Domani l’idraulico passerà da me per una riparazione abbastanza urgente. Mi ha assicurato che arriverà in un qualche momento tra le 8 del mattino e le 4 del pomeriggio: a differenza del tipico idraulico posso essere certo che manterrà la parola. Mia moglie ha scommesso con me una settimana di pulizie in casa se l’idraulico arriverà prima o dopo mezzogiorno. In questo momento le mie probabilità a favore e contro sono le stesse; ma domani a una qualunque ora dopo le 8 del mattino, se l’idraulico non è ancora arrivato, la probabilità che arrivi di pomeriggio è maggiore, visto che l’intervallo di tempo è rimasto più ampio. Ma allora mi conviene direttamente puntare sul pomeriggio già adesso! Ma non avevo detto che era irrilevante per ora scegliere tra mattino e pomeriggio?

Questo paradosso è stato presentato nel 2005 da Alan Hájek in un paper intitolato “The Cable Guy paradox”. Il paradosso indubbiamente c’è, perlomeno se assumiamo che l’idraulico non arrivi alle 8 spaccate. In effetti, se arrivasse qualche millesimo di secondo dopo le 8 i miei neuroni probabilmente non sarei ancora riuscito a concepire il pensiero “adesso è meglio scegliere il pomeriggio” quindi potremmo dire che il paradosso sarebbe risolto: ma sappiamo che in questi problemi dobbiamo assumere una posizione molto teorica e distante dal mondo reale. In compenso, dice sempre Hájek, se mi dessero un incentivo per quanto piccolo se scegliessi il mattino allora in questo momento mi converrebbe farlo, salvo poi pentirmene amaramente dopo poco tempo (anche se magari poi vincerei lo stesso perché l’idraulico è arrivato alle 11:40).

Ma allora come si risolve il paradosso? Non lo si risolve. Hájek sostiene che il problema è psicologico: si sceglie il pomeriggio per evitare la frustrazione. Io – che comunque la frustrazione preferisco evitarla eccome! – parto semplicemente dal principio che non devo passare il tempo davanti all’orologio. Se stasera partissi, ingiungendo a mia moglie di non dirmi nulla fino a domani sera, potrei scegliere mattino o pomeriggio senza preoccuparmi; eppure le informazioni sono le stesse!
E voi che ne pensate?

(immagine di snoopingasusual, da OpenClipArt)

Negli anni ’90 del secolo scorso i personal computer cominciavano a essere una presenza usuale, e spuntavano i primi giochi grafici: il guaio è che per avere della bella grafica occorre fare tanti conti e la potenza di quei computer non era certo quella attuale, soprattutto se si dovevano usare le operazioni in virgola mobile e non quelle con gli interi. Occorreva dunque inventarsi i più strani metodi per eseguire le operazioni più complicate: ma l’algoritmo per la radice quadrata inversa veloce ha battuto ogni record.

Per prima cosa, che significa “Radice quadrata inversa”? È l’operazione che da x ottiene x^−½, cioè l’inverso della radice quadrata di x. Naturalmente “veloce” significa che l’algoritmo usato è più veloce di quello standard, probabilmente legato all’iterazione con il metodo di Newton a partire da una approssimazione. La prima implementazione per la radice quadrata inversa veloce prevedeva una tabella precompilata di dati da cui partire e migliorare il risultato approssimato; ma anche lo spazio a disposizione non era poi troppo. L’algoritmo che secondo Wikipedia fu ideato alla Silicon Graphics non aveva invece bisogno di una tabella, ma solo di una costante magica: 0x5f3759df. Come funzionava questo algoritmo? Si prendeva il numero x (float a 32 bit), e si salvava la sua metà x2 = x/2 per dopo. Poi si prendeva x, lo si leggeva come se la successione di bit rappresentasse un intero, si faceva uno shift logico a sinistra di una posizione (il primo bit veniva buttato via, gli altri scalavano di una posizione a sinistra, e si metteva uno zero in fondo), si sottraeva questo numero dalla costante magica e si leggeva il risultato y come fosse un float. Seguiva un’iterazione dove y veniva ricalcolato come 1,5 − (x2 × y²). Tutto qua.

Ma come è stata trovata questa costante? Non ho avuto voglia di leggermi tutta questa tesina, lo ammetto :-) Tanto ormai le CPU calcolano in virgola mobile a una velocità incredibile…