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Vi siete mai chiesti come calcolare rapidamente una radice quadrata? C’è il metodo che ai miei tempi si insegnava a scuola, e che riscuote ancora un certo successo nelle ricerche, e c’è il metodo babilonese, che fondamentalmente – se non avete voglia di leggere il mio post che ho citato – consiste nel partire da una stima anche grossolana e sostituirla a ogni passo con la media aritmetica della stima precedente e del suo inverso. Qual è la differenza tra i due metodi? Quello manuale è più semplice da portare avanti se devi fare i conti a mano, e quindi assolutamente inutile in pratica: non credo che qualcuno vi punterà mai una pistola alla tempia chiedendovi di prendere carta e penna e trovare le prime sei cifre decimali della radice quadrata di 2. Il metodo babilonese (che poi è stato generalizzato da Newton e Raleigh) è invece perfetto se abbiamo a disposizione un computer a cui far fare i conti, tanto che adesso è addirittura implementato in hardware, con ulteriori scorciatoie che ho raccontato nel mio Chiamatemi pi greco.

Ma supponiamo che non siamo interessati ad avere un numero indefinito di cifre dopo la virgola, ma soltanto il più grande numero naturale il cui quadrato è inferiore a quello di partenza: la radice quadrata intera. E a che ci servirebbe? A fattorizzare un numero, come sapeva bene Fermat! Se riusciamo infatti a scrivere un numero composto dispari come differenza di due quadrati, \( n = a^2 – b^2 \), allora sappiamo già fattorizzarlo come \(n = (a+b)(a-b) \). Esempio pratico: prendiamo 17867273. La sua radice quadrata è 4226,9697… che è quasi 4227. Ora, 4227² = 17867529, e 17867529 − 17867273 = 256, che è il quadrato di 16. Pertanto 17867273 = (4227+16)(4227-16) = 4243 × 4211. Questo tra l’altro ci fa capire perché quando si scelgono due numeri primi “grandi” per le tecniche di crittografia è consigliabile che siano dello stesso ordine di grandezza, ma non troppo vicini tra di loro…

Insomma la radice quadrata intera ha un suo perché. Ma come si calcola? Come spiega John Cook, l’algoritmo babilonese funziona anche se usiamo i numeri naturali al posto di quelli reali: la cosa non è ovvia, ci sono algoritmi che non possono essere “approssimati” così, ma in questo caso l’algoritmo è così robusto da permetterlo. Cook mostra anche il codice Python per l’algoritmo ( “//” è la divisione intera):


def sqrt_floor(n):
a = n
b = (n + 1) // 2
while b < a: a = b b = (a*a + n) // (2*a) return a

Il bello di questo algoritmo è che è applicabile a interi di dimensione arbitraria, se si ha un pacchetto di aritmetica a precisione estesa. E come bonus, ritroviamo lo stesso algoritmo nello standard NIST FIPS 184-5 (DSS) per la firma digitale: l'Appendice B.4 presenta un algoritmo per verificare se un numero intero è un quadrato che è sostanzialmente quello mostrato qui sopra. Che forti, i babilonesi!

“a squarciagola”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 197 del Carnevale della matematica, dal tema “massimi e minimi”. Come l’ultima volta in cui ho ospitato il Carnevale, mi è toccato un numero primo, e dunque la cellula melodica di Dioniso è mononota, con un fa bemolle (non osate chiamarlo mi!) e con la semplice armonizzazione Fab, Dob7, Fab.

Il 197 può essere espresso sia come somma che come differenza di due quadrati: 197 = 14²+1² = 99²-98²; è inoltre parte delle terne pitagoriche (28, 195, 197) e (197, 19404, 19405). È anche un numero primo forte, maggiore cioè della media aritmetica tra il numero primo immediatamente successivo e il numero primo immediatamente precedente, e un primo di Eisenstein, l’equivalente di un primo di Gauss ma permettendo le radici cubiche dell’unità invece che i. Quello che è peculiare è che è un numero di Keith. Come funzionano questi numeri? Sono una generalizzazione di quelli di Fibonacci. Si parte con le cifre del numero (1, 9, 7) e a ciascun passo si aggiunge il numero ottenuto sommando i tre numeri precedenti nella successione. Abbiamo così 17 = 1+9+7, 33 = 9+7+17, 57 = 7+17+33, 107 = 17+33+57, 197 = 33+57+107. Visto che abbiamo trovato il numero di partenza, esso è un numero di Keith. Per dare un’idea della rarità, ce ne sono solo 71 fino a 10¹⁹; il precedente era 75 e il successivo 742. Per il resto, è tra l’altro la somma dei primi dodici numeri primi e la somma delle cifre di tutti i numeri primi di due cifre.

Ah, come vi sarete certo accorti non abbiamo avuto un Carnevale a maggio, per mancanza di volontari. Capita. Passiamo però ai contributi!

