Siamo tutti in grado di riempire un piano con tanti quadratini uguali. Ovviamente dovremmo avere un tempo infinito a disposizione o limitarci a dare una formula esplicita per la posizione dei quadrati, ma i matematici non si curano di queste quisquilie. Anche esagoni e triangoli riempiono il piano in modo semplice: si può dimostrare che un qualunque triangolo o quadrilatero convesso può farlo, e ci sono quindici famiglie diverse di pentagoni (non regolari) connessi che permettono di riempire il piano.

Tutte queste tassellature (è il nome tecnico) hanno una proprietà in comune: sono periodiche. Detto in altri termini, se noi guardiamo il piano mettendo come origine un punto specifico, qualcuno potrebbe traslare il piano e noi non ci accorgeremmo di nulla: su un foglio (infinito) a quadretti possiamo per esempio spostarci di un quadretto a sinistra o a destra. Essendo i matematici quello che sono, si sono presto posti la domanda “esiste una tassellatura aperiodica del piano?

Nel 1961 il logico Hao Wang cercò di scoprire se dato un insieme di piastrelle si poteva trovare un algoritmo che dice se è possibile tassellare con esse il piano. Dimostrò che lo si può fare se e solo se esiste una tassellatura periodica; tre anni dopo Robert Berger mostrò che quel problema era insolubile, presentando un insieme di 20426 tessere diverse che permettono sono una tassellatura aperiodica. Da quel momento è partita una gara per ridurre il numero di tessere distinte necessarie: fino a ieri il record era detenuto da sir Roger Penrose e Robert Ammann, che nel 1974 trovarono le due tessere “dart” e “kite”. (Nota per i pignoli: per garantire che l’unica tassellatura possibile del piano sia aperiodica bisogna specificare alcune regole di adiacenza: lo si fa con degli incastri come nelle tessere dei puzzle che rovinano la bellezza delle forme).

Per quasi mezzo secolo c’è stata la ricerca di “einstein”, la forma singola che tassellasse il piano in modo aperiodico, chiamata così non in omaggio ad Alberto ma perché in tedesco “ein Stein” significa “una pietra”. Ci furono alcuni risultati, ma la tessera ottenuta non era semplicemente connessa (cioè era fatta di pezzetti sparsi qua e là) e quindi è squalificata. Ieri però è giunta la notizia che David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, e Chaim Goodman-Strauss hanno trovato una singola tessera, che hanno chiamato “hat”, cappello, con questa proprietà; o per meglio dire hanno trovato una famiglia di tessere di cui l’hat è il membro archetipico. Trovate qualche informazione aggiuntiva in questo toot di John Baez.

La parte più interessante di tutto questo è che le tassellature aperiodiche possono esistere in natura! I quasicristalli sono strutture di questo tipo, che permettono per esempio di avere una simmetria pentagonale che era vietata dalla teoria. (Ricordo che l’aperiodicità è solo per traslazione, la rotazione è permessa). Nessuno avrebbe pensato a cercare queste strutture minerali se non ci fosse stato questo esempio teorico…

Con la scoperta della singola tessera, la storia finisce qui? Non ancora. Questo hat ricopre il piano, ma occorre anche rovesciare la tessera oltre che traslarla e ruotarla. Sarà possibile evitare questa macchiolina?