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Usare equamente una moneta iniqua


Probabilmente conoscete il quizzino che vi chiede di usare una moneta truccata, che se lanciata esce testa con probabilità $p$ compresa strettamente tra 1/2 e 1, per ottenere una probabilità del 50% esatto di vincita. La risposta, che si dice essere dovuta direttamente a John von Neumann (ma non ne sarei così certo) è la seguente: “Lanciate la moneta due volte: se il risultato è prima testa poi croce (nel seguito, TC) vince il primo giocatore; se è prima croce e poi testa (CT) vince il secondo giocatore; altrimenti si ricomincia da capo”. L’idea, come avrete capito, è di trovare due combinazioni simmetriche, in modo che la loro possibilità di uscita sia la stessa.

La fregatura è che potrebbero volerci molti lanci per avere la nostra successione TC oppure CT; se per esempio $p = \frac{3}{4}$, la probabilità di dover ripartire da capo dopo due lanci è il 62.5%. Esistono dei modi per ridurre il numero di lanci; possiamo per esempio dire che sopo il quarto lancio TTCC equivale a TC e CCTT a CT, dopo l’ottavo lancio TTTTCCCC equivale a TC e CCCCTTTT a CT, e così via. Ma il rischio di proseguire all’infinito c’è sempre, e uno si può giustamente chiedere se esiste una strategia di tip diverso che garantisca di riuscire a ottenere esattamente il 50% dopo un numero finito di lanci. Di per sé la cosa non è a priori impossibile. Immaginiamo di lanciare la moneta tre volte: uscirà TT con probabilità $p^2$, e se quindi avessimo una moneta con $p = \sqrt{2}/2$ questa probabilità sarà esattamente 1/2. Potrebbe insomma darsi che a seconda del valore di $p$ si possa trovare una combinazione legata a un numero finito di lanci che esca con probabilità 1/2?

La risposta è no, e lo si può vedere con un esempio pratico. Supponiamo che $p = \frac{2}{3}$ e immaginiamo di lanciare la moneta $n$ volte. Avremo allora $2^n$ possibili eventi, ciascuno con probabilità della forma $\frac{k}{3^n}$: il denominatore è dovuto al fatto che sia le teste che le croci hanno una probabilità della forma $\frac{h}{3}$ con $h$ che può valere 1 oppure 2. Poiché la somma di tutte le probabilità deve essere 1, cioè $\frac{3^n}{3^n}$, è immediato che non potremmo dividere gli eventi in due gruppi della stessa probabilità, perché se moltiplichiamo le probabilità per $3^n$ avremo un insieme di numeri interi la cui somma è un numero dispari.

Fine della storia? Ovviamente no. Un Vero Matematico non si sarebbe sporcato le mani con tutti questi conti. Avrebbe notato che per un qualunque numero di lanci di monete le combinazioni possibili sono in numero finito; pertanto l’insieme di tutte le combinazioni possibili con un qualunque numero di lanci sarà un’infinità numerabile. Peccato che i valori di probabilità tra 1/2 e 1 siano più che numerabili, e quindi ne resterà un’infinità (più che numerabile) che non potrà essere coperta da quei casi…

Non so voi, ma io (che non sono un intuizionista) trovo entrambi gli approcci interessanti, ciascuno a modo suo. Uno può sporcarsi le mani e usare argomenti alla portata di un ragazzino di terza media piuttosto sveglio, oppure usare i cannoni e sfruttare una teoria molto potente. Ma è questo il bello della matematica: non esiste una via regia, ma ci sono tante strade panoramiche!

(immagine da PNGwing)

Ultimo aggiornamento: 2024-07-17 12:25

Le elezioni legislative francesi

risultati delle elezioni francesi I risultati delle elezioni francesi hanno mostrato una disparità tra voti e seggi ottenuti in maniera ancora più eclatante di quello delle quasi contemporanee elezioni britanniche, dove il Labour hanno ottenuto 412 seggi con il 33,7% dei voti contro i 121 dei Tories col 23,7%; peggio ancora, Reform UK con il 14,3% dei voti ha cinque deputati, mentre i liberaldemocratici ne hanno 72 con il 12,2%. In Francia invece il Rassemblement National (l’estrema destra) con il 37,1% è arrivata solo terza con 142 seggi, preceduta sia dal Nuovo Fronte Popolare (188 seggi con il 26,3% di voti) e l’Ensemble macroniano (161 seggi con il 24,7% di voti). Cosa significa tutto questo? Che la scelta del sistema di voto è importante, e qui la matematica ha un ruolo importante, anche se alla fine quello che conta è sempre la parte sociologica.

