Se prendiamo su un piano tre punti in “posizione generale”, cioè per cui non ci sia nessuna coppia di punti coincidenti e nessuna terna di punti collineari, è sempre possibile costruire un triangolo, e tutti i triangoli sono figure convesse. Con quattro punti in posizione generale non è detto che possiamo costruire un quadrilatero convesso; sappiamo infatti che esistono quadrilateri concavi. Ma se di punti ne abbiamo cinque, allora possiamo sempre sceglierne quattro che formano un quadrilatero convesso. La dimostrazione non è affatto complicata. Cominciamo a considerare l’inviluppo convesso dei cinque punti, cioè il più piccolo poligono convesso che li contenga tutti; pensate a un elasticone che viene teso in modo da contenere i punti e poi cerca di tornare alla sua lunghezza di base. Per definizione l’inviluppo convesso è convesso. A questo punto ci sono tre casi possibili. Se l’inviluppo è un quadrilatero siamo a posto. Se è un pentagono (come nella parte di sinistra della figura) basta togliere un punto qualunque e otteniamo il quadrilatero richiesto. Se invece è un triangolo, prendiamo i due punti interni e tracciamo la retta che li congiunge. Essa lascerà un punto da una parte e due dall’altra; il nostro quadrilatero sarà formato allora da quei due punti e dai due interni.
Lo, so, vi state chiedendo perché il teorema si chiami “problema del lieto fine” (“Happy ending problem“). La risposta è buffa: il problema era stato proposto da Esther Klein al circolo dei giovani matematici di Budapest e fu risolto da George Szekeres. I due poi si sposarono (un matrimonio felice, durato quasi settant’anni): Paul Erdős, anch’egli parte del circolo, pensò che il merito fosse anche un po’ del problema e gli diede quel nome.
Nel 1935 Erdős e Szekeres dimostrarono una generalizzazione del teorema: dato un intero \( N \} , esiste un numero finito \( f(N) \) tale che un insieme di \( f(N) \) punti in posizione generale contiene necessariamente un N-agono convesso. Nel 1961 dimostrarono anche che \( f(N) \ge 2^{N-2} + 1 \). Cosa sappiamo? Che \( f(3) = 3 \), \( f(4) = 5 \), \( f(5) = 9 \), \( f(6) = 17 \). Quest’ultimo risultato è stato dimostrato con l’ausilio di un computer nel 2006 da Szekeres (che in effetti era morto l’anno precedente…) e Lindsay Peters. Fine. Come quasi tutti i problemi combinatori della teoria di Ramsey, sono semplicemente troppo difficili per le nostre capacità…
PS: trovate ulteriori informazioni qui.
Ultimo aggiornamento: 2026-04-15 15:31