a quello a cui servono le costruzioni di Mascheroni e Poncelet/Steiner: capire meglio quali sono i veri limiti della costruibilità geometrica. Non vi cambierà la vita, anche se per esempio Mascheroni scrisse il suo testo anche per mostrare come si potevano fare costruzioni meccaniche di precisione avendo a disposizione compassi fissi di lunghezze prestabilite.

Scrivete i primi numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

Ora calcolate il valore assoluto della differenza tra due valori consecutivi. Lo so, la successione è crescente e non serve calcolare il valore assoluto, ma fidatevi.

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

Continuate a fare la stessa cosa: stavolta il valore assoluto serve eccome.

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

Come vedete, il primo numero delle successioni è sempre 1. D’accordo, deve essere dispari, ma in linea di principio potrebbe anche essere 3, 5 o qualcos’altro, no? Il matematico e prestigiatore Norman Gilbreath, un giorno in cui non aveva nulla da fare, si è accorto della cosa e nel 1958 ha presentato quella che è nota come congettura di Gilbreath, che afferm appunto che ci sarà sempre un 1 come prima cifra. Ovviamente vale anche in questo caso la legge di Stigler sull’eponimia: ottant’anni prima di Gilbreath, François Proth aveva enunciato il teorema, ma la sua dimostrazione era errata… Ah, notate come nel 1878 si considerava ancora 1 come numero primo.

La congettura è una di quelle tipiche in teoria dei numeri: facile da enunciare ma che non si sa come attaccare, tanto che Paul Erdős disse che probabilmente era vera, ma che ci sarebbero voluti almeno 200 anni per dimostrarlo. Manca ancora tanto tempo, ma forse qualche passetto avanti lo si è fatto: John Cook segnala che Terence Tao ha coautorato un articolo – ne parla nel suo blog – che presenta un modello stocastico che generalizza la congettura di Gilbreath e che euristicamente la fa sembrare vera. Peccato che si affretti ad aggiungere che anche se la loro analisi è più trattabile da un punto di vista matematico, non hanno idea di come andare avanti…

Forse qualcuno di voi si ricorda ancora di avere studiato a scuola la formula di Erone che calcola l’area di un triangolo semplicemente considerando le lunghezze dei suoi lati: $$ A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$ dove $p$ è il semiperimetro e $a, b, c$ la lunghezza dei lati. Non so quanti conoscano la formula di Brahmagupta, che fa lo stesso con un quadrilatero ciclico, che è inscrivibile in una circonferenza: $$ A = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$ Come avrete sicuramente notato, la formula di Erone è un caso particolare, dove il quarto lato del quadrilatero è lungo 0; d’altra parte ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza, quindi il problema delle ipotesi non si pone. Insomma, un quadrilatero ciclico è abbastanza interessante.

Quello che almeno in occidente non è praticamente nota è un’altra proprietà dei quadrilateri ciclici, che prende il nome di teorema giapponese dei quadrilateri ciclici. Prendete un quadrilatero ciclico $ ABCD $ e disegnate le due diagonali: ottenete così i quattro triangoli (sovrapposti) $ ABD, ABC, BCD, ACD.  $ In ciascuno di questi triangoli si può inscrivere una circonferenza, naturalmente; bene, i quattro centri $ M_1, M_2, M_3, M_4 $ sono sempre i vertici di un rettangolo.

Ma c’è di più: si può dimostrare che se scegliamo una singola diagonale e sommiamo le misure dei due incentri corrispondenti otteniamo sempre lo stesso valore: nel nostro caso, $ r_1 + r_3 = r_2 + r_4$. E ancora questo non vale solo per un quadrilatero ciclico, ma per un qualunque poligono ciclico che venga triangolato, nel senso di essere suddiviso in triangoli che non si sovrappongono e i cui vertici sono vertici del poligono di partenza. Ance in questo caso, qualunque sia il modo in cui il poligono è triangolato la somma degli incentri continua a essere la stessa. Come mai questi teoremi non apparvero nella matematica occidentale? Misteri: probabilmente il motivo è che non era una linea di pensiero che si riteneva interessante, anche se le dimostrazioni non richiedono nulla più che la geometria euclidea.

La prima dimostrazione del teorema si trova in un sangaku, cioè una tavoletta di legno lasciata in un tempio giapponese come offerta votiva. Non so a voi, ma io trovo più simpatica l’idea di avere come ex voto la dimostrazione di un teorema di geometria anziché il disegno del santo di turno che ha protetto il malcapitato!

Vi ricordate quando da bambini cercavate di completare la raccolta di figurine, e continuavate a trovare dei doppioni? Avete mai pensato che ci fosse sotto qualche complotto, come tra le due guerre per la figurina del Feroce Saladino nel concorso abbinato alla trasmissione radiofonica I quattro moschettieri? Non è detto in effetti che sia necessariamente così. Il punto è che, pur assumendo che le figurine siano distribuite in modo assolutamente casuale, è ovvio che in una collezione da 100 pezzi se ne abbiamo solo 10 è probabile che la prossima che troviamo ci manchi, ma se ne abbiamo già 90 troveremo il solito doppione (o triplone, o quadruplone…). Fin qui l’analisi qualitativa. Ma se volessimo avere un’idea quantitativa?

Io sono pigro, e quindi vi mando a leggere quanto scritto nel 2012 da Roberto Zanasi qui e qui. Se siete ancora più pigri di me, vi svelo la risposta: se le figurine sono N, il valore atteso del numero di figurine da comprare è dell’ordine di N ln(N), dove ln() è il logaritmo naturale. Quindi con un album di 100 figurine dobbiamo comprarne in media 460. Ma c’è un ma! Adam Kucharski racconta che in un articolo del 1960 di Donald Newman e Lawrence Shepp si dimostra che se si è in tanti amici tutti disposti a scambiarsi tra loro i doppioni il numero medio di figurine da comprare per ciascuno scende all’ordine di N ln(ln(N)), nel nostro caso circa 153. Un compito sicuramente più fattibile… se non si litiga prima!