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Dioniso su Pitagora e dintorni ha scritto Borges e la topologia della Biblioteca di Babele: un 3-toro o un labirinto infinito?. La Biblioteca di Babele di Borges è un oggetto matematico ambiguo: un universo con un numero finito di libri che si ripetono all’infinito. In uno spazio forse senza fine, forse periodico. Né massimi né minimi, insomma, se non eventualmente relativi…

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Annalisa Santi di Matetango propone Gödel, Simon e Kahneman: una genealogia del limite, una lettura unificata del concetto di limite in tre ambiti distinti, quali logica matematica, teoria della decisione e psicologia cognitiva, che mette in evidenza come questi tre contributi, pur appartenendo a domini distinti, possano essere interpretati come differenti formalizzazioni del concetto di limite, nella dimostrabilità, nell’ottimizzazione e nella razionalità cognitiva.
Pensando al tema proposto “Massimi e minimi” mostra come ogni ricerca del “massimo” (verità, razionalità, conoscenza) sia strutturalmente vincolata da “minimi” che ne costituiscono al tempo stesso il limite e la condizione, quasi come una forma di tensione tra massimi e minimi.

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Mauro Merlotti nel suo Zibaldone Scientifico propone due post. L’argomento del primo, La sequenza di Langford, è già stato trattato in precedenti Carnevali della Matematica: si tratta della sequenza di Langford e viene approfondito il discorso mostrando alcuni esempi. Si racconta che il matematico scozzese C. Dudley Langford, osservando il figlio che giocava con 6 cubi colorati, 2 per ogni colore, notò che erano stati disposti in modo tale che i 2 cubi gialli erano separati da 1 cubo, i 2 cubi blu erano separati da 2 cubi e i 2 cubi rossi erano separati da 3 cubi. Ci pensò un po’ su e riuscì a dimostrare che si trattava dell’unica disposizione (simmetrie escluse) con questa proprietà. Poi, come fanno i matematici, ha provato a vedere cosa succedeva con 8 o più cubi.
Il secondo contributo, “The Sophomore’s Dream”, parla di due semplici formule troppo belle per essere vere, che però lo sono davvero: quando la matematica va a braccetto con la bellezza.

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Daniela Molinari nel suo Amo la matematica declina i massimi e i minimi nel post Minima spesa, massimo risultato. Ci sono lezioni che partono da lontano: l’anno scorso, nel corso dell’Esame di Stato, mi sono imbattuta nella Ricerca Operativa. Il fatto che gli studenti, durante la prova orale, continuassero a far riferimento alla Seconda Guerra Mondiale, ai radar e all’affondamento degli U-Boat mi ha incuriosito perciò ho cominciato a cercare notizie. Ho contattato Roberto Natalini per avere dei suggerimenti, perché, in particolare, non mi tornava un dato che i ragazzi continuavano a ripetere: la posizione delle cariche di profondità. Non capivo che relazione potesse esserci con la ricerca operativa che, a mio modo di vedere, poteva riguardare solo il problema delle scorte. Ho quindi intrapreso un viaggio e, nella seconda parte dell’anno scolastico, sono riuscita a presentarlo in classe e a inserirlo nell’ambito dei problemi di ottimizzazione, mentre la figura di Patrick Blackett è diventata più familiare, divisa tra le particelle e la ricerca operativa.

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I Rudi Mathematici in questo mese sono stati pigri. Come mi ha scritto Piotr:

C’è un Quick&Dirty che si intitola Coppie indivisibili  che, essendo quick, non occupa neppure due righe di testo, che lo spiego a fare?

Poi c’è l’annuncio dell’uscita del numero di maggio di Rudi Mathematici, RM238, perché è uscito dopo il 14 del mese, e quindi non poteva stare nel carnevale giusto. In compenso, al momento è ancora muto il link di RM329, ma va a sapere… magari riesce a uscire in tempo, questo di giugno.

BREAKING NEWS : RM329 è in linea! Ciro l’annuncio: La letterina dei Rudi Mathematici che dovrebbe solo dire “è uscito il numero di Giugno, si chiama RM329”, magari condendolo delle solite inutilità (“è un numero corto, senza S&N, povero di rubriche, con un compleanno abborracciato e un PM pieno zeppo di curve ellittiche”), o qualcosa di simile, ma tanto sappiamo che queste cose le sapete, o quantomeno che – se mai vi interessassero davvero – non fatichereste troppo a scoprirle da soli. Ma funzionerà tutto di nuovo, anche dopo tutte le violenze a cui un giovane pc ha costretto l’anziano speditore? Se state leggendo queste righe per la prima volta forse qualcosa è andato storto. O forse no…

Sempre grosso modo puntuale (ma non puntualissimo) è uscito invece il riepilogo/soluzione/commento del quesito mensile pubblicato su Le Scienze, che stavolta parla dell’eterna questione dei cappelli colorati che nessuno guarda prima di metterseli in testa (mah). Si intitola Brindisi e cappelli colorati.

