Macché π, la Vera Costante Circolare è ח

Il libro di AranovskyProbabilmente avete sentito parlare del progetto di legge 246 del 1897 dello stato dell’Indiana, promosso su sollecitazione di un tale Edwin J. Goodwin, che avrebbe sancito legalmente il valore di pi greco uguale esattamente a 3, non un epsilon di più. Goodwin era riuscito a convincere i deputati che una simile legge sarebbe stata un affarone, anche perché avrebbe loro concesso l’esenzione dalle royalty chieste per l’uso di questo valore finalmente esatto. Vabbè, direte, è roba di più di un secolo fa. Chi si metterebbe ora a fare qualcosa del genere?

Mai dubitare delle capacità umane. David Aranovsky (potete vedere la sua faccia qui) ha appena pubblicato un pamphlet dal titolo The Trojan Horse of Human Civilization – The Collapse of π and the Rise of ח: i curiosi lo possono scaricare da Zenodo, e i puri di cuore possono omaggiare l’autore acquistando l’eBook su Amazon. Il simbolo che indica la sua nuova costante è la lettera ebraica het, nel caso ve lo chiedeste; non sono riuscito a scoprire il perché abbia scelto proprio quella lettera.

Non è facile comprendere quale sia il processo che ha portato Aranovsky alla sua scoperta, anche se il misticismo è indubbiamente in prima fila: basta leggere la sua introduzione, dove afferma

Ogni equazione, ogni costante, ogni struttura qui presentata emerge da puri principî primi che riflettono la perfetta creazione divina. Tali verità – il Rapporto Divino (ℵ) e ח, la Vera Costante Circolare – sono autodefinenti, immutabili ed eterne.

Anche la parte più prettamente matematica non è facile da seguire, perché il testo pare essere un patchwork di vari articoli scritti da Aranovsky senza una loro riorganizzazione. Però credo di aver capito il concetto di base, anche se non saprei dire quale sia la causa e quale l’effetto. Lui afferma che l’universo non è continuo ma discreto, basato su un reticolo non cubico, come ci si aspetterebbe, ma tetra-ottaedrico. È poco noto infatti che lo spazio può essere tassellato con ottaedri e tetraedri, con ciascun insieme di solidi che è “lo sfondo” dell’altro. L’ottaedro porta al suo interno i valori $\sqrt 2$ e $\sqrt 3$: se il suo lato è $a$ superficie e volume sono

$ \begin{align}
S &= 2\sqrt{3}a^2, \\
V &= \frac{1}{3} \sqrt{2}a^3.\end{align}$

Ora, capita che $\sqrt 2 + \sqrt 3 \approx 3.146264$, che è molto vicino a π; Aranovsky deve avere avuto un’illuminazione e ha deciso che questa è la Vera Costante Circolare, appunto ח. Inoltre questa costante è la soluzione di una bella equazione $x^2 + (1/x)^2 = 10$, il che deve averlo vieppiù rafforzato nella sua convinzione. Da qui comincia a inventarsi cose che non hanno alcun senso, tipo questo suo brano:


Il Problema del Riferimento Circolare

La pecca più fondamentale e catastrofica di π non è semplicemente che è un’approssimazione, ma che è un’approssimazione ricorsiva, definita in termini di sé stessa. Questo ragionamento circolare crea un’impossibilità logica, trasformando π in un’illusione matematica che crolla a un attento esame.

Ragionamento Circolare: la Radice della Fallacia

In sostanza, π è derivato utilizzando segmenti per approssimare un cerchio. Il processo si basa su un metodo iterativo:

Passo 1: usare un poligono per approssimare un cerchio.
Passo 2: verificare l’accuratezza dell’approssimazione confrontandola con un cerchio perfetto.
Passo 3: perfezionare l’approssimazione aumentando il numero di lati e confrontare di nuovo…

Il problema: ogni perfezionamento richiede il confronto con un “cerchio perfetto”, che dipende dalla
conoscenza di π, un numero che non è ancora stato definito senza approssimazione. Questo riferimento circolare non è un semplice errore innocente: è un paradosso logico che crea un ciclo autoreferenziale, intrappolando la matematica in una falsità che non può essere risolta senza liberarsi dalla ricorsione.


