MATEMATICA – Lezione 25: La teoria dei numeri

copertina In questo volume Francesco Zerman scrive: “Si pensi infatti che buona parte dell’algebra, della geometria e dell’analisi moderne sono nate per cercare il giusto linguaggio con cui risolvere problemi di teoria dei numeri”. Che la matematica teorica sia la base di tante altre cose è noto; che la matematica ultrateorica come la teoria dei numeri sia la base di tanta altra matematica teorica non l’avrei immaginato.
Ad ogni buon conto, Zerman non si occupa di aneddoti ma parla di alcuni temi tra i più semplici della teoria dei numeri algebrica: equazioni diofantee, aritmetica modulare, norme, numeri p-adici, cinteri di Gauss, estensioni algebriche dei razionali. Accenna inoltre ad alcuni risultati di teoria analitica dei numeri, che vanno oltre quanto si può trattare in questi librini.
Sara Zucchini parla di un altro matematico italiano vittima delle leggi razziali: Tullio Levi-Civita, colui che “salvò Einstein” avendo costruito l’ambiente matematico necessario per la teoria della relatività generale. Io invece continuo a parlare di induzione nei giochi matematici, stavolta con esempi meno intuibili a prima vista.

@matematica
Francesco Zerman, La teoria dei numeri, allegato a Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera, €6.99 più il prezzo del giornale.

Troppe opere d’arte da citare

A quanto pare, la parodia dell’Ultima Cena alla cerimonia inaugurale delle Olimpiadi di Parigi 2024 non era una parodia dell’Ultima Cena, ma una citazione del quadro Le Festin des dieux di Jan van Bijlert, o se preferite Giovanni Bilardo. Beh, è sempre bello imparare qualcosa di nuovo, no? A parziale discolpa dei nostri commentatori, pare che il quadro non sia citato nella voce in Wikipedia in italiano :-) Non che io abbia ben capito cosa c’entrasse il Grande Puffo, comunque: anche con l’ultima versione, dove il coreografo ha detto che non si è ispirato a nessun quadro ma ha voluto semplicemente raccontare una festa degli dèi dell’Olimpo, uno in azzurro per me è al più Nettuno, non Dioniso.

D’altra parte, io non riesco nemmeno a capire come sia possibile che ci sia stata così tanta gente che abbia seguito quella cerimonia, anche sulla mia bolla twitter. I commenti che ho visto, che immagino siano sulle cose più interessanti, mi hanno lasciato del tutto indifferente. A me al limite interessano le gare, non le coreografie. Cos’è, ho perso lo spirito della fanciullezza?

(immagine da RMN / Stéphane Maréchalle, da Wikimedia Commons

The Golden Ratio and Fibonacci Numbers (ebook)

copertinaI libri sul rapporto aureo, nel bene e nel male, sono solitamente pieni di fattoidi tendenti al new age, anche quando l’autore vuole spiegare perché quelle associazioni sono tirate per i capelli e non hanno nessun fondamento reale. Ben venga quindi questo libro, dove Dunlap si limita a considerazioni puramente matematiche sul rapporto aureo (e sui numeri di Fibonacci e di Lucas, che sono strettamente collegati ad esso). È un po’ buffo che Dunlap usi il “vecchio” simbolo τ per il numero, dopo che già da un paio di decenni Martin Gardner aveva sdoganato il ϕ (più per Fibonacci che per Fidia, secondo me), ma non è un problema. Peccato per qualche refuso che rende più complicata la lettura, come quando un ottaedro è diventato un tetraedro.

Richard A. Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific 1997, pag. 162, GBP 19 (ebook), ISBN 9789810232641 – se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me)
Voto: 4/5

Open Encyclopedia of Cognitive Science

MIT Encyclopedia of thil sitoNel 1999 il MIT pubblicò la MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences, che raccoglieva informazioni sullo stato dell’arte nel campo delle scienze cognitive. È passato un quarto di secolo, sono arrivati i nuovi modelli di intelligenza artificiale, e anche il MIT si è adeguato: così hanno creato la Open Encyclopedia of Cognitive Sciences, contenente vari articoli introduttivi sui vari temi: vecchi (come il test di Turing) e nuovi (come gli LLM). Buona lettura!

Guterres, quanto hai pagato LinkedIn?

LinkedIn mi propone di seguire Guterres Io non uso praticamente LinkedIn. Scelta mia. Però ogni settimana o giù di lì il signor LinkedIn mi invita a seguire il segretario generale ONU, cosa della quale non mi può importare di meno. Non che io segua altri politici, del resto. E allora perché dovrei seguire lui?

che vorreste dai mercoledì matematici?

È quasi un anno che di mercoledì cerco di postare regolarmente qualcosa che parli di matematica. Nulla di particolarmente originale, scopiazzo altri blog di lingua inglese: ma cerco comunque di aggiungere qualcosa di mio. Chiaramente lo faccio perché sono un matematico, anche se non praticante, e a me la matematica piace: postare con regolarità mi aiuta a non impigrirmi.

Detto questo, c’è qualcuno tra i miei ventun lettori che legge quei post? E che ne pensa in generale? C’è qualche sottotema preferito? Scrivete, scrivete :-)

Facile come 1+1


C’è una battuta che gira da decenni nella quale si spiega che gli ingegneri trovano la formula 1 + 1 = 2 troppo poco elegante, e preferiscono usare delle semplici trasformazioni algebriche per giungere a

$\begin{align}
& \ln\left(\lim_{z\to\infty}\left(\left(\left( \overline{X}^T \right)^{-1} – \left( \overline{X}^{-1} \right)^{T}\right) + \frac{1}{z}\right)^2 \right) + \sin^2(p) + \cos^2(p) = \\
&\qquad = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cosh(q)\cdot\sqrt{1 – \tanh^2(q)}}{2^n}
\end{align}$

(no, non si può applicare la stessa cosa ai matematici. Se a un matematico chiedete quanto fa 1 + 1, con buona probabilità vi risponderà semplicemente “dipende”).

Ho scoperto che due anni fa Neel Nanda ha studiato come un trasformatore ha “costruito” la formula per l’addizione modulo n di due numeri. Il risultato è quello che vedete qui nell’immagine in alto. Quello che è successo è che il modello di intelligenza artificiale ha “calcolato” la somma modulare di due numeri usando la trasformata di Fourier discreta e alcune identità trigonometriche. Evidentemente dal suo “punto di vista” (o forse avrei dovuto mettere le virgolette intorno a “suo”) quelle operazioni erano più facili da salvare rispetto a quelle che avremmo usato noi, oppure il materiale di addestramento aveva molte più istanze da usare. In ogni caso credo che la lezione sia abbastanza chiara: anche chi ritiene che i LLM “pensino” non può negare che il loro pensiero sia completamente diverso dal nostro… (a meno che non crediate che i nostro sistema neurale sappia usare DFT e trigonometria a manella)