Se abbiamo un sistema proporzionale puro assegniamo più o meno lo stesso numero di deputati a due partiti con la stessa percentuale di voti. Il “più o meno” è legato non tanto agli arrotondamenti quanto al fatto che non si ha un unico collegio nazionale ma tanti collegi locali; un partito con una forte connotazione locale prenderà più seggi di un partito con lo stesso numero di voti totali ma spalmati in tutta la nazione. Qua invece i sistemi sono diversi. Nel Regno Unito il sistema è uninominale secco: il candidato che prende più voti nel collegio vince. Punto. Quindi un candidato ben noto localmente può superare l’appartenenza partitica, per esempio; e soprattutto ci sono molti collegi dove c’è una maggioranza molto forte di un partito e quindi non sono di solito contendibili. Pare che ci siano stati accordi ufficiosi di desistenza tra Labour e LibDem, nel senso che i primi non hanno fatto molta campagna elettorale nei collegi del sud dove i secondi erano più forti e si è verificato l’opposto nel nord dell’Inghilterra, ma questi accordi non sono mai stati formalizzati.

Il sistema francese per le legislative è completamente diverso, e De Gaulle l’ha studiato per evitare gli stalli della Quarta Repubblica e tarpare le ali agli schieramenti estremi. Innanzitutto se nessuno raggiunge la maggioranza assoluta al primo turno si ha un ballottaggio; ma a differenza di cosa succede per esempio in Italia con i sindaci non è detto che gli sfidanti al secondo turno siano solo due. Infatti un candidato che ha ottenuto voti per almeno il 12,5% degli iscritti alle liste elettorali (attenzione, non dei voti validi!) ha comunque diritto di accedere al secondo turno. Cosa succede però in pratica? Che spesso i candidati arrivati terzi o quarti si ritirano “spintaneamente” nel caso il loro partito preferisca vedere vincente il candidato arrivato secondo al primo turno, e gli elettori francesi sono abituati a seguire questa logica. Quest’anno l’affluenza è stata molto alta (il 66%, venti punti in più di due anni fa) e quindi ci sarebbero stati molti più ballottaggi a tre o a quattro; ma molti candidati di sinistra e parecchi di centro-destra hanno scelto di non andare al ballottaggio, e soprattutto l’affluenza è stata ancora praticamente uguale; così le proiezioni che davano una maggioranza al RN si sono rivelate del tutto sbagliate.

La matematica gioca insomma un ruolo importante nelle scelte del sistema elettorale: ho già scritto in passato del paradosso dei gelatai con la sua versione 2.0, ma in questo caso le regole del gioco sono ancora diverse. L’unica cosa che dobbiamo sempre ricordare è che la matematica favorisce un certo tipo di situazione, ma all’atto pratico dipende sempre tutto dalle scelte specifiche: come accennavo sopra, i votanti francesi tendono ancora a seguire il ragionamento gollista ed evitare i voti agli schieramenti estremi, anche se il risultato stavolta è un parlamento spaccato che il generale non si sarebbe mai aspettto.

Ultimo aggiornamento: 2024-07-10 11:53

Una citazione inutile

«All’inizio e alla fine, abbiamo il mistero. […] A questo mistero la matematica ci avvicina, pur senza
penetrarlo». (E. De Giorgi)

La scorsa settimana c’è stata la prova di matematica all’Esame di Stato (la maturità, per noi vecchietti). Il secondo problema cominciava con una citazione di Ennio De Giorgi: «All’inizio e alla fine, abbiamo il mistero. […] A questo mistero la matematica ci avvicina, pur senza penetrarlo». Avendo conosciuto De Giorgi, non mi servivano le spiegazioni per immaginare che la parte tra puntini era «Potremmo dire che abbiamo il disegno di Dio.» De Giorgi, oltre che essere stato un grande matematico, era anche un uomo di fede. Ma di fede vera, che si rifletteva nelle opere: per dire, è stato uno dei fondatori della sezione italiana di Amnesty International. Dal suo punto di vista quella frase era del tutto coerente; ma togliendo l’inciso che la lega a Dio il significato cambia completamente. A dire il vero mi stupisce che con l’attuale governo sia stata perpetrata questa omissione, così come mi stupisce la citazione finale di Godfrey Hardy, noto ateo; ma probabilmente la scelta è stata fatta da qualcuno al ministero proprio in spregio all’attuale ministro dell’Istruzione e del Merito, che tanto non credo proprio abbia dato anche solo un occhio alle tracce di matematica. (Ah, c’è un aneddoto curioso su Hardy. Una volta dovette fare un viaggio in nave durante una tempesta, e prima di partire spedì a un suo amico una cartolina con testo “Ho risolto l’ipotesi di Riemann!”. Arrivato sano e salvo, commentò l’affermazione ovviamente falsa dicendo che se Dio fosse per sbaglio esistito non avrebbe mai permesso che un ateo come lui fosse ricordato per quella scoperta…)

