Forse ricordate che il mese scorso ho raccontato di come la fattorizzazione unica non valga solo per gli interi ma anche per gli interi di Gauss, cioè i numeri della forma $a + bi$ con $a$ e $b$ numeri interi: l’unica differenza è le unità (i numeri invertibili) non sono solo $1$ e $-1$ ma anche $i$ e $-i$. Cosa succede se invece che $i := \sqrt{-1}$ usassimo la radice quadrata di un altro numero primo? Il povero Ernst Kummer, nel 1843, pensò di essere riuscito a dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat in questo modo, ma si accorse presto che non era così. Lui immaginava infatti che tutti gli anelli del tipo $\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]$, cioè dei numeri della forma $a + b\sqrt{p}$ con $p$ primo, avessero fattorizzazione unica, ma invece non è così! Se prendiamo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, per esempio, scopriamo che $21 = 3 \cdot 7 = (1 + 2\sqrt{−5})(1 − 2\sqrt{−5})$, e tutti e quattro questi numeri non hanno nessun fattore diverso da un’unità. Naturalmente i matematici non buttano via mai nulla, e da questo errore Kummer tirò fuori la teoria degli ideali; ma credo che ci rimase comunque male.
Ma quanti sono i numeri per cui la fattorizzazione è unica? Ce ne sono solo nove, e si chiamano numeri di Heegner: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Il bello di questi numeri è che per esempio sono correlati alla ricerca di polinomi che danno tanti numeri primi: il famoso polinomio euleriano $n^2 + n + 41$ che dà numeri primi per $n$ che va da 0 a 39 è per esempio collegato al 163.
Sempre il 163 (funziona anche gli altri numeri di Heegner, ma con questo che è il più grande i conti vengono meglio) ha un’altra caratteristica curiosa. Ramanujan scoprì che $e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots\approx 640320^3+744$. (Martin Gardner, come pesce d’aprile, nel 1975 scrisse che era un intero). Niente male, vero?

“giubilante”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 179 del Carnevale della matematica, dal tema “matematica estiva”! Il 179 è un numero primo, e quindi la cellula melodica ha una sola nota: Dioniso ci comunica che “il soprano si è scocciata di cantare note altissime e vuole preservare le sue corde vocali”, e quindi ha dovuto cambiare la regola. Per cui, d’ora in poi, per i numeri primi ci muoveremo verso il basso. In tutti i sensi. Per il momento un si è alla portata anche dei contralti :-)

Come ho detto, 179 è un numero primo: ma è anche un membro della catena di Cunningham 89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (la più piccola con sei membri), e non essendo né il primo né l’ultimo della catena è per definizione un numero primo di Sophie Germain e un numero primo sicuro. È anche un superprimo, perché è il 41.mo numero primo e 41 è primo; infine è un numero omirp. Ma passiamo ai contributi!

♦ Dioniso ci presenta Maieutica e duplicazione del quadrato – terza parte, che i più acuti di voi avranno intuito essere il seguito di Maieutica e duplicazione del quadrato – seconda parte. Un estratto:

«Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l’allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

♦ Annalisa Santi, come sempre, rispetta il tema riproponendo il suo Meteo, matematica e…farfalle!. Come ci racconta,

Era agosto 2014, quando scrissi questo articolo che, dopo 10 anni, sembra fatto su misura per questo maggio/giugno 2024 e per il tema scelto per questa 179esima edizione del Carnevale della Matematica.

In questo articolo introducevo considerazioni sulla correlazione tra i modelli meteorologici, la matematica e le previsioni meteo, soprattutto in base alla teoria del caos che dimostra come cambiamenti infinitesimali che avvengono in un sistema possono portare a cambiamenti sorprendentemente drammatici, che, in modo poetico, Lorenz sintetizzò con la famosa battuta: «Un battito d’ali di una farfalla in Brasile potrebbe provocare un tornado in Texas».

Mi chiedevo:
Cos’è la previsione meteorologica numerica?
Cos’è un modello meteorologico?
Quali sono le equazioni principali che sono utilizzate dai modelli?
Quale è l’affidabilità di queste equazioni per una corretta previsione?
La matematica frattale aiuta?

Tutte domande le cui risposte ancora ben si adattano alle problematiche odierne riferite al meteo.

♦ MaddMaths! come al solito ha tanti contributi. Comincio con quello in tema:

Scuole estive (e non) di matematica per giovani. Giovani con la passione della matematica vogliono passare un’estate diversa dal solito con un po’ della loro materia preferita? Ecco cosa abbiamo trovato in rete. Ce lo racconta Marco LiCalzi, con l’amichevole collaborazione di Chiara de Fabritiis.

