La settimana scorsa ho parlato dei numeri di Ulam: una successione che comincia con 1,2 e continua aggiungendo man mano il più piccolo elemento che è esprimibile come somma di due elementi distinti della successione in un solo modo.
Che può fare a questo punto un matematico? Generalizzare, ovvio. Nel 2020 è stato pubblicato un articolo di Tej Bade, Kelly Cui, Antoine Labelle e Deyuan Li (supervisionati da Noah Kravitz) che hanno generalizzato al di là dei numeri naturali i numeri di Ulam. L’esempio più semplice è per l’appunto l’insieme di Ulam sull’insieme delle stringhe binarie generate da {0,1} con una regola simile, sostituendo alla somma la concatenazione. Quindi una stringa fa parte dell’insieme di Ulam se può essere generata in un unico modo come concatenazione di due altre stringhe diverse tra loro. Quindi le stringhe di lunghezza 2 sono 01 e 10 (ma non 00 e 11); quelle di lunghezza 3 sono 0.01, 01.1, 10.0 e 1.10, dove il punto serve semplicemente per distinguere le due stringhe concatenate e non fa parte della stringa in sé. Passando alle stringhe di quattro elementi abbiamo 0.001, 001.0, 0.100, 011.1, 100.0, 1.011, 110.1, 1.110. Non abbiamo 10.10 (concatenazione di due stringhe uguali) né 0011, che è la concatenazione 0.011 ma anche 001.1.
Perché si chiama insieme e non successione di Ulam generalizzata? Perché non c’è nessuna ragione specifica per dare un ordinamento tra le varie stringhe, a differenza dei numeri, e quindi è più opportuno lasciarle sotto forma di insieme. A oggi si sa ancora meno sugli insiemi di Ulam che sui numeri di Ulam. Per esempio il grafico che vedete, preso dal succitato articolo, mostra la percentuale di stringhe di lunghezza n che sono nell’insieme di Ulam. Gli autori congetturano che, proprio come per la densità dei numeri di Ulam, questa percentuale abbia un limite diverso da zero: ma in quest’altro articolo del 2024 Paul Adutwum, Hopper Clark, Ro Emerson, Alexandra Sheydvasser, Arseniy Sheydvasser, e Axelle Tougouma congetturano che essa tenda a zero proporzionalmente a $n^{-0,\!3}$.
Qualcosa si riesce però a dimostrare: per esempio, Adutwum et al. hanno mostrato che se plottiamo l’insieme dei punti $(x,y)$ per cui la stringa 111…1000…0 con $x$ elementi 1 seguiti da $x-y$ elementi 0 è una stringa di Ulam allora i punti formano un triangolo di Sierpiński discreto con in più il punto (1,1). Non ho idea di quale sia la relazione, ma indubbiamente c’è!
Nei primi anni 2000 negli Stati Uniti partì una campagna avviata dai fondamentalisti cristiani per osteggiare l’insegnamento dell’evoluzione. La campagna fu subdola: si richiese di affiancare allo studio della *teoria* dell’evoluzione un’altra teoria, quella dell’Intelligent Design (ID, da noi traslitterato in Disegno Intelligente, anziché il più corretto Progetto Intelligente). In pratica, la varietà dell’universo è dovuta al fatto che un Progettista ha preparato tutte le cose perché si sviluppassero man mano così. L’allora venticinquenne Bobby Henderson pensò di contrastare l’ID mostrando che in realtà l’universo era stato progettato – non proprio benissimo, ma d’altronde basta darsi un’occhiata in giro per accorgersene – da un Prodigioso Spaghetto Volante, e scrisse questo libro fornendo le prove scientifiche di tutto questo. In seguito pare che Henderson abbia preso le distanze dalla sua religione, ma come capita spesso (avete mai visto Vita di Brian?) ciò non ha impedito la creazione di una Chiesa Pastafariana.