Se vi dicessi che ho scritto l’anno 2023 in una certa base e mi è venuto fuori 2441010, mentre il 2024 si rappresenta come 2441100, riuscireste a indovinare la base? Probabilmente no, a meno che non abbiate visto e studiato la vignetta qui a fianco. Ho infatti scritto i numeri in base fattoradicale; un modo indubbiamente fantasioso, come vedremo. La base fattoradicale è un sistema a base mista: le posizioni da destra a sinistra corrispondono ai multipli dei successivi numeri fattoriali, con la regola aggiuntiva ma logica che non è possibile che nella posizione $n$ da destra non si possa usare un coefficiente maggiore di $n$; a differenza delle usuali basi numeriche si può però usare $n$. (Ricordo che $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$; per convenzione 0! = 1, ma nel nostro caso tutti i numeri naturali in base fattoradicale finiscono per 0). Pertanto $2441010_{!} = 2(6!)+4(5!)+4(4!)+1(3!)+0(2!)+1(1!)+0(0!)$, il che in effetti non è molto semplice da leggere. Come in genere si scrive $2023_{10}$ per dire che il numero è in base 10, per la base fattoradicale si usa un punto esclamativo come pedice.

Non è difficile dimostrare che ogni numero naturale si può scrivere in un solo modo in base fattoradicale; il trucco è notare che quando il coefficiente relativo alla posizione $n$ arriva a $n+1$ abbiamo esattamente $(n+1)!$ e quindi possiamo fare il riporto esattamente come nelle basi di numerazione usuali; l’unica differenza è che il riporto cambia a ogni nuova posizione, invece che arrivare allo stesso valore. Non è nemmeno troppo difficile convertire un numero dalla base 10, o se per questo da qualunque base fissa, alla base fattoradicale. La cifra più a destra, come dicevo sopra, è sempre 0; poi si comincia a dividere il numero per 2, 3, 4… e il resto della divisione è la cifra da aggiungere man mano a sinistra. Abbiamo così
$$
\begin{array}{c c c}
(2023/1 & = 2023) & 0 \\\hline
2023/2 & = 1011 & 1 \\\hline
1011/3 & = 337 & 0 \\\hline
337/4 & = 84 & 1 \\\hline
84/5 & = 16 & 4 \\\hline
16/6 & = 2 & 4 \\\hline
2/7 & = 0 & 2
\end{array}
$$

Ma a che serve scrivere un numero in fattoradicale, considerando che come dice xkcd se superi la posizione corrispondente a 9! devi inventarti dei nuovi simboli? Per esempio per un trucco di magia matematica, come racconta Tom Edgar. Mischiate un mazzo di carte, chiedete a un membro del pubblico di prendere un mazzetto di 24 carte e sceglierne una mentre non guardate, e di mischiare di nuovo il mazzatto. A questo punto vi girate verso il pubblico e chiedete a una seconda persona di dire qual è il numero che preferisce tra 1 e 24. Prendete il mazzetto e fate due file di 12 carte alternando da una fila all’altra, e chiedete alla prima persona in quale fila si trova la carta da lui scelta. Mettete una fila sopra l’altra e fate stavolta tre file di 8 carte, chiedendo sempre dove si trova la carta scelta; infine fate quattro file di sei carte e chiedete ancora una volta dove si trova la carta scelta. Prendete le carte, rimettetele insieme e cominciate a girarle: la carta prescelta dalla prima persona sarà esattamente nella posizione corrispondente al numero detto dalla seconda persona!

Come è possibile? Potete facilmente immaginare che il trucco sia legato alla base fattoradicale. In effetti i numeri da 0 a 23 possono essere scritti con al massimo quattro cifre fattoradicali, dove l’ultima è sempre 0 e possiamo toglierla. Se ora per esempio il secondo membro del pubblico ha scelto il numero 14, togliamo 1 e otteniamo 13, cioè $2010_{!}$. Tolto lo zero di destra, le cifre da destra a sinistra sono 1, 0, 2; sommiamo a ciascuna 1 e otteniamo 2, 1, 3. Questo vuol dire che dopo la prima fase il mazzetto con la carta scelta deve essere messo in seconda posizione, dopo la seconda fase il nuovo mazzetto deve stare in prima posizione e dopo la terza fase in terza posizione. Abbiamo in pratica scritto il numero prescelto in base fattoradicale, e se contiamo a una a una le carte lo troviamo. Con un po’ di allenamento e di memoria per calcolare a mente la conversione in base fattoradicale il gioco riesce facilmente: e non avere un numero prefissato di file a ogni passo rende più difficile scoprire il trucco.

Ma c’è qualche proprietà più utile dei numeri in base fattoradicale? Lo vedremo la prossima volta! (no, quello non è un simbolo di fattoriale)

(immagine di xkcd, CC-BY-NC 2.5)