Vi siete accorti della Fallacia, stavolta vera? Aranovsky aggiunge un passo che non esiste, la verifica dell’approssimazione. Quello che si fa nella realtà è avere due approssimazioni, una con segmenti interni e una con segmenti esterni al cerchio. Di per sé queste approssimazioni potrebbero non convergere a un singolo valore: ma sicuramente non richiedono di assumere l’esistenza di pi greco. Lasciamo perdere altre “logiche” come quella che afferma

A differenza delle costanti fisse che rimangono stabili su tutte le scale, la natura ricorsiva di π significa che ogni approssimazione si basa sugli errori della precedente. Questi errori non si accumulano semplicemente, ma si moltiplicano.

Peccato che nel nostro caso, prendiamo il metodo di Archimede che in effetti è ricorsivo, abbiamo una successione monotona e limitata e quindi questo ragionamento non si applica. Ma non dovrei parlare di Archimede o dei greci: sono stati infatti una civiltà basata su soggettivismo e relativismo morale (e teoria gender), se non ve ne foste mai accorti.

Mi fermo qui: non voglio toglievi il piacere di scoprire le altre Vere Costanti. Bisogna però ammettere che Aranovsky ha un’alta opinione di sé: si autodefinisce infatti Moshiach, cioè “l’unto” (o se preferite un termine quasi traslitterato, “messia”…)

MATEMATICA – Lezione 57: Meccanica analitica

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Cos’è la meccanica analitica? È la messa in pratica di quanto espresso in teoria dai Principia Mathematica di Isaac Newton. I Principia per definizione danno dei principi di base da cui si può capire come si muove l’universo (ricordate che siamo ancora in un periodo meccanicistico). Poi però bisogna trovare le equazioni. Ha cominciato Eulero con il calcolo delle variazioni che serve a trovare le posizioni di equilibrio di un sistema; ma il grande lavoro è stato fatto da Lagrange con la sua Méchanique Analitique, seguito poi da Hamilton. In questo volume Paolo Caressa spiega quale è stato il loro approccio: mettere insieme i principi di conservazione (dell’energia per Lagrange, dell’azione per Hamilton) e le tecniche di analisi matematica di Leibniz e Newton per derivare le formule matematiche che descrivono il moto di un punto materiale, e che esulano dallo spazio tridimensionale classico: il moto di un punto infatti è definito a ogni istante da sei parametri, tre posizioni spaziali e le tre proiezioni della sua velocità, e quindi stiamo lavorando in R6. Tutto questo ha a sua volta portato a sviluppare una nuova branca dell’analisi, ma quella è un’altra storia.
Veronica Giuffré parla di Benoît Mandelbrot, matematico non convenzionale noto anche al grande pubblico per la sua divulgazione dei frattali; i giochi matematici sono infine miei e si basano sui numeri naturali, nella probabilità e nella fattorizzazione.

Paolo Caressa, Matematica – Lezione 57: Meccanica analitica, allegato a Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera, €6.99 più il prezzo del giornale.

Amazon l’ha esplicitato (almeno in US)

kindle in US - licenza kindle in Italia - occorre leggere i termini di utilizzoMitì Vigliero segnala un post di The Ebook Reader, che mostra una modifica in quanto scritto su Amazon.com quando si “compra” un ebook. Adesso è scritto che comprando l’ebook si acquista una licenza per il contenuto.
Se guardate cosa succede acquistando un libro Kindle in Italia, parrebbe che le cose non siano così: ma non è vero. I termini di utilizzo del Kindle Store sono sempre gli stessi:

Amazon ti concede il diritto non esclusivo di vedere, usare e visualizzare tale Contenuto Kindle […] esclusivamente tramite il Software Kindle, oppure con le diverse modalità autorizzate per il tipo di Servizio, sui Dispositivi Supportati specificati nella sezione Gestisci i tuoi Contenuti e Dispositivi all’interno del tuo Account […] Il Contenuto Kindle ti viene concesso in licenza d’uso e non è venduto da Amazon.

Non credo di aver mai visto in vita mia un ebook venduto davvero. (Al limite regalato, come un paio di miei librini che hanno una licenza CC-BY-NC 4.0: ma tecnicamente nemmeno quelli si comprano, appunto). E allora perché Bezos ha dovuto cambiare il testo del messaggio quando si acquista un ebook negli USA? Pare che ci sia una nuova legge californiana che afferma che gli acquirenti devono visibilmente sapere che stanno solo acquistando una licenza d’uso: ma Kobo continua a linkare solo i termini di utilizzo. In definitiva, circolare, circolare: non è successo nulla!

