Vi ho parlato – qui, qui e qui – del rapporto superaureo ψ, che è l’unica soluzione positiva dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$. E cosa succede se prendiamo invece l’equazione $x^3 = x + 1$? Semplice: otteniamo il rapporto plastico (o numero plastico, se preferite), che si indica con ρ e vale circa 1,324717957… Ah: non traducete “plastic number” come “numero di plastica”, perché sarebbe riduttivo. L’aggettivo “plastico” in questo caso significa “che si può modellare artisticamente”.
Abbiamo una formula esplicita per ρ:
$\rho=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$,
il che non è in effetti un valore bello a vedersi, ma dobbiamo accontentarci di quel che ci passa il convento. Anche lo sviluppo in frazione continua non ci dice molto: comincia infatti con [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,…] dove l’unica cosa davvero interessante è che ci si può fermare al dodicesimo livello della frazione continua, prima cioè del 141 e avere un’approssimazione molto precisa. E a proposito di approssimazioni, ρ è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan e quindi come ricordate le sue potenze sono molto vicine a numeri interi.
Inutile dire che esiste una successione ricorsiva simile a quella di Fibonacci tale che il rapporto tra due termini successivi tenda a ρ; anzi, ce ne sono due. La più nota è probabilmente quella di Padovan (che non è un matematico italiano ma britannico), definita nel modo seguente: P(0) = P(1) = P(2) = 1, e P(n) = P(n−2) + P(n−3). La seconda è quella di Perrin (ma ne aveva già parlato Édouard Lucas), con la stessa ricorrenza ma i cui primi tre valori sono 3, 0, 2; questa successione ha un significato combinatorio. Che bisogna passare al termine tre posizioni indietro è chiaro, visto che ρ è la soluzione di un’equazione di terzo grado.
Come i numeri di Fibonacci permettono di costruire un quadrato che racchiude una spirale, capita qualcosa di simile con i numeri di Padocan che però usano triangoli equilateri anziché quadrati, formando una figura più simile a una conchiglia. In figura potete vedere tre di queste spirali.
Ci sono altre proprietà del rapporto plastico, che vi racconterò la prossima volta.
Le spirali plastiche sono di Hyacinth, da Wikimedia Commons
In un certo senso il titolo potrebbe anche essere corretto, nel senso che non sono proprio riuscito a capire questo libro, da buona torre di Babele. Certo, non mi aspettavo una trattazione tecnica, visto il curriculum degli autori: ma una visione più filosofica mi sarebbe andata benissimo. Invece mi sono trovato un insieme di frammenti senza un ordine che almeno io riconoscessi, e alla fine non mi è rimasto proprio nulla. Prendere le fanciulle meccaniche di Efesto e arruolarle nell’intelligenza artificiale non ha una grande utilità, e comunque esula dal punto di vista. L’automa per definizione fa quello che gli viene detto, è un computer; e anche il fil rouge tra Lullo, Laputa e Leibniz con il tentativo di sistematizzare la generazione di nuova conoscenza è troppo fragile. Non parliamo della biblioteca di Babele che non ha nulla a che fare con l’AI. Sconsiglio.
Mercoledì la mia collega che era in ufficio mi scrive sulla chat aziendale e mi dice che nella posta interna ha trovato una busta per me, e me l’avrebbe lasciata nell’armadietto. Ieri sono arrivato in ufficio e ho aperto la busta: c’era l’ultimo numero della rivista cartacea 
Lin McMullin è un professore in una high school americana. È anche lo scopritore di quello che per una volta è un teorema il cui nome è quello corretto, cosa che in matematica è praticamente impossibile. Cosa dice 