Aneddoti a parte, trovo profondamente sbagliata questa scelta del ministero. Hai più di centomila studenti dello scientifico che sono giustamente nel panico perché l’esame di stato è un tutto-o-niente, e gli devi mettere delle citazioni che saranno subito lette come criptotracce per scoprire la strada più semplice per arrivare alla soluzione? Vuoi far vedere che sei uno che ha studiato? Occhei, io lo faccio sempre, ma almeno nessuno è costretto a leggere i miei sproloqui. Lascia i testi e non allargarti: c’è sempre tempo per scoprire le citazioni quando lo stato d’animo è più tranquillo. E comunque, checché ne pensi Hardy, è una palla che «al mondo non c’è posto perenne per la matematica brutta». Tutt’al più possiamo dire che la matematica brutta fa venire (ai matematici…) voglia di rimpiazzarla con matematica più bella, ma intanto i risultati brutti se li tengono stretti!

P.S.: una delle domande a cui dover rispondere dava la distanza della Terra dal Sole nel perielio e nell’afelio e chiedeva di «Determinare, in un opportuno sistema di riferimento, l’equazione che rappresenta la traiettoria della Terra intorno al Sole». Io anche da diciannovenne ero una persona serissima come lo sono ora: probabilmente avrei calcolato l’equazione dell’ellisse (ricavandomela dalle sue proprietà, figuriamoci se sapevo allora o so oggi la formula esplicita a partire dai due assi) ma prima avrei scritto: “prendendo un sistema di riferimento che si muove a una velocità opportuna rispetto all’asse maggiore dell’ellisse, e con un’opportuna scelta delle unità di misura, la traiettoria è data dalla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$.” Molto più semplice e tecnicamnte corretto, no? (Per chi si lamentasse del fatto che non c’è scritto che possiamo anche cambiare l’unità di misura, al posto di 1 si può mettere il semiasse minore dell’ellisse. I matematici sono dei cacaspilli, si sa)

Quando la fattorizzazione non è unica

Forse ricordate che il mese scorso ho raccontato di come la fattorizzazione unica non valga solo per gli interi ma anche per gli interi di Gauss, cioè i numeri della forma $a + bi$ con $a$ e $b$ numeri interi: l’unica differenza è le unità (i numeri invertibili) non sono solo $1$ e $-1$ ma anche $i$ e $-i$. Cosa succede se invece che $i := \sqrt{-1}$ usassimo la radice quadrata di un altro numero primo? Il povero Ernst Kummer, nel 1843, pensò di essere riuscito a dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat in questo modo, ma si accorse presto che non era così. Lui immaginava infatti che tutti gli anelli del tipo $\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]$, cioè dei numeri della forma $a + b\sqrt{p}$ con $p$ primo, avessero fattorizzazione unica, ma invece non è così! Se prendiamo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, per esempio, scopriamo che $21 = 3 \cdot 7 = (1 + 2\sqrt{−5})(1 − 2\sqrt{−5})$, e tutti e quattro questi numeri non hanno nessun fattore diverso da un’unità. Naturalmente i matematici non buttano via mai nulla, e da questo errore Kummer tirò fuori la teoria degli ideali; ma credo che ci rimase comunque male.
Ma quanti sono i numeri per cui la fattorizzazione è unica? Ce ne sono solo nove, e si chiamano numeri di Heegner: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Il bello di questi numeri è che per esempio sono correlati alla ricerca di polinomi che danno tanti numeri primi: il famoso polinomio euleriano $n^2 + n + 41$ che dà numeri primi per $n$ che va da 0 a 39 è per esempio collegato al 163.
Sempre il 163 (funziona anche gli altri numeri di Heegner, ma con questo che è il più grande i conti vengono meglio) ha un’altra caratteristica curiosa. Ramanujan scoprì che $e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots\approx 640320^3+744$. (Martin Gardner, come pesce d’aprile, nel 1975 scrisse che era un intero). Niente male, vero?