Aggiornamento: (h 11:15) questa è la pagina di copyright di un ebook Mondadori (che ho preso da MLOL). Come vedete, non si parla mai di acquisto dell’ebook, anche se in effetti viene lasciata in principio la possibilità…

Quizzino della domenica: Cancellazioni

738 – aritmetica

Cancellate alcune caselle del quadrato mostrato in figura, in modo che per ciascuna riga e ciascuna colonna la somma dei numeri rimasti corrisponda a quanto scritto a lato.

il quadrato con le somme
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p738.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Maths Newsletter di Chris Smith.)


The Pharaoh’s Cat (libro)

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[Disclaimer: Ho ricevuto il libro grazie al programma Early Reviewer di LibraryThing]
Il filo conduttore che unisce questi racconti di Lisanne Norman è il suo muoversi su diversi piani temporali. È un po’ spiazzante all’inizio, ma poi ci si fa l’abitudine. I racconti che non seguono questa traccia sono i tre con Mouse, l’imp e il gioiello, che mi sono piaciuti particolarmente: direi che Norman stia pensando di portare avanti la storia. Quello che non mi è piaciuto è che spesso mi pare che manchi qualcosa nella spiegazione del contesto, ma in generale il libro mi è piaciuto. Giudizio telegrafico sui vari racconti:
◆ The Pharaoh’s Cat: Non ho capito perché ci dovesse esssere la cornice: il racconto andava bene anche senza. 4/5
◆ Under Her Skin: bel racconto, ma avrei preferito che le informazioni che sono date man mano fossero più preparate. 4/5
◆ Is This Real Enough?: I cambi di punto di vista sono molto interessanti. 5/5
◆ To Catch a Thief: Il personaggio di Mouse comincia a essere costruito. 5/5
◆ Paintbox: Non mi piacciono le storie horror, ma questa è venuta bene. 5/5
◆ Warrior in the Mist: La più debole del lotto. Anche qui la cornice non mi piace per nulla, e la parte iniziale sembra davvero forzata. 2/5
◆ By the Book: Manca qualcosa nell’incontro finale, ma in generale è un buon proseguimento delle avventure di Mouse. 4/5
◆ The Wild Hunt: In un certo senso funziona. 5/5

(Lisanne Norman, The Pharaoh’s Cat, Paper Phoenix Press 2024, pag. 180, € 4,15, ISBN cartaceo 9781956463095 – se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me)

Voto: 5/5

La paura dei dati

Ivo segnala che il sito FiveThirtyEight.com di Nate Silver, che da alcuni anni è stato assorbito da ABC News, è stato chiuso dall’oggi al domani. Se ora si digita l’URL, si finisce nella pagina di politica di ABC News.

Ho dei dubbi che, come scrive John Gruber di Daring Fireball nell’articolo che ho citato, sarebbe stato così semplice rendere il sito statico e congelato a ieri. Ma non credo nemmeno che sarebbe costato così tanto lasciarlo così com’è, senza aggiornamenti. Quello che fa paura è che non basta Trump a cancellare siti, ma le grandi corporation lo fanno per conto loro.

Vincere al lotto con l’intelligenza artificiale?

Stefano Scardovi mi ha segnalato qquesto articolo (ma ne parla per esempio anche La Stampa e una ricerca con “Monteroni lotto fisica” porta tanti altri risultati, anche se stranamente non ho visto agenzie). Tre studenti di “Matematica e Fisica” avrebbero vinto quasi 50000 euro al lotto applicando l’intelligenza artificiale allo storico dei numeri usciti, e cercando quelli che si presentavano di più (cosa che di per sé avrebbe più senso rispetto a puntare sui ritardatari: se in teoria ci fosse un bias di estrazione è più facile che escano gli stessi numeri).

