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matematto non praticante

Come approssimare un arco di circonferenza

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Approssimazione di un arco

Come si può misurare la lunghezza di un arco di circonferenza? Semplice: si misura l’angolo al centro relativo e il raggio della circonferenza e si fa la proporzione, sapendo che tutta la circonferenza ha ovviamente lunghezza $2πr$.

Nel libro del 1803 di Peter Nicholson Carpenter’s New Guide viene però data una costruzione approssimata. Dato l’arco (non troppo grande) $\overset{ \huge\frown}{AB}$, si divida in quattro parti il segmento $AB$ con i punti $C_1, C_2, C_3$ come in figura. Se la circonferenza di centro $A$ che passa per $C_1$ interseca l’arco dato in $D$, allora il segmento $C_3D$ è approssimativamente lungo la metà dell’arco. Nicholson avverte che questa costruzione si può usare solo per archi inferiori a un quadrante.

In questo caso, come nel 1981 ha mostrato il matematico britannico Ian Cook, l’errore massimo che si commette è dello 0,6%, che per un carpentiere è ampiamente all’interno delle tolleranze ammesse. Il tutto senza goniometri. Niente male, no?

(fonte: Futility Closet)

Franco Guadagni

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Ieri è improvvisamente morto di infarto il mio vecchio (si fa per dire, aveva 71 anni) capo in Cselt. Franco era salito dalla Toscana a Torino a studiare ingegneria, e in Cselt si occupava di ingegneria delle telecomunicazioni, che al tempo significava seguire gli standard ISO/OSI con cose tipo X.25. Ebbe però l’intuito che forse quella cosa chiamata “Internet” poteva avere un qualche futuro, e così nel 1992 cominciò ad ampliare i temi trattati dal suo gruppo, prendendo tra l’altro il sottoscritto che era uno dei pochi in azienda a saperne qualcosa. Cominciammo così a spiegare ai colleghi romani in Sip che forse poteva essere l’ora di istituire accessi in TCP/IP, collaborando alla creazione di Interbusiness (di cui bucammo la prima implementazione in mezz’ora… bei tempi, quelli).

Franco mi supportò e sopportò per un decennio: fu lui a spingermi per esempio a entrare nella Naming Authority (dove ovviamente Telecom era malvista, visto il suo monopolio di fatto…). A parte le serate musicali che facevamo con i colleghi, siamo sempre stati in contatto anche quando sono andato via a Milano: se passavo in Tilab andavo comunque a trovarlo, anche negli ultimi anni quando era stato mobbato – ma Cselt era morto e sepolto, nulla di strano). Andato in pensione si era cominciato a dedicare a tempo pieno a raccontare i suoi viaggi e scrivere di botanica, oltre ai suoi “pensierini” che erano un ottimo modo per vedere le cose da un punto di vista diverso dal solito.

Per qualche pugno di dollari

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A giugno avevo scritto che un giudice americano aveva dato torto ad Anthropic in una causa perché aveva usato il testo dei libri per addestrare il proprio LLM. Di per sé ciò non sarebbe stato un problema, ma Anthropic si era presa la base dati dai server di libri piratati, e quello sì che non si poteva fare, perché si rubava il pane di bocca dagli autori.

La notizia di questi giorni è che è stato raggiunto un accordo extragiudiziale, e Anthropic pagherà un miliardo e mezzo di dollari agli autori. Quali, esattamente, non si sa: qui c’è una pagina dove chi pensa di essere stato piratato può inserire i suoi dati. Il valore per libro è intorno ai 3000 dollari: come scrive David Gerard, “Molti autori non saranno felici, pensando che 3000 dollari sono pochi: ma altri notano che è più di quanto abbiano mai ottenuto dal loro editore”. (Forse uno dei miei libri è arrivato a farmi guadagnare quei soldi: l’unica cosa che posso dire è che non ho mai pagato per farmi pubblicare). Teoricamente non ci dovrebbe essere differenza di valore tra un libro e l’altro, visto il loro uso: ma mi sa che la cosa funzionerà più o meno come la SIAE da noi, che applica la regola evangelica “a chi ha sarà dato, a chi non ha sarà tolto anche quello che ha”.

Ho appena controllato: libgen è giù, quindi non posso fare l’elenco dei miei libri ivi presenti :-( Non che la cosa sia così importante: in Italia tu cedi i diritti all’editore, quindi dovrebbe essere lui a fare domanda, e alla fine di quei 3000 dollari ne vedrei tra i 150 e i 200. Per quanto riguarda i libri autopubblicati, sono in CC-BY-SA e quindi utilizzabili liberamente…

Adda venì la fattorizzazione quantistica!

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Non so se avete mai sentito parlare dell’algoritmo di fattorizzazione di Shor. Nel 1994 Peter Shor definì un algoritmo di fattorizzazione di un numero che, implementato su un computer quantistico, completa il compito in un tempo polinomiale rispetto alla dimensione del numero stesso. Occhei, il risultato è quasi certamente corretto: come sappiamo nel mondo quantistico certezze non ce ne possono essere: ma la probabilità di errore può essere resa piccola a piacere.