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Su Maddmaths! c’è la solita caterva di roba.

Al Cnr il rapporto Deloitte sull’impatto economico della ricerca matematica in Italia
https://maddmaths.simai.eu/news-2/rapporto-deloitte-2026/
Quanto vale la matematica per il Pil di un Paese? Questo l’interrogativo alla base del rapporto “L’impatto economico della ricerca matematica in Italia” che sarà presentato oggi, 26 maggio, presso la sede centrale del Consiglio Nazionale delle Ricerche a Roma. Lo studio, promosso dall’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr (Cnr-Iac), con l’apporto della squadra dello Sportello Matematico per l’Innovazione e l’Impresa, e dall’Unione Matematica Italiana (UMI) e realizzato dal team di Deloitte specializzato in analisi socio-economiche (Deloitte Economics).

Macchine come te? (seconda parte)
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/macchine-come-te-2
L’intelligenza artificiale (IA) è un modo semplificato di indicare un insieme di strumenti computazionali costruiti per svolgere compiti complessi in campo cognitivo. Qual è il ruolo di questi strumenti nella matematica attuale e futura? Cambierà il nostro modo di fare matematica e di immaginare nuovi filoni di ricerca? Seconda puntata di Giovanni Naldi su alcuni aspetti legati all’uso dei computer e dell’IA in matematica.

Il segreto per una rapina perfetta? La matematica
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/rubriche/la-lente-matematica/il-segreto-per-una-rapina-perfetta-la-matematica/
Il 16 aprile a Napoli c’è stato un grosso colpo in una banca. Quanto è stata brava la bande del buco? Parola alla matematica! Ce ne parlano Marco Menale e Francesca Marrone, studentessa in Matematica presso il Dipartimento di Matematica e Applicazioni di Napoli, per La Lente Matematica.

Confutata una congettura di Erdős (con una piccola mano dell’AI)
https://maddmaths.simai.eu/news-2/congettura-erdos-mano/
Thomas Bloom, dell’Università di Manchester, nel Regno Unito, e alcuni suoi colleghi hanno usato un ragionamento ispirato all’IA, ma che la usa in pratica solo in minima parte, per smentire la congettura “somma-prodotto” formulata da Erdős nel 1976.

L’International Congress of Mathematicians e la Coppa del Mondo
https://maddmaths.simai.eu/comunicare/icm-coppa-mondo/
Oggi inizia la Coppa del Mondo di calcio. Riceviamo una riflessione di Alberto Saracco legata a questo evento e al prossimo ICM2026, che pubblichiamo auspicando che continui una discussione aperta su questi temi.

Un modello di OpenAI risolve un problema matematico (difficile) vecchio di 80 anni
https://maddmaths.simai.eu/news-2/openai-solve-problem/
OpenAI ha annunciato un ulteriore progresso nella capacità di ragionamento dei suoi modelli linguistici, uno dei quali ora ha risolto il problema della distanza unitaria planare, posto per la prima volta dal matematico ungherese Paul Erdős nel 1946, che era: se si tracciano dei punti su un foglio, quante coppie al massimo si possono trovare alla stessa distanza l’una dall’altra? Erdős ipotizzò che il numero di queste coppie sarebbe aumentato solo poco più velocemente rispetto al numero dei punti stessi. Il modello di OpenAI ha dimostrato che la congettura di Erdős era sbagliata, fornendo un controesempio.

Risolto il problema di Talagrand (e no, una volta tanto l’AI non ce l’aveva fatta)
https://maddmaths.simai.eu/news-2/risolto-il-problema-di-talagrand-e-no-una-volta-tanto-lai-non-ce-laveva-fatta/
Nel 1995, Michel Talagrand si chiese se la convessità potesse essere “creata” in un numero fisso e uniforme di passaggi (utilizzando operazioni chiamate “somme di Minkowski”) in dimensione qualsiasi. Un articolo recente dimostra questa congettura e no, non hanno usato l’AI.

Premio Bartolozzi 2025: Intervista alla vincitrice Mikaela Iacobelli
https://maddmaths.simai.eu/persone/premio-bartolozzi/
Mikaela Iacobelli è la vincitrice del premio Bartolozzi dell’UMI 2025. Professoressa di Fisica Matematica all’ETH di Zurigo, si occupa di plasmi, quantizzazione di misure e teoria cinetica.
Ci parla della sua esperienza, e non solo, su MaddMaths!. L’ha intervistata Marco Menale.

