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matematto non praticante

Freudenfreude

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La parola “Schadenfreude”, letteralmente “gioia per le disgrazie (altrui)”, è un esempio di come il tedesco sia perfetto ad assemblare come con il Lego una parola che porta in sé il significato di una intera frase. Dai, ammettetelo che anche voi avete provato spesso della Schadenfreude.
Anche la lingua inglese, come quella italiana, usa come prestito questa parola: ma a differenza nostra c’è chi ha pensato al concetto positivo, quello cioè per cui una persona è felice per la gioia di un’altra persona. E che hanno fatto? Come racconta Victor Mair, hanno coniato una nuova parola in (pseudo)tedesco: Freudenfreude, appunto. La prima occorrenza nota è in un articolo del NYT del 2022. Riusciremo a farla diventare un termine usato? Sarebbe bello avere qualche esempio positivo!

Mary Immaculate Institution (ebook)

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copertina [Disclaimer: Ho ricevuto il libro grazie al programma Early Reviewer di LibraryThing]
La storia sta a metà tra l’horror e la fantascienza, forse più verso il primo anche se non si esagera, un po’ come Frankenstein. L’autrice (che si firma solo con le iniziali) sta sicuramente pensando a continuare la serie, dai punti volontariamente lasciati pendenti. Il problema è che almeno per me la trasformazione che la protagonista compie in poche decine di pagine non è basata su nulla, e questo rovina la lettura. Va bene la suspension of disbelief, ma voglio una logica interna…

D MR, Mary Immaculate Institution, Celestium 2025, pag. 356, € 4,57 (cartaceo 10,67), ISBN 9786306708611 – come Affiliato Amazon, se acquistate il libro dal link Bezos mi dà qualche centesimo dei suoi utili
Voto: 3/5

Armonici quasi interi

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Nel 1918 József Kürschák dimostrò che la somma di reciproci di due o più numeri consecutivi non può mai essere un intero. Come corollario, l’unico valore intero toccato calcolando la serie armonica $H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …$ è 1. Ci si può però oziosamente chiedere quanto vicino si può arrivare a un intero. John Cook in una successione di post ha mostrato che se ci limitiamo ai numeri da 1 a 100000 abbiamo che $$ \sum_{k=27134}^{73756} \frac{1}{k} \approx 1$$ con un errore dell’ordine di $10^{-11}$, e questa è la migliore approssimazione possibile a 1.

Limitandoci alle porzioni di serie armonica, si arriva rapidamente a un problema: i numeri in virgola mobile non sono abbastanza precisi per fare tutte le addizioni. Fortunatamente abbiamo a nostra disposizione un’approssimazione molto buona: $H_n \approx \log n + \gamma + \frac{1}{2n} – \frac{1}{12n^2}$, dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni pari a circa 0,57721. (Curiosità: non è noto se sia o no un numero irrazionale, ma tutti credono di sì, anche perché in caso contrario il suo denominatore dovrebbe avere almeno $10^{242080}$ cifre…). Notate come l’approssimazione usata da Cook sia molto più accurata di quella usuale $H_n \approx \log n + \gamma$, per andare più sul sicuro. Cook si è divertito a scrivere un programmino Python per trovare il termine della serie armonica più vicino a un numero (non necessariamente intero) dato, scoprendo per esempio che $H_12366 \approx 9,99996214846655$.

Ma anche questo programma, pur essendo ben fatto, ha dei problemi di arrotondamento se il numero cercato è molto grande. Per esempio dice che se vogliamo arrivare ad approssimare 100 dobbiamo sommare 15092688622113830917200248731913020965388288 termini, e l’errore relativo è dell’ordine di $3 \times 10^{-15}$. Ma usando Mathematica e l’approssimazione $n \approx \rm{exp}(m − \gamma)$, dove $m$ è il numero che vogliamo approssimare e $n$ il numero di termini richiesti, Cook mostra che la vera quantità di termini che dobbiamo sommare è 15092688622113788323693563264538101449859497; insomma i due numeri divergono dalla quattordicesima cifra, il che ha senso visto che siamo ai limiti della precisione dei numeri a 64 bit. Per curiosità, per arrivare a 1000 occorrono un bel po’ di termini, cioè

110611511026604935641074705584421138393028001852577373936470952377218354575172401275457597579044729873152469512963401398362087144972181770571895264066114088968182356842977823764462179821981744448731785408629116321919957856034605877855212667092287520105386027668843119590555646814038787297694678647529533718769401069269427475868793531944696435696745559289326610132208504257721469829210704462876574915362273129090049477919400226313586033

(un numero di 435 cifre). Che possiamo dedurre da tutto questo? Due cose. La prima è che la serie armonica cresce molto lentamente; la seconda è che bisogna sempre sapere qual è il modo migliore per fare un conto, tenendo conto delle limitazioni dei computer…

La scuola dimenticata

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Anno 2015: I miei gemelli fanno prima elementare e si trovano da un giorno all’altro i ragazzi della vicina scuola media Pavoni di via Benigno Crespi 40, dove è stato trovato dell’amianto.

Anno 2022: Dopo solo sette anni è stato bonificato l’amianto, già che c’erano hanno tolto due serbatoi di carburante, e le ruspe hanno tirato giù la costruzione. Tempo previsto per i lavori: 440 giorni.

Anno 2023: Sono passati i 440 giorni, ma si è scoperto che un serbatoio aveva una falla e quindi si è dovuto verificare che il terreno non fosse contaminato.

