Nel 2013 Dan Piponi, attualmente capo matematico di Epic Games, postò questo tweet, come ((molto) difficile) problema del giorno: dimostrare che $ π^{π^{π^π}} $ non è un numero naturale. Chiunque sa un po’ di matematica sarebbe pronto a scommettere che non lo è. Chiunque sa abbastanza matematica sa che non riuscirà a scoprirlo nel corso della sua vita.
Come può essere possibile, vi chiederete? Basta calcolare alcune cifre decimali del risultato, e si vede subito se non sono nulle. Peccato che, come potete leggere in questo articolo di Scientific American, le cose non siano tanto semplici.
Innanzitutto è possibile che una catena di esponenziali di questo tipo dia effettivamente un risultato che è un numero naturale. Per esempio, $ ( \sqrt{2} ^ \sqrt{2})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ^ {\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \sqrt{2} ^2 = 2$. In linea di principio insomma non ci sono problemi. Il guaio è che i numeri in gioco, anche se non sembra, sono enormi. Quanto vale quel numero? Secondo le regole della matematica, bisogna calcolarlo dall’alto verso il basso. Partiamo quindi con $ π^π \approx $ 36,46. Se eleviamo pi greco a questo numero, otteniamo circa 1.34… x 1018, un numero dell’ordine del trilione (in italiano) o quintilione (nell’uso anglosassone). E dobbiamo ancora elevare pi greco a questo valore! Il risultato finale ha quasi 1018 cifre: per dare un’idea, noi conosciamo solo poco più di 1014 cifre decimali di pi greco, quindi siamo ben lontani dal riuscire anche solo ad avvicinarsi al calcolo. Tre anni fa Matt Parker ha fatto un video dove stima che ci vorrebbe almeno il doppio di cifre decimali note solo per calcolare la prima cifra decimale di quel valore, con il rischio che non basti nemmeno… (Come dice Timothy Gowers, se la catena fosse di soli tre esponenziali ce la potremmo ancora fare). Ed essendo pi greco un numero con infinite cifre dopo la virgola, non possiamo nemmeno pensare a qualche trucco per trovare solo le ultime cifre, come potremmo per esempio fare per scoprire quali sono le ultime due cifre di 1000000!
Vabbè, c’è sempre la possibilità di mettere in campo le armi teoriche della matematica e dimostrarlo in modo non numerico. O no? No. In teoria dei numeri è facile fare congetture: esiste per esempio la congettura di Schanuel, di cui è già difficile da comprendere il testo, che tra le tante cose dimostrerebbe che $ π^{π^{π^π}} $ è trascendente e quindi non può essere un numero naturale. Solo che nessuno ha nemmeno idea di dove iniziare a partire per dimostrare la congettura… Insomma, possiamo magnà tranquilli, non dovrò aggiornare il post per dire che il problema è stato risolto.
Sono andato a leggermi la 
Personalmente non mi è piaciuto molto l’approccio di Ash alla teoria dell’informazione: mi è sembrato troppo legato all’analisi matematica e quindi si perde il significato pratico della misura dell’informazione. Ciò detto, il testo è comunque apprezzabile per avere una panoramica piuttosto completa della teoria dell’informazione di base, compresa la parte sui canali con memoria (e quindi sulle catene di Markov) e sui segnali continui, oltre che un approfondimento sui codici a currezoine di errore.
L’ancora per poco grande azienda dove lavoro si vanta di essere 
La coppia Sistema 1 – Sistema 2 resa nota dal duo Kahneman-Tversky è spero ben nota a tutti e ventuno i miei lettori. In pratica i due psicologi hanno postulato che noi esseri umani possiamo prendere decisioni in due modi diversi: valutando attentamente i dati che abbiamo a disposizione, oppure “di pancia” (occhei, applicando euristiche che ci fanno risparmiare tempo e si spera diano spesso una risposta non troppo sbagliata). Inutile aggiungere che noi siamo pigri e usiamo quasi sempre le euristiche, a meno che non siamo costretti a fare altrimenti. Ecco: Kahneman, morto ieri, aveva sicuramente meritato il Nobel per l’economia per avere spiegato agli economisti che l’homo oeconomicus non è razionale (come pensava Von Neumann) né egoista (come pensava Nash) ma semplicemente frettoloso. Mi dispiace solo che non gli sia stato assegnato dieci anni prima, perché avrebbero potuto premiare anche Tversky.
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