Se prendiamo su un piano tre punti in “posizione generale”, cioè per cui non ci sia nessuna coppia di punti coincidenti e nessuna terna di punti collineari, è sempre possibile costruire un triangolo, e tutti i triangoli sono figure convesse. Con quattro punti in posizione generale non è detto che possiamo costruire un quadrilatero convesso; sappiamo infatti che esistono quadrilateri concavi. Ma se di punti ne abbiamo cinque, allora possiamo sempre sceglierne quattro che formano un quadrilatero convesso. La dimostrazione non è affatto complicata. Cominciamo a considerare l’inviluppo convesso dei cinque punti, cioè il più piccolo poligono convesso che li contenga tutti; pensate a un elasticone che viene teso in modo da contenere i punti e poi cerca di tornare alla sua lunghezza di base. Per definizione l’inviluppo convesso è convesso. A questo punto ci sono tre casi possibili. Se l’inviluppo è un quadrilatero siamo a posto. Se è un pentagono (come nella parte di sinistra della figura) basta togliere un punto qualunque e otteniamo il quadrilatero richiesto. Se invece è un triangolo, prendiamo i due punti interni e tracciamo la retta che li congiunge. Essa lascerà un punto da una parte e due dall’altra; il nostro quadrilatero sarà formato allora da quei due punti e dai due interni.
Lo, so, vi state chiedendo perché il teorema si chiami “problema del lieto fine” (“Happy ending problem“). La risposta è buffa: il problema era stato proposto da Esther Klein al circolo dei giovani matematici di Budapest e fu risolto da George Szekeres. I due poi si sposarono (un matrimonio felice, durato quasi settant’anni): Paul Erdős, anch’egli parte del circolo, pensò che il merito fosse anche un po’ del problema e gli diede quel nome.
Nel 1935 Erdős e Szekeres dimostrarono una generalizzazione del teorema: dato un intero \( N \), esiste un numero finito \( f(N) \) tale che un insieme di \( f(N) \) punti in posizione generale contiene necessariamente un N-agono convesso. Nel 1961 dimostrarono anche che \( f(N) \ge 2^{N-2} + 1 \). Cosa sappiamo? Che \( f(3) = 3 \), \( f(4) = 5 \), \( f(5) = 9 \), \( f(6) = 17 \). Quest’ultimo risultato è stato dimostrato con l’ausilio di un computer nel 2006 da Szekeres (che in effetti era morto l’anno precedente…) e Lindsay Peters. Fine. Come quasi tutti i problemi combinatori della teoria di Ramsey, sono semplicemente troppo difficili per le nostre capacità…
PS: trovate ulteriori informazioni qui.
Quando si parla di scienza e di errori, le prime cose che vengono probabilmente in mente sono le ipotesi scientifiche false, come il geocentrismo oppure la generazione spontanea degli esseri viventi. Piero Martin però fa un discorso molto più ampio, raccontando gli errori a tutto campo. Per lui è “errore” la profezia di Hertz che disse che le onde elettromagnetiche che aveva scoperto non avevano nessun interesse pratico, ma anche la tavoletta di cioccolato sciolta per le onde elettromagnetiche emesse da un magnetron e che hanno portato al forno a microonde o la crostata al iimone rotta di Takahido Kondo. Poi ci sono gli errori di mancato coraggio di Giovanni Battista Riccioli, contemporaneo di Galileo che accettò di cambiare idea vedendo il risultato degli esperimenti che lui stesso fece, ma quando le evidenze erano incerte restò ancorato al vecchio metodo; gli errori di chi non volette credere a Ignác Fülöp Semmelweis che introdusse l’obbligo di lavarsi le mani negli ospedali quando ancora Pasteur non aveva fatto le sue scoperte, o quello delle autorità fasciste che non compresero che Ugo Tiberio aveva sviluppato il radar prima degli inglesi. L’unica cosa che non mi è piaciuta del libro è lo stile di Martin, che divaga spesso tornando poi improvvisamente al punto di partenza. La lettura almeno per me diventa più complicata.