Abbiamo visto le prime proprietà del rapporto plastico ρ. Ma naturalmente ce ne sono molte altre. Per prima cosa, ρ è un numero morfico; per la precisione, uno dei due unici numeri morfici maggiori di 1. La nozione di numero morfico è così di nicchia che mentre scrivo non c’è nemmeno una voce di Wikipedia in inglese al riguardo: però non è poi così complicata. Prendiamo il buon vecchio rapporto aureo φ. Sappiamo che vale la formula
$ \begin{cases}\varphi\!+\!1\;=\;\varphi^{2},\\ \varphi\!-\!1\;=\;\varphi^{-1}\end{cases} $
Per il rapporto plastico vale una formula simile, anche se con esponenti diversi:
$ \begin{cases}\rho\!+\!1\;=\;\rho^{3},\\ \rho\!-\!1\;=\;\rho^{-4}\end{cases} $
In generale un numero x maggiore di 1 è morfico se sia x+1 che x−1 sono potenze di x. Questa proprietà è condivisa solo da φ e ρ e ha un interessante corollario di cui parlerò un’altra volta (devo ancora fare tutti i conti…). Per il momento, tenete solo presente che $1 +\varphi^{-1} +\varphi^{-2} =2$; inoltre $\sum_{n=0}^{13} \rho^{-n} =4$. Dalla definizione della successione di Perrin abbiamo intravisto, e magari intuito, che $\rho^{n} =\rho^{n-2} +\rho^{n-3}$; abbiamo anche $ \rho^{n} =\rho^{n-1} +\rho^{n-5} = \rho^{n-3} +\rho^{n-4} +\rho^{n-5} $.
Graficamente, il rapporto plastico ha delle interessanti proprietà. Tra l’altro, il primo a studiare questo numero intorno al 1960, riferendosi proprio all’architettura, è stato l’olandese dom Hans van der Laan: il “dom” sta appunto a indicare che era un monaco benedettino. Anch’egli ha definito una successione come quelle di Perrin e Padovan dove il rapporto tra termini successivi tende a ρ; i valori iniziali nel suo caso sono $V_1 = 0, V_0 = V_2 = 1$. Ma l’architettura non è il mio campo, quindi passo; e soprattutto ci sono proprietà più semplici.
Prendiamo per esempio un quadrato di lato unitario: come possiamo dividerlo in tre rettangoli simili? Una soluzione facile è fare tre rettangoli paralleli di lati 1 e 1/3. Una soluzione abbastanza facile è quella di fare un rettangolo di lati 1 e 2/3, e dividere la striscia rimanente in due rettangoli di lato 1/3 e 1/2. Ma c’è una terza possibilità, mostrata a destra nella figura qui sotto.
In questo caso, il rettangolo a sinistra divide il quadrato in due parti le cui aree hanno rapporto ρ, e quindi i suoi lati sono in rapporto plastico; il rapporto tra i lati del rettangolo grande e quelli del lato medio è dunque ρ, mentre quello tra i lati del rettangolo medio e del rettangolo piccolo è ρ². Sempre con i rettangoli si può costruire una spirale plastica, che assomiglia a una spirale aurea ma come vedete dalla figura spunta un po’ fuori dai rettangoli.
Non poteva poi mancare il frattale di Rauzy: poiché il rapporto plastico è vicino a 1, è difficile accorgersi che le tre figure colorate sono in rapporto ρ² : ρ : 1.
Termino con una curiosità più lessicale che altro: il raggio della sfera che circoscrive un icosidodecadodecaedro camuso di lato unitario (sì, ci sono due “dodeca” consecutivi, non è un errore di copincolla) è $\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{2 \rho -1}{\rho -1}} $. Direi però che non ce ne facciamo molto…
Immagini da Wikimedia Commons: i rettangoli plastici sono di David Eppstein, di pubblico dominio; la spirale plastica e il frattale di Rauzy sono di Zilverspreeuw, CC-BY-SA-4.0; l’icosidodecadodecaedro camuso è di Tomruen, usando il software Stella.
Si può parlare di numeri in tanti modi. L’ho fatto anch’io con Numeralia. In questo caso Maccacaro e Tartari hanno scelto un approccio molto scanzonato – almeno a prima vista, perché se uno si mette a leggere il testo scoprirà una miniera di informazioni non sempre collegate alla matematica che permettono di imparare tante cose. Anche le proprietà più prettamente matematiche dei numeri sono trattate in modo non standard, probabilmente con lo scopo di non spaventare il lettore casuale. 
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