Vediamo ora il resto.

• Il podcast Matematica al plurale – oltre il pregiudizio, voci dalla didattica
  Se pensiamo a quanti modi ci sono di concepirla, impararla, percepirla nel mondo e nel tempo, che variano da soggetto a soggetto, verrebbe forse da pensarla al plurale: “Matematiche”. Anche perché riguarda tutte le persone: fin dal suo apprendimento, la matematica ha un impatto rilevante sulle nostre vite e spesso si lega a emozioni forti, tra cui la paura di fallire. I voti in matematica continuano a terrorizzare generazioni di studenti e studentesse. Perché succede? Come riconciliarsi con questa disciplina bellissima, ma spesso odiata? Fino a che punto il suo insegnamento può far fronte alle sfide dettate dall’evoluzione tecnologica? Ne parliamo in Matematica al plurale – Oltre il pregiudizio, voci dalla didattica, un podcast a cura della Commissione italiana per l’insegnamento della matematica dell’Unione Matematica Italiana, in collaborazione con l’Associazione italiana di ricerca in didattica della matematica, pubblicato da MaddMaths! e disponibile dal 18 maggio su questa pagina, su Spreaker, Spotify e su tutte le principali piattaforme di streaming audio. La voce narrante è di Rosetta Zan. I testi sono a cura di: Anna Baccaglini-Frank, Alessandra Boscolo, Chiara Giberti, Alice Lemmo, Maria Mellone, Domingo Paola, Alessandro Ramploud, Rosetta Zan. La registrazione e l’editing sono a cura di Enrico Bergianti. Le musiche originali sono di Francesco Imbriaco. L’artwork del podcast è a cura di Tigre Contro Tigre.
• È arrivato il n. 15 di Didattica della Matematica
  È uscito il quindicesimo numero della rivista Open Access Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI. Il nuovo numero presenta 3 articoli nella sezione Riflessione e ricerca, di cui uno anche disponibile in lingua inglese, 4 contributi nella sezione Esperienze didattiche relative a tutti i livelli della scuola dell’obbligo e 6 recensioni di libri inerenti la matematica e la sua didattica.
• Archimede 1/2024: cent’anni di Mandelbrot È finalmente in stampa il numero 1/2024 della rivista Archimede. Vi proponiamo il sommario del direttore Roberto Natalini:
  “Il 2024 di Archimede sarà accompagnato da un grande matematico, Benoît Mandelbrot, che quest’anno avrebbe avuto cent’anno, e che ha coniato il termine “frattale” aprendo così nuovi orizzonti alla geometria e alle applicazioni della matematica. Nei quattro numeri di quest’anno il fumettista Lorenzo Palloni ci racconterà la sua storia, con testi, disegni e costruzioni ispirate alla sua opera. Il primo episodio è “Visioni”. Gli articoli di questo numero sono molto diversi tra loro. Cozzani, Sandri e Zaccagnini ci presentano un percorso laboratoriale che, usando la teoria dei numeri, ci fornisce lo spunto per creare collane e orecchini che raccontano teoremi. Cerasaro ci propone invece un percorso storico che permette una presentazione consapevole e visualmente convincente degli argomenti relativi ai rapporti e alle proporzioni che si svolgono nella scuola superiore di primo grado. Infine Gregorio e Presutti proseguono la serie dedicata ai vari concetti legati ai numeri, con un articolo sui numeri interi, dedicato principalmente agli ultimi anni di scuola primaria e alla scuola secondaria di primo grado.”
• Rivoluzioni matematiche: il teorema dei numeri primi di Alessandro Zaccagnini Con il numero di Giugno de Le Scienze troverete in allegato il ventunesimo dei trenta volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema dei numeri primi e non poteva essere scritto che da Alessandro Zaccagnini.
• La matematica è piena di Eulero!: Il metodo di Eulero Il quinto episodio della serie di MaddMaths! su alcuni dei tanti risultati di Eulero. Questo episodio è a cura di Francesca Carfora.
• Racconta la tua vita a matematica (questionario per persone laureate in matematica dal 2018) Hai ottenuto la laurea in matematica (triennale o magistrale) dal 2018 in poi? Allora puoi partecipare a una iniziativa di orientamento della casa editrice Alpha Test per aiutare le persone che frequentano le scuole superiori a scegliere con consapevolezza il loro percorso universitario rispondendo a un questionario online. Vediamo meglio di cosa si tratta.
• Matematica, comunicazione, società, una proposta di Daniele Gouthier
  La comunicazione e la divulgazione della matematica hanno un ruolo sempre più importante per la nostra disciplina. E allora, come promuovere attività di comunicazione e di divulgazione, come consolidare la cultura della divulgazione, come formare i futuri divulgatori alla professione del divulgatore e i futuri matematici alla comunicazione? Su queste e altre domande vorrebbe provare a rispondere, o almeno ad aprire il dibattito, Daniele Gouthier. Sarebbe utile ricevere le vostre opinioni in proposito.
• Un piccolo passo per un uomo … C’è un certo fermento nel mondo della teoria dei numeri. Come scrive Terence Tao su Mastodon “C’è stato un notevole progresso verso l’ipotesi di Riemann (anche se siamo ancora abbastanza distanti da una sua piena risoluzione) compiuto da Guth e Maynard, che hanno ottenuto un primo miglioramento sostanziale su una stima classica di Ingham degli anni ’40 sugli zeri della funzione di Riemann”. Per saperne di più chiediamo come al solito ad Alessandro Zaccagnini.