Carnevale della Matematica #179

“giubilante”
(Poesia gaussiana)

logo-carnevale_matematica
Benvenuti all’edizione numero 179 del Carnevale della matematica, dal tema “matematica estiva”! Il 179 è un numero primo, e quindi la cellula melodica ha una sola nota: Dioniso ci comunica che “il soprano si è scocciata di cantare note altissime e vuole preservare le sue corde vocali”, e quindi ha dovuto cambiare la regola. Per cui, d’ora in poi, per i numeri primi ci muoveremo verso il basso. In tutti i sensi. Per il momento un si è alla portata anche dei contralti :-)

cellula melodica per il 179 (do - do minore - sol/si)

Come ho detto, 179 è un numero primo: ma è anche un membro della catena di Cunningham 89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (la più piccola con sei membri), e non essendo né il primo né l’ultimo della catena è per definizione un numero primo di Sophie Germain e un numero primo sicuro. È anche un superprimo, perché è il 41.mo numero primo e 41 è primo; infine è un numero omirp. Ma passiamo ai contributi!

Dioniso ci presenta Maieutica e duplicazione del quadrato – terza parte, che i più acuti di voi avranno intuito essere il seguito di Maieutica e duplicazione del quadrato – seconda parte. Un estratto:

«Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l’allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

Annalisa Santi, come sempre, rispetta il tema riproponendo il suo Meteo, matematica e…farfalle!. Come ci racconta,

Era agosto 2014, quando scrissi questo articolo che, dopo 10 anni, sembra fatto su misura per questo maggio/giugno 2024 e per il tema scelto per questa 179esima edizione del Carnevale della Matematica.

In questo articolo introducevo considerazioni sulla correlazione tra i modelli meteorologici, la matematica e le previsioni meteo, soprattutto in base alla teoria del caos che dimostra come cambiamenti infinitesimali che avvengono in un sistema possono portare a cambiamenti sorprendentemente drammatici, che, in modo poetico, Lorenz sintetizzò con la famosa battuta: «Un battito d’ali di una farfalla in Brasile potrebbe provocare un tornado in Texas».

Mi chiedevo:
Cos’è la previsione meteorologica numerica?
Cos’è un modello meteorologico?
Quali sono le equazioni principali che sono utilizzate dai modelli?
Quale è l’affidabilità di queste equazioni per una corretta previsione?
La matematica frattale aiuta?

Tutte domande le cui risposte ancora ben si adattano alle problematiche odierne riferite al meteo.

MaddMaths! come al solito ha tanti contributi. Comincio con quello in tema:

Scuole estive (e non) di matematica per giovani. Giovani con la passione della matematica vogliono passare un’estate diversa dal solito con un po’ della loro materia preferita? Ecco cosa abbiamo trovato in rete. Ce lo racconta Marco LiCalzi, con l’amichevole collaborazione di Chiara de Fabritiis.

Vediamo ora il resto.