Mappe, Log Pose e Geometria Non Euclidea: La Matematica di One Piece
https://maddmaths.simai.eu/comunicare/radice-pop/mappe-log-pose-e-geometria-non-euclidea-la-matematica-di-one-piece/
Grazie al recente successo della serie TV, il mondo di One Piece (fatto di pirati, mari infiniti e un leggendario tesoro da scovare) è diventato un vero e proprio fenomeno culturale di massa. È l’emblema perfetto di come l’universo di manga e anime, fino a qualche anno fa considerato un settore di nicchia, sia ormai entrato prepotentemente nella cultura pop globale. Non è un caso che, qui in Italia, le uova di Pasqua più introvabili e ricercate degli ultimi anni siano state proprio quelle di Rufy e della sua ciurma! Cerchiamo ora di capire cosa c’entrano i Mugiwara con la matematica. Benvenuti al nuovo episodio di Radice Di Pop.

Storie che contano: 19) Fabrizio Lanfredi, “O quasi!”
https://maddmaths.simai.eu/storie-che-contano/storie-che-contano-19-fabrizio-lanfredi-o-quasi/
Ritorna la rubrica “Storie che contano”, e ritorna pure Fabrizio Lanfredi con il suo protagonista romantico e nerd, perso per la sua compagna di classe Zelda, appassionata di matematica: ecco il seguito di “AMRE”. Buona lettura… e mettetevi alla prova con lo slang delle nuove generazioni!

Come contrastare gli stereotipi di genere: istruzioni per l’uso
https://maddmaths.simai.eu/comunicare/pari-opportunita/stereotipi-pisa/
Grande successo a Pisa per l’evento organizzato da Maddmaths! per la Festa delle Donne Matematiche: al dipartimento di matematica si è parlato di divario di genere con un folto gruppo di docenti di scuola primaria. Ci racconta com’è andata Chiara de Fabritiis, della nostra redazione. https://maddmaths.simai.eu/comunicare/pari-opportunita/stereotipi-pisa

Rivoluzioni matematiche: Teorema di Hartogs di Alberto Saracco
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/letture-matematiche/teorema-hartogs-saracco/
Con il numero di maggio de Le Scienze troverete in allegato il quarantacinquesimo dei cinquanta volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema di Hartogs ed è stato scritto da Alberto Saracco.

I segreti del nuoto dei delfini
https://maddmaths.simai.eu/news-2/modello-matematico-svela-i-segreti-del-nuoto-dei-delfini/
Cosa permette ai delfini di muoversi così velocemente in acqua? Una simulazione numerica fa finalmente luce su un mistero che dura da anni e apre le porte alla costruzione di mezzi sottomarini robotici sempre più sofisticati

MATEMATICI CRIMINALI (Quando il genio sbaglia strada)

Una mini-serie a cura di Marco Trombetti, in cui si esplorano le vite di matematici straordinari per intelletto ma controversi per scelte, azioni o destini: figure in cui la brillantezza teorica convive con l’ombra, e dove la linea che separa rigore e ossessione, isolamento e violenza, si fa inquietantemente sottile. Non per assolvere né per condannare, ma per interrogarsi su un nodo scomodo: cosa accade quando il pensiero più lucido si separa dall’etica?

Episodio 5 – Il matematico triplogiochista In questo quinto episodio entreremo nel mondo delle spie con Sergey Degayev. Trovate tutte le puntate qui.
https://maddmaths.simai.eu/matematici-criminali/matematici-criminali-quando-il-genio-sbaglia-strada-episodio-5-il-matematico-triplogiochista/

Episodio 6 – La mente atomica In questo sesto episodio parleremo di uno tra i più prodigiosi matematici del XX secolo e del suo rapporto con il progetto Manhattan: John von Neumann. https://maddmaths.simai.eu/matematici-criminali/matematici-criminali-quando-il-genio-sbaglia-strada-episodio-6-la-mente-atomica/

Episodio 7 – Canto Tredicesimo In questo penultimo episodio ci discosteremo dal tema della criminalità per soffermarci su quello dei matematici che hanno compiuto l’estremo gesto. https://maddmaths.simai.eu/matematici-criminali/matematici-criminali-quando-il-genio-sbaglia-strada-episodio-7-canto-tredicesimo/

Episodio 8 – Deutsche Mathematik Per questo ultimo episodio non potevamo esimerci dal parlare di matematici nazisti: Heil Bieberbach!
https://maddmaths.simai.eu/matematici-criminali/matematici-criminali-quando-il-genio-sbaglia-strada-episodio-8-deutsche-mathematik/

DIARIO DI UN MATEMATICO NON PRATICANTE

Ingegno artificiale
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/codogno-il-non-praticante/ingegno-artificiale/
Sir Roger Penrose pensa che le IA non siano intelligenti, ma solo ingegnose. Vedendo gli ultimi risultati, il mio commento è: probabilmente sì, ma è comunque tanta roba.

Ufficio Complicazioni Affari Semplici
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/codogno-il-non-praticante/ufficio-complicazione-affari-semplici/
Perché i matematici odiano i cavallucci e i cagnolini? Non è una battuta, ma la conseguenza del voler spesso essere estremamente formali.