Ma ci sono anche le rubriche!

Per le News di Stefano Pisani:

• I matematici possono contribuire alla giustizia sociale
  La matematica potrebbe sembrare un improbabile alleato per la ricerca sulla giustizia sociale. Ma applicare il rigore del campo si sta rivelando un approccio promettente per identificare, e talvolta anche implementare, ottime soluzioni ai problemi sociali. Se ne parla in un saggio di approfondimento, comparso su Nature, dal titolo “Can mathematicians help to solve social-justice problems?” del quale di seguito trovate una rielaborazione e parziale traduzione.
• Le leggi di Newton aiutano a nuotare meglio
  Cento anni fa, alle Olimpiadi di Parigi del 1924, l’americano Johnny Weissmuller vinse i 100 metri di stile libero maschili con un tempo di 59 secondi. Quasi un secolo più tardi, nelle Olimpiadi di Tokyo 2020, Caeleb Dressel, sempre nello stesso stile, portò a casa la medaglia d’oro rosicchiando 12 secondi a Weissmuller. I tempi, in questo sport, sono significativamente migliorati negli anni come risultato combinato di diversi fattori di innovazione applicati all’allenamento, alla strategia di recupero, alla nutrizione, nonché all’uso di più moderne attrezzature. Ma un ruolo chiave, in questi progressi, va riconosciuto sicuramente alla biomeccanica della bracciata, che ha consentito di ottimizzare le tecniche natatorie in ogni stile.

Per La Lente Matematica di Marco Menale:

/

Per Letture Matematiche:

• Le geometrie oltre Euclide, Misurare la Terra, descrivere l’Universo – recensione
  L’editore Scienza Express ha pubblicato Le geometrie oltre Euclide, un libro del nostro “matematico prestato alla Disney” Alberto Saracco. Lo ha letto e ce ne parla Sandra Lucente.
• Mathematica di David Bessis – una recensione di Nicola Ciccoli L’editore Neri Pozza ha pubblicato Mathematica: un’avventura alla ricerca di noi stessi, un libro di David Bessis. Lo ha letto e ce ne parla Nicola Ciccoli.
• È la fisica, bellezza!, Federico Benuzzi
  Brevi consigli per letture matematiche. “È la fisica, bellezza!” di Federico Benuzzi, consigliato da Marco Menale.

♦ Da Amo la matematica abbiamo un post che più in tema di così non si può: Matematica estiva. Daniela spiega:

La mia matematica estiva è quella che ritrovo camminando in montagna! Avrei dovuto preparare questo post al termine delle vacanze estive dell’anno scorso e, in qualche modo, l’avevo già scritto nella mia testa, ma poi il rientro a scuola e la ripresa di tutte le attività mi ha obbligato a una corsa contro il tempo, togliendomi la possibilità di scriverlo. Con il tema di questo Carnevale, direi che si sposa abbastanza bene e permette di fare anche un po’ di turismo matematico diverso dal solito: si tratta di un turismo naturale, tra le montagne della Valle Camonica (in provincia di Brescia) e non solo.

♦ I Rudi Matematici questo mese sono stati insolitamente silenti: nell’attesa che esca il numero 305 della Prestigiosa Rivista Matematica, c’è solo il cosiddetto “post istituzionale di soluzione”: “Tre birre al bauschanzli”, dove hanno cercato di gabbare i lettori lasciando intendere che fosse un problema di probabilità e invece non lo era. Non c’è cascato nessuno.