Anno 2025: Ho scattato questa foto a inizio ottobre, ma l’altro ieri sono passato e la situazione era identica (ok, un po’ meno verde visto che l’autunno è inoltrato). Non si direbbe che la contaminazione sia così pesante. Ma soprattutto non si sa assolutamente nulla di cosa si voglia fare, ammesso che lo si voglia fare: le richieste di informazioni cadono nel vuoto. Eppure a un paio di chilometri da lì il cantiere della scuola media Falcone e Borsellino in viale Sarca, demolita nel 2024, procede alacremente. Intanto i gemelli hanno finito le elementari, fatto le medie (in un’altra scuola, pur che non avessimo più a che fare con la dirigente che c’era) e sono a metà delle superiori.

Non serve più un edificio scolastico? La promiscuità di bambini di sei anni e ragazzi di 14 (le zone sono separate, ma per dire la palestra è la stessa…) non è un problema? Bene, che lo si dica ufficialmente. Quale sarebbe il problema? Parafrasando Giorgio Gaber, “ma quella scuola, ma quella scuola ora non c’è più: ma quella scuola, ma quella scuola l’han buttata giù!”

Gli LLM hanno problemi con la parola “no”

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È abbastanza noto che tra i problemi dei chatbot c’è una certa piaggeria nei confronti degli utenti: essi sono infatti programmati per darti sempre ragione, e non si peritano di dare una risposta tirata a caso quando nel loro materiale di addestramento non c’è nulla al riguardo. Quando gli fai notare che quello che ha scritto non è vero non fa una piega, e si limita a cominciare a dire “hai proprio ragione!” Insomma, un approccio che forse migliora l’autostima di chi fa le domande ma può dare molti problemi nel medio termine.

Quello che non sapevo è che il concetto di “no” non funziona nemmeno nei prompt, almeno nel passato recente. Questo articolo di New Scientist dello scorso maggio spiega infatti come un test in cui si è cercato di addestrare dei modelli mostrando loro radiografie di soggetti con e senza polmonite, etichettate rispettivamente con “signs of pneumonia” e “no signs of pneumonia”, ha prestazioni molto inferiori a quelle di un modello addestrato solo “in positivo”. Lo stesso capita in un altro test, dove chiedere quale foto ha “un tavolo senza una sedia” fa calare la percentuale di risposte esatte di 15 punti rispetto al trovare un tavolo e una sedia.

Quello che pare capitare è che i modelli sono bravi a riconoscere nel prompt una parola chiave, ma hanno difficoltà ad associarla a un concetto negativo. Non è credo un caso che generalmente i modelli abbiano due insiemi diversi di prompt, quello positivo e quello negativo; in questo modo il controllo è più semplice. Il guaio è naturalmente che questo cozza contro la necessità di interagire in linguaggio naturale: sembra insomma incredibile, ma la prima parola che un bambino impara (che come tutti i genitori sanno bene non è né mamma né papà, ma “no!”) sia al di fuori delle capacità di un chatbot…

Quizzino della domenica: I cavalieri della tavola ruotante

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775 – combinatoria

I dodici cavalieri della Tavola Rotonda sono dei buontemponi, e oggi hanno deciso di sedersi a caso per la consueta riunione. Artù fa un rapido controllo e nota che nessuno è seduto al proprio posto. A questo punto si passa al primo punto dell’ordine del giorno: nomina del presidente. Tristano propone di far ruotare la tavola, che è stata costruita in modo da girare a piacere per rappresentare ancora meglio l’uguaglianza: la persona che si troverà al proprio posto sarà il presidente. Persival replica che potrebbe darsi che due o più persone si troveranno al posto giusto, e a quel punto non si saprebbe chi scegliere, ma Lancillotto lo rassicura dicendogli che ha verificato e con la disposizione attuale la cosa non è possibile. Come sono disposti i cavalieri?

la tavola rotonda
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p775.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema ispirato da Durtles su BlueSky; immagine generata da Copilot.)


Advanced Problems in Mathematics (ebook)

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copertina Innanzitutto una buona notizia: il libro è in CC-BY, quindi lo si può direttamente scaricare e anche riusare indicando il nome dell’autore. Passiamo ora alle notizie meno belle. Il testo nasce specificatamente per preparare gli studenti britannici agli esami STEP di ammissioni alle migliori università, e questo significa che è molto orientato verso l’analisi matematica, che onestamente non è uno dei campi che preferisco. Certo che se però siete effettivamente interessati a passare lo STEP, allora la struttura è ottima: i problemi e qualche consiglio su come affrontarli sono sulla pagina di destra e le soluzioni (con un post-mortem che dà ulteriori spiegazioni) su quella successiva, per evitare che uno sbirci per sbaglio la soluzione. Insomma, un libro che mantiene quello che promette, anche se non è detto che è quello che vogliate.

Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics : Preparing for University, Open Book Publishers 2019, pag. 188, CC-BY 4.0, ISBN 9781783747771

“Idem con patate”

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Si sa che molte locuzioni nascono come storpiatura di frasi, spesso latine, da parte di persone che il latino non l’avevano studiato. Pensate a “busillis”, che deriva dall’avere capito “in die busillis” anziché “in diebus illis”. Gian Luigi Beccaria ha scritto un intero libro, Sicurerat, al riguardo. Mi aspettavo che anche “idem con patate”, detto scherzosamente per rafforzare l’uguaglianza con quello appena pronunciato da qualcun altro, avesse la stessa etimologia: e invece pare di no. Leggendo la scheda dell’Accademia della Crusca, ho infatti scoperto che il significato originario era proprio quello letterale: nelle osterie da poco, tra la fine dell’ottocento e l’inizio del novecento, i menu separavano i vari contorni possibili per i secondi, senza ripetere il nome del piatto ma scrivendo idem con xxx. E le patate erano naturalmente il contorno più usuale. Dai menu delle osterie si passò alle testimonianze umoristiche, con un significato che man mano si spostò dalla cucina a un uso più generale. Buffo, no?