Stanislaw Ulam è stato un matematico novecentesco noto per aver lavorato al progetto Manhattan e avere ideato insieme a John Von Neumann il metodo Monte Carlo, che possiamo definire come “se non sai come risolvere un’equazione troppo complicata, butta tanti numeri a caso e vedi cosa succede”. Ma Ulam era uno che in genere si divertiva con i numeri, unendoli in modi diversi per vedere se capitava qualcosa di interessante. Per esempio chi come me si è bevuto tutti i libri di Martin Gardner conosce sicuramente la spirale di Ulam, che esibisce alcune particolarità dei numeri primi che paiono disporsi secondo alcune linee specifiche.

Quello che non conoscevo erano invece i numeri di Ulam, una successione di numeri che ha delle proprietà davvero strane (non diciamo interessanti per non dover sentire gli alti lai di chi afferma che di interessante non c’è nulla). I numeri di Ulam $U_n$ si definiscono ricorsivamente in questo modo: $U_1 = 1$, $U_2 = 2$, e per $k \gt 2$ abbiamo che $U_k$ è il più piccolo numero naturale che può essere espresso in un solo modo come somma di due numeri (precedenti) di Ulam distinti.

Quali sono i primi numeri di Ulam? $U_3 = 3$, perché l’unico modo di ottenerlo è scrivere 1+2. $U_4 = 4$; infatti è vero che abbiamo 4 = 1+3 = 2+2, ma gli addendi devono essere distinti e quindi la seconda somma non vale. Però $U_5 = 6$: infatti 5 = 1+4 = 2+3. Ecco l’inizio della successione, che è la A002858 in OEIS:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ...

I numeri di Ulam sono infiniti, anche se al momento in cui scrivo Wikipedia in inglese ha una dimostrazione errata (poi l’aggiusterò… l’errore risale al 2010, tra l’altro), mentre quella in italiano è corretta ma convoluta. Supponiamo infatti per assurdo che essi siano un numero finito $n$, e consideriamo $U := U_{n-1} + U_n$. Poiché non può essere un numero di Ulam, deve essere esprimibile come somma di due numeri di Ulam in almeno un altro modo: ma poiché tutte le altre somme sono minori di $U$, avendo preso i due numeri più grandi possibili ci deve essere un altro numero di Ulam tra $U_n$ e $U$ che permette di arrivare a $U$ sommando un altro numero.

grafici dei primi numeri di Ulam, da https://oeis.org/A002858/graph

I numeri di Ulam hanno una distribuzione apparentemente casuale, con buchi come quello tra 155 e 175 e cluster come 238, 241, 243. Ulam congetturò che ci fossero sempre meno elementi della successione al crescere dei valori, cioè $lim_{n \to \infty} \frac{n}{U_n} = 0$, ma sperimentalmente si direbbe che la crescita di $U_n$ è lineare, con una densità di circa 0,074; o se preferite dirlo in un altro modo che $U_n \approx 13,\!51 n$. Ci sono due numeri di Ulam consecutivi, a parte gli iniziali 1, 2, 3? Sì, c’è la coppia 47-48, ma nei primi 28 miliardi di numeri non ce ne sono altri. I gap possono essere grandi a piacere? Presumibilmente sì: Donald Knuth ha notato che $U_4952 = 64420$ e $U_4953 = 64682$. In compenso, riprendendo la dimostrazione dell’infinità dei numeri di Ulam, gli unici casi sempre tra i primi 28 miliardi di numeri in cui la somma di due numeri consecutivi di Ulam è anch’essa un numero di Ulam sono 1+2 = 3 e 62+69 = 131.

i numeri di Ulam non sembrano poi così casuali (immagine di Richard Green)

Insomma, i numeri di Ulam non sembrano essere periodici. Però Richard Green racconta come nel 2015 Stefan Steinerberger ha mostrato come esista una costante $\alpha \approx 2,\!5714475$ per cui tra i primi dieci milioni di numeri di Ulam il valore di $\alpha U_n \mod 2\pi$ è quasi sempre compreso tra $\frac{\pi}{2} e \frac{3\pi}{2}$; le uniche eccezioni sono 2, 3, 47 e 69 (vi ricordano qualcosa?). Detto in altri termini, $\cos(\alpha U_n)$ è sempre negativo, tranne che nei quattro casi sopraddetti. Un comportamento simile è in genere sintomo di una periodicità che in questo caso non pare esistere, mentre per esempio c’è nella successione Ulam-like che comincia con 2 e 5 e continua con 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, 27, 29,… Si può infatti dimostrare che se chiamiamo $U(a,b)$ una successione di Ulam generalizzata che comincia con $a$ e $b$ allora tale successione contiene solo due numeri pari, e si può dimostrare che le successioni di Ulam generalizzate con un numero finito di numeri pari sono prima o poi periodiche. In definitiva la successione dei numeri di Ulam sembra essere un mistero!

PS: un letterato che per caso sia riuscito ad arrivare fino a qua potrà deliziarsi nel sapere che Raymond Queneau scrisse il paper Sur les suites s-additives che parla proprio di successioni di questo tipo!