♦ Segnalo invece il gradito ritorno di Maths Is in the Air, con un’intervista ad Alberto Saracco sul suo libro recentemente uscito dal titolo: “Le Geometrie oltre Euclide”.

♦ Gianluigi Filippelli scrive più di me. Ecco cosa ci presenta questo mese.

• Iniziamo con la serie delle biografie.
  Nella serie di Vite di scienza, il podcast youtubico, ecco Arthur Eddington che non è esattamente un matematico ma fu il primo a portare le prove di uno dei modelli matematici più famosi della fisica, la relatività di Einstein (se ne parlerà anche più sotto!). Per i Ritratti ecco Karen Uhlenbeck, la prima (e per ora unica) donna a venire insignita del Premio Abel.
• Come ormai da un paio di mesi a questa parte le recensioni scientifiche sono monopolizzate dalla serie Matematica in uscita in edicola. Per questo mese ecco le recensioni di La trigonometria –
• Catastrofi e caos – Geometria analitica – La matematica della relatività. E a proposito della serie di libri, ho proposto una reinterpretazione di uno dei giochi matematici uscito sul terzo volume. Nella rubrica dei Paralipomeni di Alice ecco I due razzi https://dropseaofulaula.blogspot.com/2024/05/paralipomeni-di-alice-i-due-razzi.html
• La rubrica gemella dei Paralipomeni, i Rompicapi di Alice, questo mese invece propone Il sorriso del gatto dedicato, ovviamente, al Gatto del Cheshire. La parte più corposa del post è dedicata a un rompicapo di Sam Loyd su una fase palindroma. Al suo interno propongo una generalizzazione della soluzione a un numero 2n + 1 di lettere della frase.
• Una lettera d’amore algoritmica si occupa del capostipite dei generatori automatici di testi programmato da Christopher Strachey, che è stato assistente e amico di Alan Turing nonché, come si vedrà in uno dei contributi successivi, il primo ad aver fatto suonare un computer!
• L’articolo di cui sopra è la perfetta introduzione alla miniserie di articoli usciti nella rubrica delle particelle musicali.
  Iniziamo con Musica frattale che esplora la musica generata usando la matematica dei frattali. La serie prosegue con Suno: musica intelligente, in cui provo a raccontare la matematica delle reti neurali artificiali, oltre a raccontare i miei esperimenti con questo tool online per generare musica a partire da prompt o testi propri.
• Nel frattempo questa rubrica è anche sbarcata su YouTube con una serie di 4 video sull’argomento della musica generata dal computer. Questi sono i post di appoggio dei video, pubblicati su uno dei miei (tanti) blog: Musica col computer, in cui racconto la storia di Strachey; Musica frattale, che è la versione video del post omonimo; La decima sinfonia, sul completamento grazie a una rete neurale della decima sinfonia di Beethoven; Suno, musica intelligente, che è la versione video del post omonimo.

Infine tocca a me.

• I quizzini del mese sono Numeri allo specchio; che mi dicono essere troppo facile; Semplice, che è sicuramente semplice; Quanti quadrati? mostra come invece è difficile contare; Frazione continua è facile ma ha una bella soluzione grafica.
• Le recensioni dei librini della collana sono: La trigonometria, scritto da mem dove ho preferito raccontare il perché la trigonometria è nata e si è sviluppata; Catastrofi e caos di Chris Casalvieri, dove avrete finalmente un’idea del perché i matematici parlano di catastrofi; La geometria analitica di Filippo Favale e Alessandro Cattaneo, utile ripasso per chi non se la ricorda più; La matematica della relatività di Christian Casalvieri, che mostra che almeno la relatività ristretta non è poi troppo difficile; La matematica combinatoria di Roberto Zanasi: perché si fa matematica anche contando.
• Le altre recensioni matematiche sono di Aritmetica, di Paul Lockart, altamente consigliato soprattutto per chi non ha mai capito perché imparare a memoria le tabelline; Teoria dell’informazione, di Giuseppe O. Longo: un vecchio testo (dei primi anni ‘80) ma con qualche spunto interessante; Le geometrie oltre Euclide, di Alberto Saracco, un ottimo testo che va al di là dei soliti racconti sulle geometrie non euclidee.
• Per il mercoledì matematico, racconto che la fattorizzazione unica è una cosa così bella che ce l’hanno anche i numeri complessi; che ChatGPT non è capace di risolvere un semplice problema matematico; della serie di Kempner, che si ottiene da quella armonica togliendo certi termini; Comma 22, un divertissement che si può proporre a qualche ragazzino.

Ci vediamo (speriamo) a settembre con una nuova edizione del Carnevale!