Quizzino della domenica: in media stat virtus

Un numero è composto da tre cifre diverse, nessuna uguale a zero. Esso è uguale alla media aritmetica dei sei numeri che si ottengono permutando l’ordine delle sue cifre; inoltre è il più grande con questa caratteristica. Qual è il numero in questione?


sei permutazioni

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p480.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Prisma, settembre 2020.)


Quizzino della domenica: due sconfitte e sei fuori

Grandi novità al Circolo Backgammon “Pierre and Blaise”. Il classico torneo annuale a eliminazione diretta è stato modificato, dopo che molti giocatori si sono lamentati perché non era giusto che la sorte nel lancio dei dadi fosse così importante. Così quest’anno bisognerà perdere due partite per essere eliminati. (Ricordo che nel backgammon non è possibile il pareggio.) Il torneo si svolgerà sempre facendo incontrare contemporaneamente tutti i giocatori non eliminati, accoppiandoli a caso: se il numero fosse dispari, un giocatore salterà il turno. Il torneo si allungherà, visto che dopo il primo turno nessun giocatore può essere eliminato, ma non di troppo. Gli iscritti sono 33: sapete dire qual è il numero minimo e quello massimo di partite che dovranno essere giocate?



(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p478.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Gifted Mathematics; immagine di Danny Allen, da FreeSVG.)


Quizzino della domenica: teorema dei quattro colori

Il teorema dei quattro colori afferma che sono sempre sufficienti quattro colori per colorare una mappa (di regioni connesse, che non si tocchino solo in un numero finito di punti) senza che due regioni vicine abbiano lo stesso colore. La dimostrazione è molto pesante, tanto che è stato necessario usare un computer per testare un migliaio di “configurazioni di base” a cui si può ridurre qualunque mappa e mostrare che erano tutte colorabili. Immaginiamo ora di avere un insieme di cerchi, tutti dello stesso raggio, che si toccano tra di loro come in figura. Parrebbe che in questo caso bastino tre colori per evitare che due cerchi che si tocchino abbiano lo stesso colore, come si vede nell’esempio qui sotto. Ma non è così: esistono esempi dove sono necessari quattro colori. Ne riuscite a trovare uno?


[dieci cerchi che si toccano]
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p477.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Gifted Mathematics.)


Quizzino della domenica: il piccolo Gauss

La storia del piccolo Gauss che sommò in un attimo i numeri da 1 a 100 è ben nota a tutti. Ma forse non sapete che il maestro, piuttosto arrabbiato perché aveva dato quel compito per starsene un po’ tranquillo e il ragazzino gliel’aveva impedito, diede un altro compito a Carl Friedrich. “Bene, immagina ora che ciascuno di quei numeri possa essere positivo o negativo: abbiamo insomma ±1 ±2 ±3 … ±99 ±100. Quante sono le somme diverse che si possono ottenere, scegliendo opportunamente i segni più e meno?” Mal gliene incolse: Gauss rispose senza nemmeno tornare al banco. Quante sono queste somme?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p476.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 10.1.)

Quizzino della domenica: Prodotto delle differenze

Prendete quattro numeri interi positivi distinti a, b, c e d e moltiplicate tra di loro tutte le sei possibili differenze ottenute scegliendone due (prendendo il valore assoluto, giusto per non avere numeri negativi). Qual è il più grande fattore per cui quel numero è sicuramente divisibile?


[il prodotto delle differenze]

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p470.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 8.2.)


Quizzino della domenica: Girone all’italiana

In un torneo di pallanuoto tra quattro squadre tutte le partite hanno avuto lo stesso numero complessivo di gol, ma non ci sono stati due punteggi uguali. La classifica finale (si assegnano 2 punti alla vittoria, 1 al pareggio, 0 alla sconfitta) è stata quella indicata qui sotto. Quali sono stati i risultati, sapendo che Verde non ha mai segnato un numero pari di reti e il cannoniere di Blu ha segnato una tripletta in ogni partita?


[Squadra punti gol_fatti gol_subiti - Rosso 4 13 17 - Verde 3 17 13 - Blu 3 17 13 - Giallo 2 13 17]

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p469.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 5.3.)

Quizzino della domenica: incroci non obbligati

Mentre facevo una traversata in barca con una nave da crociera, un mio amico ha deciso di fare il percorso opposto con il suo motoscafo, partendo nel mio stesso istante. A un certo punto ci siamo incrociati; lui è arrivato in porto dopo un’ora, mentre io ho aspettato ancora quattro ore per attraccare. Se le due barche hanno sempre viaggiato a velocità costante, qual è stato il rapporto tra le loro velocità?


barca

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p468.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 3.6; immagine da freesvg.org.)