LA LENTE MATEMATICA DI MARCO MENALE

Il PSG vince la Champions League: la sentenza dei numeri
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/rubriche/la-lente-matematica/il-psg-vince-la-…tenza-dei-numeri/
Il PSG ha vinto la Champions League per la seconda volta di fila battendo ai rigori l’Arsenal. Gurdiamo ai numeri nel più ampio confronto tra gli allenatori Luis Enrique e Mikel Arteta. È la resa dei conti tra risultatisti e giochisti.

Quando una tecnologia diventa abitudine
https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/rubriche/la-lente-matematica/quando-una-tecnologia-diventa-abitudine/
Quando una tecnologia diventa di massa, un’abitudine, come sta succedendo con l’intelligenza artificiale? È questione di pubblicità e…passaparola! Un modello matematico usa la meccanica statistica per descrivere l’evoluzione dell’uso di una tecnologia, misurando l’impatto delle pubblicità e dell’influenza reciproca tra le persone.

DIDATTICA

È online il numero 19 della rivista Didattica della matematica
https://maddmaths.simai.eu/didattica/didattica-della-matematica-19/
È online il diciannovesimo numero della rivista semestrale “Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula” curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI di Locarno (Svizzera). Scopriamo di cosa tratta.

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Paolo Alessandrini è uno e trino: i suoi contributi provengono infatti da tre spazi diversi: il blog storico Mr. Palomar, ma anche il nuovo spazio su Substack, intitolato “Congetture” e il canale YouTube “Paolo Alessandrini – Matematica”.

Recensioni:

• Le macchine del linguaggio, di Alfio Ferrara. Un bel volume che spiega in modo semplice la matematica alla base degli LLM. Poi c’è tanta altra roba per far funzionare un chatbot, ma intanto accontentiamoci.
• Spettri di Newton di Lorenzo Praticò, il libretto dell’omonima rappresentazione teatrale ma con la chicca di “Newton parola per parola” preparata da Peppe Liberti.
• Il codice di Schrödinger, di Riccardo Adami. Il mondo dei quanti raccontato appassionatamente.
• Modelli matematici, fisica e filosofia, di Ludwig Bolzmann. Testi un po’ pesanti, ma ce n’è qualcuno di interessante per comprendere meglio il periodo storico che porta alla teoria atomica.
• In difesa della matematica, di Giovanni Vacca. Una risposta di poche pagine a Benedetto Croce, in puro stile Passerino editore. (Ma se volete lo trovate su Liber Liber)

Mercoledì matematico:

• Il problema del lieto fine. Un buffo nome per un teorema di geometria combinatoria.
• Cifre nello sviluppo di 1/p. Sono ben distribuite, il che ha senso se ci pensiamo su.
• Pi greco nel triangolo di Tartaglia. C’è una struttura molto semplice che ci porta a trovare pi greco… e una volta spiegato il motivo è tutto ovvio.
• Trigonometria senza trigonometria. Un’ottima e soprattutto semplice formula per calcolare l’angolo di un triangolo rettangolo di cui sono noti i lati.
• Un’altra approssimazione trigonometrica, questa volta della lunghezza di un arco di circonferenza.
• Fibonacci dove meno te l’aspetti. Un problema probabilistico porta a un risultato che è l’inverso del prodotto dei primi numeri di Fibonacci.
• Dimostrazioni a conoscenza zero e crittografia. Come sfruttare il teorema di incompletezza per ovviare a un teorema di impossibilità.
• Numeri primi e buchi neri: un connubio? Ecco cosa succede se si fa vedere della matematica a un fisico teorico…
• La matematica e la fine dell’umanità. Riuscite a trovare la falla nel ragionamento “logico” mostrato nel post?

Varie:

• The Daily Baffle è un sito dove ogni giorno vengono proposti dei giochi logici più o meno semplici da risolvere. (Diciamo “meno”…)
• Il libro di fisica di mia figlia ha qualche problema logico.
• Un googolplex è tanta roba: ma lo si può leggere in una serie di libri…
• È possibile che il valore attualmente usato per la costante di gravitazione universale sia errato. Alla quarta cifra significativa, d’accordo, però sarebbe un bel colpo.
• Douglas Adams ha colpito ancora, e molti generatori di numeri casuali sono inizializzati con 42. Non è una bella cosa.
• A quanto pare l’algoritmo rapido di radice quadrata inversa non è stato inventato in Quake III.

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Ci sentiamo a settembre, da Amo la matematica!

Sullo Scientific American, Jack Murtagh ha presentato un paradosso che a prima vista sembra inconfutabile. Come premessa, immaginate di avere due urne identiche, una contenente i numeri da 1 a 100 e un’altra i numeri da 1 a un miliardo. Non state a sindacare sulla grandezza di queste urne: se non vi piacciono pensate di avere due generatori di numeri casuali. Scegliete un’urna a caso, pescate un numero e scoprite che è (ovviamente…) 42. Secondo voi, è più probabile che abbiate preso il numero dalla prima o dalla seconda urna? Credo che sarete tutti d’accordo che fosse quasi certamente la prima: dalla seconda urna ci saremmo aspettati di prendere un numero come 271828182.