  • Il podcast Matematica al plurale – oltre il pregiudizio, voci dalla didattica
    Se pensiamo a quanti modi ci sono di concepirla, impararla, percepirla nel mondo e nel tempo, che variano da soggetto a soggetto, verrebbe forse da pensarla al plurale: “Matematiche”. Anche perché riguarda tutte le persone: fin dal suo apprendimento, la matematica ha un impatto rilevante sulle nostre vite e spesso si lega a emozioni forti, tra cui la paura di fallire. I voti in matematica continuano a terrorizzare generazioni di studenti e studentesse. Perché succede? Come riconciliarsi con questa disciplina bellissima, ma spesso odiata? Fino a che punto il suo insegnamento può far fronte alle sfide dettate dall’evoluzione tecnologica? Ne parliamo in Matematica al plurale – Oltre il pregiudizio, voci dalla didattica, un podcast a cura della Commissione italiana per l’insegnamento della matematica dell’Unione Matematica Italiana, in collaborazione con l’Associazione italiana di ricerca in didattica della matematica, pubblicato da MaddMaths! e disponibile dal 18 maggio su questa pagina, su Spreaker, Spotify e su tutte le principali piattaforme di streaming audio. La voce narrante è di Rosetta Zan. I testi sono a cura di: Anna Baccaglini-Frank, Alessandra Boscolo, Chiara Giberti, Alice Lemmo, Maria Mellone, Domingo Paola, Alessandro Ramploud, Rosetta Zan. La registrazione e l’editing sono a cura di Enrico Bergianti. Le musiche originali sono di Francesco Imbriaco. L’artwork del podcast è a cura di Tigre Contro Tigre.
  • È arrivato il n. 15 di Didattica della Matematica
    È uscito il quindicesimo numero della rivista Open Access Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI. Il nuovo numero presenta 3 articoli nella sezione Riflessione e ricerca, di cui uno anche disponibile in lingua inglese, 4 contributi nella sezione Esperienze didattiche relative a tutti i livelli della scuola dell’obbligo e 6 recensioni di libri inerenti la matematica e la sua didattica.
  • Archimede 1/2024: cent’anni di Mandelbrot È finalmente in stampa il numero 1/2024 della rivista Archimede. Vi proponiamo il sommario del direttore Roberto Natalini:
    “Il 2024 di Archimede sarà accompagnato da un grande matematico, Benoît Mandelbrot, che quest’anno avrebbe avuto cent’anno, e che ha coniato il termine “frattale” aprendo così nuovi orizzonti alla geometria e alle applicazioni della matematica. Nei quattro numeri di quest’anno il fumettista Lorenzo Palloni ci racconterà la sua storia, con testi, disegni e costruzioni ispirate alla sua opera. Il primo episodio è “Visioni”. Gli articoli di questo numero sono molto diversi tra loro. Cozzani, Sandri e Zaccagnini ci presentano un percorso laboratoriale che, usando la teoria dei numeri, ci fornisce lo spunto per creare collane e orecchini che raccontano teoremi. Cerasaro ci propone invece un percorso storico che permette una presentazione consapevole e visualmente convincente degli argomenti relativi ai rapporti e alle proporzioni che si svolgono nella scuola superiore di primo grado. Infine Gregorio e Presutti proseguono la serie dedicata ai vari concetti legati ai numeri, con un articolo sui numeri interi, dedicato principalmente agli ultimi anni di scuola primaria e alla scuola secondaria di primo grado.”
  • Rivoluzioni matematiche: il teorema dei numeri primi di Alessandro Zaccagnini Con il numero di Giugno de Le Scienze troverete in allegato il ventunesimo dei trenta volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema dei numeri primi e non poteva essere scritto che da Alessandro Zaccagnini.
  • La matematica è piena di Eulero!: Il metodo di Eulero Il quinto episodio della serie di MaddMaths! su alcuni dei tanti risultati di Eulero. Questo episodio è a cura di Francesca Carfora.
  • Racconta la tua vita a matematica (questionario per persone laureate in matematica dal 2018) Hai ottenuto la laurea in matematica (triennale o magistrale) dal 2018 in poi? Allora puoi partecipare a una iniziativa di orientamento della casa editrice Alpha Test per aiutare le persone che frequentano le scuole superiori a scegliere con consapevolezza il loro percorso universitario rispondendo a un questionario online. Vediamo meglio di cosa si tratta.
  • Matematica, comunicazione, società, una proposta di Daniele Gouthier
    La comunicazione e la divulgazione della matematica hanno un ruolo sempre più importante per la nostra disciplina. E allora, come promuovere attività di comunicazione e di divulgazione, come consolidare la cultura della divulgazione, come formare i futuri divulgatori alla professione del divulgatore e i futuri matematici alla comunicazione? Su queste e altre domande vorrebbe provare a rispondere, o almeno ad aprire il dibattito, Daniele Gouthier. Sarebbe utile ricevere le vostre opinioni in proposito.
  • Un piccolo passo per un uomo … C’è un certo fermento nel mondo della teoria dei numeri. Come scrive Terence Tao su Mastodon “C’è stato un notevole progresso verso l’ipotesi di Riemann (anche se siamo ancora abbastanza distanti da una sua piena risoluzione) compiuto da Guth e Maynard, che hanno ottenuto un primo miglioramento sostanziale su una stima classica di Ingham degli anni ’40 sugli zeri della funzione di Riemann”. Per saperne di più chiediamo come al solito ad Alessandro Zaccagnini.

Ma ci sono anche le rubriche!

Per le News di Stefano Pisani:

  • I matematici possono contribuire alla giustizia sociale
    La matematica potrebbe sembrare un improbabile alleato per la ricerca sulla giustizia sociale. Ma applicare il rigore del campo si sta rivelando un approccio promettente per identificare, e talvolta anche implementare, ottime soluzioni ai problemi sociali. Se ne parla in un saggio di approfondimento, comparso su Nature, dal titolo “Can mathematicians help to solve social-justice problems?” del quale di seguito trovate una rielaborazione e parziale traduzione.
  • Le leggi di Newton aiutano a nuotare meglio
    Cento anni fa, alle Olimpiadi di Parigi del 1924, l’americano Johnny Weissmuller vinse i 100 metri di stile libero maschili con un tempo di 59 secondi. Quasi un secolo più tardi, nelle Olimpiadi di Tokyo 2020, Caeleb Dressel, sempre nello stesso stile, portò a casa la medaglia d’oro rosicchiando 12 secondi a Weissmuller. I tempi, in questo sport, sono significativamente migliorati negli anni come risultato combinato di diversi fattori di innovazione applicati all’allenamento, alla strategia di recupero, alla nutrizione, nonché all’uso di più moderne attrezzature. Ma un ruolo chiave, in questi progressi, va riconosciuto sicuramente alla biomeccanica della bracciata, che ha consentito di ottimizzare le tecniche natatorie in ogni stile.

