Quando ho scritto Chiamatemi pi greco, ho mostrato una formula che permetteva di calcolare l’n-sima cifra esadecimale della nostra costante preferita senza dovere calcolare quelle precedenti. Terminavo scrivendo
Chissà, magari in futuro qualcuno troverà una formula simile in base 10… La cosa non è impossibile, e per qualche altra costante matematica una formula di quel tipo esiste davvero, ma almeno per il momento non pare che ci siano buone notizie su quel fronte.
Le bozze del libro mi sono arrivate il 28 gennaio 2022. Il giorno dopo Simon Plouffe, uno degli scopritori della formula che avevo citato, ha pubblicato un preprint dove ha mostrato una formula per trovare l’n-sima cifra decimale di π. Come indovino ho ancora qualche margine di miglioramento…
Potete vedere qui sotto (oltre che nella figura iniziale…) la formula in questione. Prima si definisce il numero
$ \pi_n = \left( \frac{2(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}B_{2n}(1-2^{-n})(1-3^{-n})(1-5^{-n})(1-7^{-n})} \right)^{1/(2n)} $
e poi si calcola l’n-sima cifra decimale di pi greco come
$ d_n = \textrm{int} ( 10 \textrm{ frac} (10^{n-1} \pi_{n-1})) $
dove int() e frac() calcolano rispettivamente la parte intera e frazionaria di un numero.
So che ve lo state chiedendo: i Bn sono i numeri di Bernoulli. Plouffe spiega che a partire dal decimo numero di Bernoulli l’approssimazione
$ \pi \approx \left( \frac{2n!}{B_n2^n} \right )^{1/n} $
per n pari è molto precisa. (Se n è dispari i numeri di Bernoulli tranne il primo valgono tutti zero, quindi non funzionano). Preso per esempio $ n = 1000 $, l’errore che si commette è minore di $ 2^{-1000} $. I prodotti che vedete a denominatore arrivano infine dall’approssimazione della zeta di Riemann, scritta come produttoria infinita usando la formula di Eulero. È noto (l’ha dimostrato Eulero) che $ \zeta(2n) $ è un multiplo razionale di $ \pi^{2n} $; sostituendo il valore e prendendo i primi quattro valori della produttoria si arriva al risultato mostrato in cima.
Tutto bello, in teoria: peccato che la formula richieda di computare i numeri di Bernoulli, e per farlo in genere si usano formule che partono da un’espressione con pi greco. Insomma questo risultato è carino, ma assolutamente inutile in pratica!
Altro libro che mi è toccato leggere per verificare che lo facesse mio figlio; e ho dei forti dubbi che un quindicenne possa cogliere i riferimenti più sottili del testo (anche se Jacopo qualcosa lo ha compreso). L’idea di vedere Auschwitz (pardon, Auscit, come lo pronuncia Bruno nella traduzione di Patrizia Rossi: l’originale è “Out-With”) con gli occhi di un bambino di nove anni che crede di sapere cosa sta succedendo intorno a lui, pur con qualche dubbio, è pesantissima per un adulto che sa qual è la verità. È vero, le scene più dure sono solo fatte intuire, come l’omicidio di Pavel e la stessa fine del libro; ma forse proprio per questo sono più dure da digerire. Però, come dicevo, ce la fa un ragazzo a cogliere tutti i riferimenti? Ho dei dubbi.