Cambiamo ora esempio e prendiamo noi esseri umani. Si stima che fino a oggi siano vissuti sulla Terra 117 miliardi di esemplari di Homo sapiens, miliardo più miliardo meno. Insomma nella nostra “urna degli umani” abbiamo preso il numero 117314159265 o giù di lì. Secondo voi, è più probabile avere preso un numero all’inizio della serie degli umani e post-umani, il 42 nell’esempio sopra, oppure uno pìù o meno a metà? In questo secondo caso l’umanità è pericolosamente vicina all’estinzione, visto che siamo nove miliardi e non ci vorranno troppi millenni per far nascere qualche altro centinaio di miliardi di persone. Se preferite un conteggio più preciso da un punto di vista probabilistico, possiamo dire che c’è un 50% di probabilità che il numero totale di umani vissuti fino a oggi sulla terra sia tra il 25% e il 75% di quello definitivo, quando non ci saranno più umani; questo si traduce in una stima dell’umanità globale tra 156 e 468 miliardi di persone. Al tasso corrente di 132 milioni di bambini nati per anno l’ultimo umano nascerà con il 50% di probabilità tra il 2321 e il 4685, e con l’80% di probabilità tra il 2124 e il 10003, in quest’ultimo caso presumo perché l’Y10K bug avrà colpito. Questo senza considerare che il numero di nati al momento sta ancora crescendo esponenzialmente…

C’è già stata una predizione di questo tipo: quando nel 1969 l’astrofisico J. Richard Gott III visitò Berlino e passò davanti al Muro, che era stato costruito 8 anni prima, fece gli stessi conti e stimò che sarebbe resistito tra 2,67 e 24 anni con il 50% di probabilità. E in effetti cadde dopo 20 anni. Personalmente questo esempio non mi dice molto: non ho idea di quante predizioni simili siano state falsificate… Ma in genere io penso che queste stime sul giorno del giudizio (il Doomsday) siano falsate da un principio che non è indicato tra quelli portati come esempio dall’autore dell’articolo. Più precisamente, c’è un’assunzione implicita: che si sappia a priori la quantità di numeri nell’urna, o degli umani che vivranno. Stiamo cioè usando la probabilità alla rovescia: dal punto di vista di un bayesiano, ogni giorno che passa (e quindi ogni accrescimento del numero di esseri umani vissuti) allunga l’età media stimata in questo modo. Non mi sembra una grande idea, no?

Matematici e fisici non vanno d’accordo, si sa. Però a volte mi pare lo facciano apposta… Questo articolo di Le Scienze racconta di come un fisico francese avesse postulato l’esistenza di un tipo ipotetico di particella con livelli energetici corrispondenti ai logaritmi dei numeri primi; l’aveva chiamata “primone” e studiato le caratteristiche che avrebbe potuto avere un “gas di primoni”; il tutto perché un suo amico matematico l’aveva sfidato a trovare l’equivalente fisico della zeta di Riemann.
Pare che nel 2025 altri fisici abbiano scoperto che le fluttuazioni degli zeri della zeta di Riemann genererebbero una struttura di caos frattale simile a quella che si trova nelle vicinanze di una singolarità, cioè di un buco nero. Cito: «Questa simmetria di scala, insieme a un po’ di matematica, ha rivelato un sistema quantistico vicino alla singolarità il cui spettro si organizza in numeri primi: una nube di gas di primoni conforme.» E in un successivo preprint, aggiungendo una quinta dimensione alle quattro dello spazio-tempo, hanno scoperto che invece che i numeri primi occorre prendere i primi di Gauss – numeri complessi della forma \( a + bi \), con $a$ e $b$ interi, che non sono scomponibili come prodotto di altri numeri di quella forma.

Sarò prevenuto, ma tutto questo mi sembra una pura elucubrazione senza alcun rapporto con la realtà e semplicemente ottenuta con manipolazioni formali. Lo so, i matematici lo fanno tutti i momenti, ma almeno non dicono che abbia alcunché a che fare con il mondo qua fuori. I fisici, invece…