Per La Lente Matematica di Marco Menale:

  • Il modello Lotka-Volterra competitivo
    Da quasi un secolo il modello Lotka-Volterra è uno dei più applicati ai problemi ecologici. Nel corso del tempo è stato modificato così da adattarsi a diversi scenari. È il caso del modello Lotka-Volterra competitivo.
  • L’entropia di Shannon L’entropia ricorre spesso in matematica ed è entrata nel linguaggio quotidiano come sinonimo di disordine. Ci sono diverse definizioni in base al contesto. È il caso dell’entropia di Shannon in teoria dell’informazione.
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    Per Letture Matematiche:

    Da Amo la matematica abbiamo un post che più in tema di così non si può: Matematica estiva. Daniela spiega:

    La mia matematica estiva è quella che ritrovo camminando in montagna! Avrei dovuto preparare questo post al termine delle vacanze estive dell’anno scorso e, in qualche modo, l’avevo già scritto nella mia testa, ma poi il rientro a scuola e la ripresa di tutte le attività mi ha obbligato a una corsa contro il tempo, togliendomi la possibilità di scriverlo. Con il tema di questo Carnevale, direi che si sposa abbastanza bene e permette di fare anche un po’ di turismo matematico diverso dal solito: si tratta di un turismo naturale, tra le montagne della Valle Camonica (in provincia di Brescia) e non solo.

    I Rudi Matematici questo mese sono stati insolitamente silenti: nell’attesa che esca il numero 305 della Prestigiosa Rivista Matematica, c’è solo il cosiddetto “post istituzionale di soluzione”: “Tre birre al bauschanzli”, dove hanno cercato di gabbare i lettori lasciando intendere che fosse un problema di probabilità e invece non lo era. Non c’è cascato nessuno.

    Segnalo invece il gradito ritorno di Maths Is in the Air, con un’intervista ad Alberto Saracco sul suo libro recentemente uscito dal titolo: “Le Geometrie oltre Euclide”.

    Gianluigi Filippelli scrive più di me. Ecco cosa ci presenta questo mese.

    • Iniziamo con la serie delle biografie.
      Nella serie di Vite di scienza, il podcast youtubico, ecco Arthur Eddington che non è esattamente un matematico ma fu il primo a portare le prove di uno dei modelli matematici più famosi della fisica, la relatività di Einstein (se ne parlerà anche più sotto!). Per i Ritratti ecco Karen Uhlenbeck, la prima (e per ora unica) donna a venire insignita del Premio Abel.
    • Come ormai da un paio di mesi a questa parte le recensioni scientifiche sono monopolizzate dalla serie Matematica in uscita in edicola. Per questo mese ecco le recensioni di La trigonometria
    • Catastrofi e caosGeometria analiticaLa matematica della relatività. E a proposito della serie di libri, ho proposto una reinterpretazione di uno dei giochi matematici uscito sul terzo volume. Nella rubrica dei Paralipomeni di Alice ecco I due razzi https://dropseaofulaula.blogspot.com/2024/05/paralipomeni-di-alice-i-due-razzi.html
    • La rubrica gemella dei Paralipomeni, i Rompicapi di Alice, questo mese invece propone Il sorriso del gatto dedicato, ovviamente, al Gatto del Cheshire. La parte più corposa del post è dedicata a un rompicapo di Sam Loyd su una fase palindroma. Al suo interno propongo una generalizzazione della soluzione a un numero 2n + 1 di lettere della frase.
    • Una lettera d’amore algoritmica si occupa del capostipite dei generatori automatici di testi programmato da Christopher Strachey, che è stato assistente e amico di Alan Turing nonché, come si vedrà in uno dei contributi successivi, il primo ad aver fatto suonare un computer!
    • L’articolo di cui sopra è la perfetta introduzione alla miniserie di articoli usciti nella rubrica delle particelle musicali.
      Iniziamo con Musica frattale che esplora la musica generata usando la matematica dei frattali. La serie prosegue con Suno: musica intelligente, in cui provo a raccontare la matematica delle reti neurali artificiali, oltre a raccontare i miei esperimenti con questo tool online per generare musica a partire da prompt o testi propri.
    • Nel frattempo questa rubrica è anche sbarcata su YouTube con una serie di 4 video sull’argomento della musica generata dal computer. Questi sono i post di appoggio dei video, pubblicati su uno dei miei (tanti) blog: Musica col computer, in cui racconto la storia di Strachey; Musica frattale, che è la versione video del post omonimo; La decima sinfonia, sul completamento grazie a una rete neurale della decima sinfonia di Beethoven; Suno, musica intelligente, che è la versione video del post omonimo.