Questo risultato, se avessimo un computer quantistico funzionante, distruggerebbe tutti gli algoritmi di crittografia che si basano sulla difficoltà della fattorizzazione, come RSA: infatti gli algoritmi classici di fattorizzazione hanno una complessità che cresce esponenzialmente con la dimensione del numero, e quindi è molto più semplice moltiplicare due numeri primi grandi che partire dal prodotto e arrivare ai due numeri. E in effetti nel 2001 ci fu il primo computer quantistico che riuscì a fattorizzare 15 con l’algoritmo di Shor. Non molto, ma un punto di partenza.

circuito logico quantistico per fattorizzare 15

È passato quasi un quarto di secolo. I computer quantistici sono diventati sempre più grandi. Eppure non si è ancora riusciti a fattorizzare 21. Craig Gidney spiega il perché. Qui sopra vedete il circuito logico usato per la fattorizzazione di 15. Ci sono sei porte entangling da due qubit e due porte di Toffoli (quelle con due pallini neri in verticale), ciascuna delle quali corrisponde a sei porte entangling. Con i tre rivelatori finali si ha un totale di 21 porte entangling. Non riporto il disegno di un circuito ottimizzato per la fattorizzazione di 21: se volete divertirvi guardatelo nell’articolo. Dico solo che ha 191 porte CNOT e 369 porte di Toffoli, per un totale di 2405 entangling: due ordini di grandezza in più! Insomma, quello che si guadagna in velocità di esecuzione si perde con gli interessi in complessità.

Ma la parte più divertente, almeno per me, è questo articolo, sempre di Gidney, che fattorizza i numeri fino a 255 e nota come per numeri così piccoli l’algoritmo è così stabile che funziona anche usando un generatore di numeri casuali anziché collassare lo stato quantistico! Insomma, possiamo ancora stare tranquilli per un po’ di tempo…

Quizzino della domenica: grafo numerato

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764 – configurazioni

Posizionate i numeri da 0 a 9 nel grafo qui sotto, in modo che la somma dei numeri sui nodi collegati con un arco a ciascun numero sia quella indicata a destra. Se per esempio si assegna ad A il valore 1, la somma dei valori assegnati alle caselle a cui è collegato A (cioè B e D) deve essere 4. Quindi una di esse è 0 e l’altra 4, perché 1 è già stato assegnato e non si può avere 2 e 2.

il grafo
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p764.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Grange Newsletter di Chris Smith.)

The Art of Uncertainty (ebook)

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copertina David Spiegelhalter è probabilmente il più grande statistico britannico vivente, e in questo libro parla effettivamente della statistica. Ma lo fa da un punto di vista inaspettato, e diverso dal suo precedente “L’arte della statistica”. L'”arte dell’incertezza” è vista appunto come un’arte. Non ci sono formule matematiche, e Spiegelhalter cerca di spiegare cosa c’è davvero oltre le formule, e come l’incertezza possa essere di vari tipi (ci sono cose che in teoria sarebbero conoscibili ma non sono note, e cose future per cui non possiamo fare altro che fare supposizioni); ma soprattutto che nella statistica, e nel calcolo della probabilità che è alla sua base, il fattore personale è fondamentale. Il tutto è inframezzato da pensieri personali, dal suo coinvolgimento quando ci fu la necessità di dare delle stime per contagi e morti per Covid a come si sta comportando (dal punto di vista di uno statistico…) con il cancro alla prostata che gli è stato diagnosticato. Un testo che dovrebbe essere letto da tanti leoni da tastiera, anche se non credo lo faranno mai.

David Spiegelhalter, The Art of Uncertainty : How to Navigate Chance, Ignorance, Risk and Luck Pelican 2024, pag. 482, € 14,99 (cartaceo 22,68), ISBN 9780241658642 – come Affiliato Amazon, se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me
Voto: 5/5

Chiacchiere e distintivi

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E quindi è stato riformato per l’ennesima volta l’esame alla fine delle superiori. Meno commissari, così si risparmia. Niente percorsi multidisciplinari, ma quattro materie per l’orale (e mi stupisco non ne vengano poi scelte due, come ai miei tempi). Ma soprattutto… (rullo di tamburi) la Vera Novità: chi farà volontariamente scena muta agli orali sarà bocciato.

Non è che gli esempi riportati dalla stampa quest’estate mi abbiano detto chissà che cosa. Banalmente, mostrano che c’è stata una persona che si è resa conto che uscire con 65/100 oppure 80/100 non avrebbe fatto alcuna differenza, e a questo punto ha deciso di togliersi uno sfizio e arrivare almeno sui giornali, dopo aver contattato un giornalista. Poi c’è stato qualcun altro che ha copiato. Evidentemente nell’esame così congegnato c’era qualcosa che non funzionava, ma il ministro non ha cercato di capire cosa e si è limitato a mostrare il suo distintivo e sanzionare quello specifico comportamento. Mi aspetto ora che qualcuno si preparerà la performance 2026 rispondendo alla prima domanda e poi salutando la commissione (non facendo così scena muta), oppure dando risposte situazioniste a tutte le domande (idem). Il tutto sempre con copertura mediatica, dimostrando che l’unica utilità “soluzione” valditaresca consiste nel fare la conferenza stampa e fregiarsi dei risultati: a pensarci bene, nulla di tanto diverso da quanto hanno fatto quegli studenti.

Ah, sì: ancora due cose. Valditara ha annunciato con Gran pompa che ci saranno 240 milioni per gli stipendi degli insegnanti: peccato che siano una tantum. E l’esame non si chiamerà più esame di Stato, ma… esame di maturità. Il vecchio che avanza.

Prese per i fondelli

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Il mio conto corrente è su una banca dove la mia azienda ha una convenzione per cui non pago spese di conto. Ma nonostante tutti gli utili che in questi anni le banche stanno facendo (per dire, l’utile nel primo trimestre della mia banca è stato di due miliardi, il miglior risultato da 14 anni) si vede che la cosa non basta. Però non possono appunto introdurre un canone… e così si sono inventati le “Spese annue per conteggio interessi e competenze”, cioè una formula da applicare (formula teorica nel caso degli interessi, che sono zero). Semplice, no?