Qualche mese fa vi avevo raccontato (qui, qui, e qui) delle dimostrazioni a conoscenza zero. Per chi non si ricorda e non ha voglia di tornare a leggere quei post, rispiego in poche parole di che cosa si tratta: è possibile “dimostrare” di conoscere la risposta a un problema complesso senza presentare la soluzione, ma rispondendo semplicemente a una serie di domande. Il punto fondamentale è che la risposta a ogni singola domanda non dà all’interlocutore nessuna informazione oltre al fatto che abbiamo risposto correttamente alla domanda. C’è sempre la possibilità che noi in realtà la risposta non la sappiamo e siamo stati fortunati: ma visto che l’interlocutore può farci quante domande vuole quella probabilità è piccola a piacere. Un esempio pratico. Sappiamo che ogni mappa planare può essere colorata con quattro colori in modo che due regioni confinanti non abbiano mai lo stesso colore. Ci sono però mappe per cui bastano tre colori: ma data una mappa dimostrare che questo è possibile è un problema spesso intrattabile. Immaginate però che io abbia trovato in qualche modo che una data mappa richiede solo tre colori, e ti voglia vendere la struttura. Voi non volete pagare senza aver visto la colorazione; io non voglio mostrarvi la colorazione prima di essere pagato altrimenti me la copiate e basta. Come si fa? Semplice (quando si sa il trucco)! Io scelgo a caso i tre colori con cui colorare la mappa e poi la copro. Tu mi indichi due regioni confinanti, io scopro solo quelle due regioni e mostro che hanno colore diverso. Certo: se avessi colorato la mappa a caso, avrei comunque mostrato due colori diversi in due casi su tre. Ma io posso fare una nuova colorazione, sempre casuale, e farti scegliere altre due regioni confinanti, diverse o le stesse non importa: di nuovo io ti mostro che hanno colori diversi. A questo punto la probabilità che io abbia avuto fortuna per due volte di fila scende a 1/9, e andando avanti calerà ancora di più; inoltre, proprio perché i colori in ciascuna richiesta sono casuali, non ho la possibilità di fare dei confronti.

Il problema di questo tipo di dimostrazioni è che sono interattive: tu domandi e io rispondo. Nel 1994 i crittografi Oded Goldreich e Yair Oren dimostrarono che è impossibile costruire una dimostrazione completatamente non interattiva che sia a conoscenza zero, come indicato sopra e definito formalmente da Shafi Goldwasser, Silvio Micali e Charles Rackoff. Fine della storia? A quanto pare no. Rahul Ilango ha messo sotto attento scrutinio la dimostrazione di Goldreich e Oren, e ha notato che dipende dal fatto che per avere una dimostrazione a conoscenza zero tu “sai” cosa io ti dirò (che cioè le due regioni sono colorate diversamente). Il termine tecnico per questo fatto è “esiste un simulatore”. Qui entra in scena Gödel, o meglio Ilango. Cosa succede se ti dico che esiste un simulatore, ma tu non sei in grado di trovarlo? Tecnicamente la dimostrazione di Goldreich e Oren regge: il simulatore esiste. Ma praticamente tu non puoi “sapere” qual è il simulatore, quindi la dimostrazione può essere non interattiva. In pratica (si fa per dire…) non diciamo più “questa mappa può essere colorata con tre colori”, ma “questa mappa può essere colorata con tre colori, se non esiste un metodo efficiente di dimostrare che la matematica non è contraddittoria”. Visto che non possiamo essere certi al 100% che la matematica non è contraddittoria, non possiamo essere certi al 100% che la dimostrazione non abbia un simulatore, e quindi abbiamo il diritto di non applicare il teorema di Goldreich e Oren. Se vi si è annodato il cervello, tranquilli: siete in buona compagnia.

Quello che mi lascia più stupito è lo sfruttare una limitazione a priori della conoscenza matematica per avanzare la conoscenza matematica stessa: un doppio salto mortale carpiato.

Un vecchio problema pubblicizzato da Martin Gardner chiedeva qual era la probabilità che spezzando un segmento a caso in tre parti si potesse costruire un triangolo: detto in altri termini, che la parte più grande sia minore della somma delle altre due. La risposta era “dipende”: a seconda della definizione operativa di “spezzare a caso” la risposta poteva essere 1/2, 1/3 oppure 1/4.

Fast forward ai giorni nostri con una variante del problema. Se prendiamo quattro numeri ciascuno scelto a caso e indipendentemente tra 0 e 1, qual è la probabilità che non possiamo trovarne tre che formino un triangolo? In questo caso la definizione è univoca, quindi si può arrivare a un risultato univoco: con tre numeri la probabilità sarebbe 1/2. Due giovani studenti, Arthur Sun ed Edward Wang, rispettivamente al primo anno di università e all’ultimo delle superiori, fecero una simulazione al computer scoprendo che la probabilità era circa 1/6. Poi hanno provato con l’aiuto di un matematico, David Treeby, con cinque e sei numeri ottenendo 1/30 e 1/240. Come raccontato sullo Scientific American, i valori non sembravano casuali; erano infatti l’inverso del prodotto dei primi n numeri di Fibonacci! Il pattern continua anche all’indietro: se abbiamo meno di tre numeri, un triangolo non lo possiamo fare e quindi la probabilità cercata è 1. Con l’aiuto di ancora un altro matematico, Aidan Sudbury, hanno trovato una dimostrazione del fatto e pubblicato un preprint. L’unica pecca, se volete, è che la dimostrazione è analitica: uno si chiede se non ci sia un modo “visivo” per arrivarci, anche se comunque dovrebbe essere in uno spazio n-dimensionale e quindi io per esempio non riuscirei a vederlo.

