Il teorema di Balinski e Young
Forse è vero che la democrazia è il peggior sistema di governo, eccetto tutti gli altri. Sicuramente è vero che non può essere sempre davvero equo come si crede, e questo lo si dimostra matematicamente. Uno dei risultati probabilmente meno noti è quello pubblicato dai matematici Michel Balinski e Peyton Young nel loro libro del 1982 Fair Representation: Meeting the Ideal of One Man (ma il teorema era già stato reso noto nel 1980). Esso afferma che in un sistema elettorale proporzionale con almeno quattro partiti non è possibile garantire che vengano rispettate la regola del quoziente e la monotonicità del rapporto dei voti.
Per prima cosa, le definizioni. La regola del quoziente afferma che se in un sistema elettorale si calcolano i seggi ottenuti da ciascun partito moltiplicando il numero totale di seggi per il rapporto tra i voti dati al partito e quelli totali, il numero di seggi si deve ottenere arrotondando per difetto o per eccesso il valore trovato. Se ci fossero 7 seggi, 1000 voti validi e il partito A ne ha presi 300, il numero teorico di seggi ottenuti sarebbe (300/1000)×7 = 2,1 e quindi gli si devono assegnare due oppure tre seggi. La monotonicità del rapporto dei voti afferma invece che se da un’elezione alla successiva il rapporto A/B tra i voti presi da A e quelli presi da B aumenta, quindi A cresce più di B (oppure cala meno di B), allora A non può perdere seggi a favore di B. Inoltre se all’interno dell’elezione A ha più voti di B allora non può avere meno seggi.
Entrambe le richieste sembrano logiche ed eque. Balinski e Young hanno però costruito un esempio che non permette di soddisfare entrambe le richieste. Supponiamo che ci siano 7 seggi disponibili, e nella prima elezione la distribuzione dei voti dà questo risultato: A 5,01 seggi, B 0,67 seggi, C 0,67 seggi, D 0,65 seggi. Avendo solo il dato di una elezione non possiamo applicare la monotonicità ma solo il quoziente: l’unica possibilità è dare cinque seggi ad A, un seggio ciascuno a B e C, e nessun seggio a D. Andiamo all’elezione successiva, dove c’è stato un mezzo ribaltone: stavolta A avrebbe 3,99 seggi, B 2,00 seggi, C 0,50 e D 0,51. Per il quoziente A può avere 3 o 4 seggi, B ne ha sicuramente 2, C e D ne possono avere 0 oppure 1. I due casi possibili, considerando che D non può avere meno seggi di C, sono pertanto 3-2-1-1 e 4-2-0-1. In ogni caso A ha perso almeno un seggio e D ne ha guadagnato 1. Ma il rapporto A/D nella prima elezione era 7,82 mentre nella seconda è 7,71; quindi la monotonicità del rapporto dei voti non è rispettata.
Cosa succede in pratica? Nulla. Innanzitutto la regola del quoziente è applicata in maniera molto più rigida: si parla infatti di metodo dei resti, che assegna i “seggi frazionari” a chi ha la frazione maggiore una volta assegnati i “seggi interi”; in questo modo la monotonicità all’interno della singola elezione è assicurata. Per quanto riguarda la monotonicità tra un’elezione e l’altra, ce lo vedete il leader di un partito a dire “non è giusto, in percentuale sono andato meglio di quell’altro partito ma ho perso comunque un seggio che è andato a loro”? E ce li vedete i simpatizzanti di quel partito capirci qualcosa? Questo risultato è insomma interessante in teoria, ma non ci cambia la vita se non per sapere che ancora una volta i principi di rappresentatività sono solo un’approssimazione e non una regola matematica.
Il sottotitolo del libro è “critica matematica della ragione politica”. E bisogna dire che un po’ di matematica nel libretto ce n’è, come quando Odifreddi fa notare che la separazione dei poteri è un assioma, non un teorema, oppure la dimostrazione dei teoremi di Arrow sull’impossibilità di una scelta “naturale” quando abbiamo almeno tre alternative e quella del teorema di Balinski e Young sull’impossibilità di una ripartizione dei seggi che sia proporzionale e monotonica. Il livello della matematica presente è quello giusto, così come la spezzettazione del testo in tanti brevi capitoletti, uno per concetto legato a quella che potremmo definire educazione civica.