Oggi parlo brevemente di due sviluppi matematici (occhei, il secondo è più legato all’intelligenza artificiale) che hanno dato un risultato che non ci si aspettava. I due sviluppi hanno in comune che il matematico intervistato dallo Scientific American per far capire di più (hahaha) i lettori è sempre lo stesso: Ken Ono, un pezzo grosso nella teoria dei numeri, che ha condotto in prima persona il primo sviluppo e partecipato al secondo.
Il primo sviluppo parla di una definizione dei numeri primi. A scuola ci hanno insegnato che un numero è primo se non ha divisori propri. (Il numero stesso e 1 sono divisori impropri: così ci togliamo una volta per tutte il commento “ma perché 1 non è considerato primo?”). Quello che Ono ha scoperto, insieme a William Craig e Jan-Willem van Ittersum, è una definizione alternativa di numero primo che non parla di divisioni, ma si basa sulle partizioni di un numero. Una partizione di un numero naturale n è semplicemente un modo di suddividerlo in parti (sempre numeri naturali) che una volta sommate tra di loro danno il numero di partenza. Per esempio ci sono 11 partizioni di 6: (1,1,1,1,1,1), (2,1,1,1,1), (2,2,1,1), (2,2,2), (3,1,1,1), (3,2,1), (3,3), (4,1,1), (4,2), (5,1), (6). Ordunque, Ono e i suoi colleghi hanno dimostrato che esistono infinite funzioni legate alle partizioni che permettono di dire se un numero è primo. Se per esempio prendiamo un numero n e calcoliamo
$$(3n^3−13n^2+18n−8)M_1(n)+(12n^2−120n+212)M_2(n)−960M_3(n)$$
dove le $M_i$ sono le funzioni di partizione di MacMahon, che sono abbastanza note a chi lavora sulle partizioni, otterremo zero se e solo se n è un numero primo. A che serve tutto questo? Da un punto di vista pratico, a nulla. Calcolare le $M_i$ è molto più complicato di fattorizzare un numero, che è già un compito non banale. Insomma, se vi stavate preoccupando che gli algoritmi di crittografia basati sulla difficoltà di fattorizzazione fossero da buttare via potete dormire sonni tranquilli. Quello che è importante, però, è avere trovato una correlazione tra due campi della matematica apparentemente slegati tra di loro: e si sa che in questi casi da cosa nasce cosa.
Il secondo sviluppo vede invece una versione di o4-mini (il modello più recente di OpenAI) addestrato esplicitamente su problemi di teoria dei numeri. Un gruppo di matematici, ancora una volta guidato da Ono, ha preparato un insieme di domande “difficili” e su cui non dovevano esserci esempi risolti in letteratura, tanto che i matematici non solo hanno firmato un NDA ma è stato loro imposto di usare Signal per comunicare tra di loro, in modo che non potessero esserci fuoriuscite di dadi. Secondo Ono, anche se alla fine i trenta matematici hanno trovato dieci domande a cui il modello non ha saputo rispondere, i progressi dell’IA sono stati incredibili. Ono racconta di un problema aperto di teoria dei numeri che è stato risolto in una decina di minuti, con il modello che termina l’esposizione con “Non è necessaria la citazione perché il numero misterioso è stato calcolato da me!” Come ha commentato Yang Hui He, “C’è la dimostrazione per induzione, la dimostrazione per contraddizione e la dimostrazione per intimidazione. Se dici qualcosa con sufficiente autorità, la gente s’intimorisce. Penso che o4-mini abbia imparato la dimostrazione per intimidazione: afferma tutto con grande sicurezza”. Non ho visto le domande, e anche se le avessi viste non penso che le avrei capite, o se per questo avrei capito l’output del modello – no, non lo chiamo “ragionamento”. La mia idea è che in un certo senso il risultato sia combinatorio: è vero che non esiste un testo specifico da copiare per trovare la risposta, ma le tecniche sono comunque standard e quindi gli esempi trovati in letteratura sono utilizzabili da un sistema automatico per costruire la risposta. Un livello superiore e una velocità molto maggiore rispetto a quello che facevo io all’università nel risolvere gli esercizi di algebra, ma la logica è ancora la stessa.