Quello che io trovo incredibile è che in questa formula i numeri di Fibonacci venngono moltiplicati, e non sommati come capita di solito. La matematica riserva sempre sorprese!

Dopo quella della scorsa settimana, ecco un’altra approssimazione trigonometrica scovata da John D. Cook. Immaginate di avere un arco $a$ (in rosso in figura) di un cerchio di raggio $r$, il cui angolo al centro relativo è $\theta$. La corda sottesa dall’angolo (in blu) è lunga $c$, mentre la corda sottesa da metà dell’angolo (in verde) è lunga $b$. Come sappiamo, se misuriamo in radianti abbiamo che $a = r\theta$. Ma se non abbiamo un goniometro ma solo un righello? Vale allora l’approssimazione

$$ a = rθ ≈ 12 b^2/(c + 4b).$$

L’approssimazione è come sempre migliore per un angolo piccolo, ma è rimarchevole anche per angoli moderatamente grandi. Se per esempio abbiamo (anche se non lo sappiamo…) $\theta = \pi/3$, cioè 60 gradi, e il raggio del cerchio è 1 per semplificare i conti sappiamo che $a = \theta$, e $c = 1$. Se ora misurassimo $b$, otterremmo 0,51764 con cinque cifre significative. La formula ci dà per l’arco $a ≈ 1,\! 04718$, mentre il valore esatto a sei cifre significative è $1,\! 04720$. In pratica gli errori di misurazione sono molto maggiori dell’errore compiuto usando la stima!

La dimostrazione si vede in figura. Partiamo con un angolo $ \varphi = \theta/4 $ e costruiamo le righe ausiliare mostrate in figura. Abbiamo una serie di triangoli simili: quindi $ \cos(\varphi) = c / 2b $ e $ \sin(\varphi) = b / 2r$. Espandendo in serie di potenze,

$$ c / 2b = \cos(\varphi) = 1 − φ^2/2! + \varphi^4/4! − … $$
$$ 2b / a = \sin(\varphi) / \varphi = 1 − \varphi^2/3! + \varphi^4/5! − … $$

Se moltiplichiamo $ 2b / a $ per 3 e sottraiamo $ c / 2b$, i termini $\varphi^2$ si cancellano e resta

$$ 6b / a − c / 2b = 2 − \varphi^4/60 + … $$

da cui

$$ 6b / a − c / 2b ≈ 2 $$

La formula segue immediatamente. Avendo tolto un termine alla quarta potenza e anche diviso per 60 è chiaro che anche per valori non piccolissimi di $\varphi$ l’errore è minimo.

Un’ultima curiosità: sia questo risultato che il precedente sono stati pubblicati durante la seconda guerra mondiale. La mia ipotesi è che non avendo ancora calcolatori elettronici i matematici applicati cercavano di semplificare il lavoro dei calcolatori umani.

John D. Cook riprende in un suo post una curiosa approssimazione trovata dal matematico statunitense J. S. Frame nel 1943. Consideriamo un triangolo rettangolo $ABC$ come in figura, dove $a$ è il cateto più corto e $c$ l’ipotenusa. Allora un’approssimazione per l’angolo $\alpha$ opposto al cateto $a$ è data da
$$\alpha ≈ a \, 172° / (b + 2c)$$
(sì, 172 gradi…) Nel triangolo 3-4-5 mostrato in figura, abbiamo $\alpha = 3 × 172° / (4 + 2×5)$ $ = 258°/7 \approx 36.8571°$, mentre il valore reale approssimato a quattro cifre decimali è $36.8699°$; per angoli più piccoli l’approssimazione è ancora migliore.

Come ha fatto Frame a trovare questa approssimazione? È partito dallo sviluppo in serie $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x)$ $= 3/x + x^3/60 + O(x^4)$, dove gli angoli sono misurati in radianti; se l’angolo è piccolo possiamo anche trascurare l’addendo $ x^3/60 $ e rimanere con $2\, \rm{csc}(x) + \rm{cot}(x) \approx 3/x$. Da qui, sapendo che $\rm{csc}(x) = c/a$ e $ \rm{cot}(x) = b/a $, otteniamo che $x \approx 3a/(b + 2c)$, sempre in radianti. Per arrivare ai gradi dobbiamo moltiplicare per $180°/\pi$; prendiamo infine il fattore 3 e notiamo come $540°/\pi \approx 172°$.

Sì, ma come si è inventato la formula iniziale? A quanto pare è partito dalla constatazione che per angoli (misurati in radianti) piccoli $ 3x ≈ 2\, sin(x) + tan(x) $; poi ha pensato che un’approssimazione migliore della media aritmetica sarebbe stata la media armonica…