Se io dovessi fare una scommessa :-), voterei per il survivor bias: noi vediamo qualcuno che ha vinto, e non sappiamo né quanti soldi abbiano giocato, né quanti altri abbiano provato perso e taciuto, né cosa succederà in futuro. Quello che mi preoccupa è il mumbo jumbo degli articoli (sulla Stampa tanto per dire scrivono «Il processo, chiamato in termini tecnici machine learning, ha esaminato i risultati degli ultimi 24 mesi»…) e il tentativo di dare uno status quasi magico all’intelligenza artificiale. Se avessero detto di avere addestrato un sistema di AI a predire quale mossa farò giocando a carta forbice sasso non avrei battuto ciglio (tanto lo fanno già, e del resto lo facevano prima che si parlasse di AI): però qua il tutto puzza di bufala lontano un miglio, anche se non mi stupisco che i giornalisti ci siano cascati come dei polli.

Il rapporto superaureo – 3

Dopo il primo e il secondo post sul rapporto superaureo, termino con una costruzione che ricorda quella dei conigli di Fibonacci, ma lavora più in grande (altrimenti il rapporto non sarebbe mica superaureo, no?)

Un secolo e mezzo dopo Fibonacci, il matematico indiano Narayana Pandit nel suo testo Ganita Kaumudi propose questo problema.

Una mucca dà alla luce un vitello (femmina) ogni anno. A partire dal suo quarto anno di vita, ogni vitello ormai divenuta una mucca adulta dà anch’essa alla luce un vitello l’anno. Quante mucche e vitelli ci saranno in tutto dopo vent’anni?

Occhei, il testo dovrebbe ricordarvi per l’appunto qualcosa…
Matematicamente, abbiamo l’equazione alle ricorrenze $N_k = N_{k-1} + N_{k-3}$, con la condizione iniziale $N_0 = N_1 = N_2 = 1$. La N è naturalmente maiuscola in onore di Narayana, come nel caso della F per i numeri di Fibonacci. I primi termini della successione sono 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88… e il loro rapporto tende al numero superaureo $\psi$. È interessante notare come i numeri di Narayana siano collegati ai coefficienti binomiali, per mezzo della formula

$N_{n} = \sum_{k=0}^{\lfloor n / 3 \rfloor}{n-2k \choose k}$;

ma d’altra parte è noto che guardando attentamente il triangolo di Tartaglia possiamo trovare al suo interno la successione di Fibonacci, quindi non vedo nulla di strano.

frattale di Rauzy

Vi risparmio un po’ di formule in stile Binet per ricavare il rapporto superaureo, e termino con una figura: un frattale di Rauzy, dove la tessera grande è formata da tre tessere più piccole e i rapporti relativi sono $\psi^4 : \psi^2 : \psi : 1$. Come ci si arriva? Iterativamente, come sempre con i frattali. Partiamo dalla matrice

$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

che ha come autovalore $\psi$. Se la eleviamo alla n-sima potenza, otteniamo
$Q^{n} = \begin{pmatrix} N_{n} & N_{n-2} & N_{n-1} \\ N_{n-1} & N_{n-3} & N_{n-2} \\ N_{n-2} & N_{n-4} & N_{n-3} \end{pmatrix}$

che come vedete ha come elementi numeri consecutivi di Narayana. Ma possiamo vedere queste matrici anche come generate da una struttura ricorrente:
$\begin{cases}
a \;\mapsto \;ab \\
b \;\mapsto \;c \\
c \;\mapsto \;a \end{cases}$

partendo da un elemento $w_0 = b$. Applicando quelle regole di trasformazione, a ogni passo avremo che la quantità di $c, b, a$ sono numeri di Narayana consecutivi, e la lunghezza complessiva della stringa al passo $n$ è sempre un numero di Narayana. Ecco i primi passi della trasformazione:

$w_1 = b$
$w_2 = c$
$w_3 = a$
$w_4 = ab$
$w_5 = abc$
$w_6 = abca$
$w_7 = abcaab$
$w_8 = abcaababc$
$w_9 = abcaababcabca$

Il frattale di Rauzy considera le tre lettere come direzioni spaziali, genera un insieme infinito di punti dello spazio che poi vengono mappati su un piano per ottenere la figura mostrata sopra. (A dire il vero, questa figura corrisponde alla trasformazione (a ↦ cab) (b ↦ a) (c ↦ ab), ma quella che ho usato io porta a una figura simile). Non è carino?

Immagine di Zilverspreeuw da Wikimedia Commons, CC=BY=SA 4.0