    Infine tocca a me.

    • I quizzini del mese sono Numeri allo specchio; che mi dicono essere troppo facile; Semplice, che è sicuramente semplice; Quanti quadrati? mostra come invece è difficile contare; Frazione continua è facile ma ha una bella soluzione grafica.
    • Le recensioni dei librini della collana sono: La trigonometria, scritto da mem dove ho preferito raccontare il perché la trigonometria è nata e si è sviluppata; Catastrofi e caos di Chris Casalvieri, dove avrete finalmente un’idea del perché i matematici parlano di catastrofi; La geometria analitica di Filippo Favale e Alessandro Cattaneo, utile ripasso per chi non se la ricorda più; La matematica della relatività di Christian Casalvieri, che mostra che almeno la relatività ristretta non è poi troppo difficile; La matematica combinatoria di Roberto Zanasi: perché si fa matematica anche contando.
    • Le altre recensioni matematiche sono di Aritmetica, di Paul Lockart, altamente consigliato soprattutto per chi non ha mai capito perché imparare a memoria le tabelline; Teoria dell’informazione, di Giuseppe O. Longo: un vecchio testo (dei primi anni ‘80) ma con qualche spunto interessante; Le geometrie oltre Euclide, di Alberto Saracco, un ottimo testo che va al di là dei soliti racconti sulle geometrie non euclidee.
    • Per il mercoledì matematico, racconto che la fattorizzazione unica è una cosa così bella che ce l’hanno anche i numeri complessi; che ChatGPT non è capace di risolvere un semplice problema matematico; della serie di Kempner, che si ottiene da quella armonica togliendo certi termini; Comma 22, un divertissement che si può proporre a qualche ragazzino.
    • Ci vediamo (speriamo) a settembre con una nuova edizione del Carnevale!

    Comma 22

    Prendete un numero qualunque di tre cifre tutte distinte diverse da zero: per esempio 718. Elencate tutti i possibili numeri di due cifre che si possono ottenere dalle cifre di quel numero: nel nostro caso, 17, 18, 71, 78, 81, 87 in ordine crescente. Sommate tutti quei numeri e dividete il risultato per la somma delle cifre del numero di partenza: (17 + 18 + 71 + 78 + 81 + 87)/(7 + 1 + 8) = 352/16 = 22. Qualunque sia la vostra scelta, il risultato sarà sempre 22!

    Il motivo è semplice: se il numero di partenza si scrive abc, i sei numeri di due cifre che si ottengono a partire da esso sono 10a + b, 10a + c, 10b + a, 10b + c, 10c + a, 10c + b; la loro somma è quindi 22(a + b + c), che divisa per le cifre del numero di partenza dà proprio 22.

    Ultimo aggiornamento: 2024-06-12 11:10

    La serie di Kempner

    la serie armonica Immagino conosciate tutti la serie armonica, cioè la somma degli inversi dei numeri naturali: $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $. Immagino anche sappiate che la serie diverge, come già sapeva Oresme nel medioevo: basta raggruppare $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $, $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$,
    $\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{16}$ e così via, e notare che la somma di ogni raggruppamento è maggiore di 1/2. Per i curiosi, come si può intuire dalla figura qui a fianco, il valore parziale della serie armonica da 1 a $n$ si può approssimare con $\textrm{ln}\; n$, cioè con il logaritmo naturale. (E addirittura l’errore tende alla costante di Eulero-Mascheroni $\gamma$).

    Chiamiamo ora diabolico un numero che contiene al suo interno la successione 666, e sommiamo gli inversi di tutti i numeri che non sono diabolici. Bene: questa somma invece converge. Quello che forse non è noto a tutti è infatti che se si eliminano dalla somma tutti i numeri che contengono una certa cifra allora il risultato è finito. La cosa fu scoperta da A. J. Kempner nel 1914, e le serie così costruite si chiamano serie di Kempner, appunto. La dimostrazione che quelle successioni sono finite ricorda un po’ quella di Oresme che abbiamo visto sopra. Togliamo per esempio tutti i numeri che contengono il 9. Dato un numero naturale $n$, i numeri di $n$ cifre che non contengono il 9 sono $8 ⋅ 9^{n−1}$, poiché ci sono 8 scelte possibili (da 1 a 8) per la prima cifra, e 9 scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre $n−1$. Ma ciascuno di questi numeri senza 9 è maggiore o uguale di $10^{n−1}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci è minore di $8(9/10)^{n−1}$. Facendo la somma di tutti i contributi dati dai numeri di 1, 2, 3, … cifre si ottiene che la somma è minore di 80. (Il valore effettivo è circa 22,92067: diciamo che in questo caso la stima era molto grossolana.) Qualcuno potrà lamentarsi perché la dimostrazione parla di numeri di una cifra che vengano tolti, e non di 666: ma il ragionamento qui sopra si può fare con una qualunque base e una qualunque cifra in quella base tolta. Se lavoriamo in base 1000 e togliamo la “cifra” 666 otteniamo una serie che ha più termini di quella che cerchiamo (per esempio conterrà 426660, visto che il numero si divide come 426-660) ma che comunque converge.

