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matematto non praticante

Excelsior! (ebook)

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copertina Per quelli della mia generazione Stan Lee era semplicemente un mito, se non qualcosa in più. Non ho però idea di cosa sappiano di lui i ragazzi di oggi, anche se magari hanno visto tutti i film Marvel. Sergio Badino pensa proprio a loro, con questo libriccino sotto forma di un immaginario taccuino dove Lee scrive un po’ di cose (in stile da ragazzo anche quando aveva già passato da un pezzo la quarantina…) Solo la postfazione ha uno stile più serio.
Se riuscite ad accettare questo stile potrete avere un’idea almeno parziale di quanto Lee sia stato esuberante e onnipresente, anche se con trucchetti vari come scrivere solo inizio e fine della sceneggiatura e lasciare ai disegnatori il compito di trovare come arrivare fino a lì. Ah: il titolo è una delle espressioni preferite da Stan Lee, e se non sbaglio la sua vera autobiografia si intitola allo stesso modo.

(Sergio Badino, Excelsior! : Il taccuino segreto di Stan Lee, Giunti 2023, pag. 160, € 5,99 (cartaceo 8,50), ISBN 9788809914049 – se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me)
Voto: 4/5

AI e matematica: ci sono miglioramenti?

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Alex Wilkins in questo articolo racconta dei progressi ottenuti nel 2024 dalle intelligenze artificiali nel campo della risoluzione di problemi matematici.
Come sapete, gli LLM non “comprendono” quello che hanno in input (o in output, se per questo) ma scelgono fondamentalmente la frase più probabile data la successione di parole in ingresso e le variabili nascoste che hanno a disposizione. Quindi se chiediamo a ChatGPT e ai suoi amici quanto fa 2 + 2 è estremamente probabile che la risposta sia 4; ma alla domanda “Add 34957 to 70764” rischiamo che la risposta sia 105621. (Non ho fatto la prova, ma immagino che chi sviluppa gli LLM abbia tenuto conto di questa particolare addizione e quindi ci sia del codice che faccia dare la risposta corretta.) Il guaio è che proprio perché gli LLM non capiscono quello che fanno è difficile per loro anche solo accorgersi che il problema è matematico e passarlo a un modulo “classico” che faccia i conti.

Pare però che quest’anno ci sia stato un miglioramento nelle performance di questi sistemi, partendo da Google Deepmind che sarebbe riuscita a prendere una medaglia d’argento alle olimpiadi della matematica – no, non vuol dire arrivare secondi, ma essere tra il 20% dei migliori – e arrivando al prossimo sistema O3 di OpenAI che avrebbe ottenuto il 75,7% di risposte corrette sul test “semiprivato” della ARC Challenge, studiato appunto per avere problemi facili per gli umani ma difficili per l’AI. Peccato che il costo per rispondere a ciascuna domanda è intorno ai 20$; O3 avrebbe anche raggiunto l’87,5%, sopra la soglia dell’85% che permetterebbe di vincere l’ARC Challenge, se non fosse per un piccolo particolare. Il costo per rispondere meglio alle domande è di 172 volte maggiore: in pratica per rispondere a una singola domanda O3 consuma 3500 euro di energia… e comunque le soluzioni in questo caso arrivavano per forza bruta, il che spiega il costo.

Diciamo insomma che questi sistemi ne hanno ancora da fare di strada…

Il rapporto argenteo

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il rapporto argenteoInnanzitutto buon Natale, così non me lo dimentico :-)

Conoscete tutti il rapporto aureo, il numero che divide un segmento in due parti che hanno rapporto uguale a quello tra il segmento stesso e la parte maggiore: $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$; o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = x + 1$. È molto meno noto il suo fratello, il rapporto argenteo (o numero argenteo) σ. Esso si definisce in modo simile: è il numero dato dall’uguaglianza $\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b} = \sigma$, o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = 2x + 1$.

Facendo i conti, il rapporto argenteo vale $1 + \sqrt{2}$, cioè circa 2,41421 o se preferite circa 70/29. In figura in alto vedete un rettangolo argenteo che contiene un altro rettangolo argenteo ottenuto togliendo i due quadrati verdi; da qui togliendo i due quadrati rossi si ottiene un terzo rettangolo argenteo.

il rapporto argenteo nell'ottagono regolare Il rapporto argenteo non è carino come quello aureo, ma ha comunque alcune interessanti proprietà. Se per esempio consideriamo l’iterazione $x \gets \tfrac12 (x^2+1) /(x-1)$ per $x_0 \in [2,3]$, abbiamo che σ è un punto fisso superstabile: cioè la derivata della funzione in quel punto è nulla, il che significa che la convergenza è estremamente rapida. Inoltre, lo sviluppo in frazione continua del numero argenteo è σ = [2; 2, 2, 2, 2, …] (confrontatela con quella del numero aureo ϕ = [1; 1, 1, 1, 1, …]), con 1/σ = [0; 2, 2, 2, 2, …]; il rapporto argenteo è un numero di Pisot (il secondo, dopo il rapporto aureo), il che significa che le sue potenze sono ottime approssimazioni di numeri interi.

