Tutti conosciamo la media aritmetica: presi due numeri, la loro media aritmetica è la metà della loro somma, o se preferite il numero che è alla stessa distanza dai due di partenza: dunque $ M_A(x,y) = \frac{x+y}{2} $ .

Quasi tutti conosciamo la media geometrica: presi due numeri, la loro media geometrica è la radice quadrata del loro prodotto, o se preferite il numero che è il lato di un quadrato della stessa superficie di un rettangolo di lati i due numeri. Dunque $ M_G(x,y) = \sqrt{xy} $. È facile dimostrare che la media geometrica di due numeri positivi è sempre inferiore o uguale alla loro media aritmetica, ed è uguale se e solo se i due numeri sono uguali: per confrontare $ \frac{x+y}{2} $ e $ \sqrt{xy} $ basta prima raddoppiarli e poi elevarli al quadrato.

Alcuni conoscono anche la media armonica: presi due numeri, la loro media armonica è l’inverso della media aritmetica dei loro inversi, o se preferite la velocità media complessiva di due tratti uguali di strada percorsi a due diverse velocità. M_H (x, y) = 2xy/(x+y). La media armonica è ovviamente musicale: se fate la media di due note do a un’ottava di distanza ottenete un fa. Se si conosce il trucco, è facile dimostrare che la media armonica di due numeri positivi è sempre inferiore o uguale alla loro media geometrica, ed è uguale se e solo se i due numeri sono uguali: sappiamo da sopra che $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \sqrt{\frac{1}{x} \frac{1}{y}} $; se prendiamo gli inversi dei due membri, ricordandoci che la diseguaglianza cambia di verso, otteniamo il risultato.

La figura all’inizio del post dà una dimostrazione “visiva” di queste medie, e trovate anche disegnata la “media quadratica”, che è data da $ \sqrt{\frac{x^2 + y^2){2}}. Se avete studiato ingegneria, questa formula dovrebbe esservi nota, perché è il “valore efficace”. Per la cronaca, la media quadratica di due numeri positivi è sempre maggiore o uguale della media aritmetica, ed è uguale se e solo i due numeri sono uguali; per dimostrarlo si usa la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Ma tra le tantissime medie che esistono ce n’è una che probabilmente vi è sconosciuta (lo era anche a me, prima di scrivere questo post): la media eroniana M_E. Essa si ottiene come media pesata di quella aritmetica, presa per due terzi, e di quella geometrica, presa per un terzo. Abbiamo dunque $ M_E = \frac{2}{3}\frac{x+y}{2} + \frac{1}{3}\sqrt{xy} = \frac{1}{3}(x + \sqrt{xy} + y)$. Per costruzione è chiaro che la media eroniana di due numeri positivi è compresa tra quella aritmetica e quella geometrica. Erone è stato probabilmente il più grande geometra del periodo alessandrino; l’importanza di questa media – che si comporta come ogni media che si rispetti, nel senso che è simmetrica e che se applicata a due valori uguali dà quello stesso valore – è che può essere usata per calcolare il volume di un tronco di piramide a base quadrata, che è dato dal prodotto della media eroniana delle basi per l’altezza.

Un aneddoto: come dice la pagina di Wikipedia in inglese, quella formula era nota già agli antichi egizi. Quando ero alle medie, mia avevano fatto costruire un modellino in cartoncino per una conferenza dove veniva fatta un’ipotesi su come gli egizi fossero arrivati alla formula. Insomma, è vero che non la conoscevo con quel nome ma ho avuto a che fare con essa già quasi cinquant’anni fa!

(immagini da Wikimedia Commons: QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg, di CMG Lee, CC-BY-SA4.0, Square_frustum.png, di MarinaVladivostok, CC0 1.0)