    Ah: può sembrare incredibile, ma la somma degli inversi dei numeri primi invece diverge. Cresce in modo davvero lento: l’ordine di grandezza della somma dei primi $n$ primi è $O(\textrm{ln}\; \textrm{ln}\;n)$, ma comunque diverge.

    (immagine di Baszoetekouw, da Wikimedia Commons)

    ChatGPT ne ha ancora da imparare, di matematica

    il problema del calenpiario Da qualche anno Riccardo Moschetti e Roberto Zanasi preparano una serie di problemi matematici che durano dal π Day al τ Day: il CalenPIario.

    Il problema di sabato scorso diceva

    Quanti sono gli interi positivi che in base 7 si scrivono usando 3 cifre, e in base 5 si scrivono con le stesse cifre in ordine inverso?

    Io sono pigro, ho cominciato a scrivere qualche possibilità e ho trovato due soluzioni. Poi ho continuato a scrivere numeri e ho deciso che non ce n’erano altre, e in effetti era così. Un mio amico si è lamentato perché ha fatto i conti e gli veniva un risultato diverso, e ha chiesto a ChatGPT che gli ha dato lo stesso risultato.
    Essendo io curioso, ho provato a chiederglielo io stesso. L’intelligenza artificiale ha sparato tutto un pippone, partendo dal numero scritto in base 7 come abc e in base 5 come cba, dando dei

    Vincoli sui valori delle cifre:
    
        a deve essere compreso tra 1 e 6 (poiché a≠0 in base 7).
        b deve essere compreso tra 0 e 6.
        c deve essere compreso tra 1 e 4 (poiché c≠0 in base 5).
    

    (vincoli sbagliati, tra l’altro: ovviamente anche a e b possono essere al massimo 4), e tirando fuori l’equazione 24a+b=12c che così ad occhio è corretta. Poi si mette “a fare i conti”, scopre che per a=1 c’è la soluzione (1,0,2) e dichiara che per gli altri valori di a non ce ne sono… lasciandosi sfuggire che raddoppiando i valori della prima soluzione ne ottieni un’altra: (2,0,4).

    Dal mio punto di vista non è che ci sia molto di strano: gli LLM non hanno nessuna idea di quello che fanno, e per loro 24a+b=12c non è un’equazione ma un insieme di caratteri. Ci saranno state probabilmente regole statistiche che gli permettono di calcolare i multipli di 24: ma immagino che b=12c−48 non fosse così presente nella base dati di addestramento per fargli trovare la risposta.

    Io continuo a pensare che le cosiddette “allucinazioni” sono intrinseche negli LLM, e quindi non abbia senso fargli fare conti matematici. Your mileage may vary.

    Aggiornamento (29 maggio) Su suggerimento di mestesso ho provato a usare Gemini. Peggio ancora. A parte l’inizio dove comincia bene ma è convinto che si possa usare il 5 per un numero in base 5

    Passo 1: Identificare le possibili cifre in base 7
    
    Un numero in base 7 con 3 cifre può assumere valori compresi tra  e . Tuttavia, per essere espresso con le stesse cifre invertite in base 5, il numero non può contenere la cifra 6.
    
    Pertanto, le possibili cifre in base 7 sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
    

    nel passo due ha qualcosa peggio di un’allucinazione: deve aver preso roba tagliata male.

    Cifra delle centinaia = 0: In questo caso, il numero è semplicemente 0, che non soddisfa la condizione di avere cifre diverse da 6.
    

    Poi continua con casistiche dove non sono scritti i numeri, e termina dicendo che ci sono 20 numeri che soddisfano il problema.

    output di gemini

    Capirete che non vado a spendere 22 euro il mese per Gemini Advanced :-)

    Ultimo aggiornamento: 2024-05-30 10:33