Dall’iterazione $x \gets \sqrt{1 +2x \vphantom{/} }$ otteniamo poi il radicale innestato σ = $\sqrt{1 +2\sqrt{1 +2\sqrt{1 +\cdots}}} \;.$ Troviamo un rettangolo argenteo anche all’interno di un ottagono regolare, come mostrato in figura. Altre proprietà del numero argenteo: $1 =\frac{1}{\sigma -1} + \frac{1}{\sigma +1}$, $\sigma =\frac{\sigma +1}{\sigma -1}$, $ \sigma =2\sum_{n=0}^{\infty} \sigma^{-2n}$.

Un’ultima curiosità: nella figura qui sotto vediamo come dei rettangoli di rapporto tra i lati σ−1 (blu e verde), σ/(σ−1) (rosso e marrone) e σ (viola, giallo) tassellano un quadrato.

(Immagine dei rettangoli non proprio argentei di Zilverspreeuw, da Wikimedia Commons)

MATEMATICA – Lezione 46: Matematica sperimentale

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copertina Cosa vuol dire fare matematica sperimentale? Semplice: provare a vedere cosa succede se facciamo alcune ipotesi. Qualcuno potrebbe pensare che la matematica sperimentale sia una contraddizione in termini; qualcun altro pensare che sia nata con l’avvento dei computer, e in effetti Pierluigi Vellucci in questo volume presenta ipotesi fatte così (e dà degli esercizi basati su alcuni suoi articoli di ricerca…). Ma non è così! Anzi, potremmo dire che la matematica è nata come sperimentazione e solo dopo un po’, coi greci prima e soprattutto con Gauss che si premurava di nascondere tutte le tracce di come era arrivato ai suoi risultati, è passata ad apparire un corpus di informazioni necessarie, proprio quelle che odiamo studiare a scuola.
Vellucci ci mostra alcuni esempi di congetture matematiche studiate sperimentalmente, terminando con la famigerata congettura di Collatz che ha rovinato le giornate di tanti matematici dilettanti e professionisti. Il personaggio raccontato da Veronica Giuffré è Felix Hausdorff, grande analista e vittima del nazismo; i miei giochi matematici trattano di massimi e minimi.

Pierluigi Vellucci, Matematica sperimentale, allegato a Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera, €6.99 più il prezzo del giornale.lignleft size-medium wp-image-30248″ />

Addio Stocard… e passo a Catima

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CatimaIo usavo da anni Stocard per salvare sul telefono i codici delle carte fedeltà. Un paio di anni fa Stocard annuncia di essere stata acquistata da Klarna. L’altro giorno improvvisamente Stocard non funziona più e sono stato costretto a passare i miei dati su Krarna. In realtà non ha nemmeno copiato tutto (per esempio le foto che mettevo per tessere senza codice a barre) ma soprattutto è un modello che non sopporto per nulla, visto che a quanto pare vuole tanto avere i miei dati personali da aggiungere alle tessere.
Mi sono guardato in giro e la mia scelta è andata su Catima. Vi avviso subito: non è un’app per tutti. L’interfaccia utente è molto limitata, e lo si vede anche solo dal fatto che non c’è un sistema automatico per ritagliare le foto fatte alle tessere. Ma ha un enorme vantaggio: il suo modello di business è “a me serviva un’app così, se la volete voi usatela pure”. Non salva nulla in remoto, ma potete se volete fare backup e anche mandare i dati di una carta a un’altra persona che non usa nemmeno Catima. Insomma, fa quello che deve fare un gestore di codici di carte e null’altro.
Teoricamente potrebbe importare i dati da Stocard, praticamente non lo fa perché Stocard non esportava nulla :-( Importando a mano ho scoperto che si fa in fretta a dire “codice a barre”: per esempio la Fidaty Card assomiglia a un EAN-13 ma in realtà è un UPC-A e se quindi la copiate a mano non funziona.

Quizzino della domenica: Potenze

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Sapendo che 22 × 35 = 972, e definendo α = log10 2, β = log10 3, γ = log10 7, quale di questi cinque numeri è più vicino a una potenza di 10?

(a) 2β
(b) 5α + β
(c) α + 2γ
(d) 2α + 5β
(e) 2α + β + γ


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p727.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions; immagine di Conscious, da Wikimedia Commons.)


Dove va la fisica (libro)

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copertinaUna delle cose che ho più apprezzato di questo libro è lo stile di Matteo Serra, che non solo ha scelto di intervistare vari giovani ricercatori che spaziano su tutti i campi della fisica, ma mette in tutte le interviste un tocco personale. È possibile che la scelta sia anche dovuta al fatto che le interviste sono state fatte nel periodo del lockdown, quando i contatti umani mancavano: ma magari quello è proprio il suo stile.
Chiaramente le due domande di base fatte da Serra sono “come mai hai scelto questo campo” e “cosa ti aspetti che capiti nel prossimo futuro in questo campo”; le risposte mostrano spesso la presenza di una interdisciplinarietà che penso un tempo mancasse, e forse è il vero messaggio che porta questo libro, anche perché onestamente è improbabile che nel corso della nostra vita riusciremo a vedere più di uno o due di questi temi giungere a un soluzione, almeno parziale…
(ps: l’immagine di copertina è davvero bella!)

(Matteo Serra, Dove va la fisica : Undici dialoghi sul presente e sul futuro della ricerca, Codice 2022, pag. 200, € 16, ISBN 9788875789985, acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me)
Voto: 4/5