Immagino conosciate tutti la serie armonica, cioè la somma degli inversi dei numeri naturali: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$. Immagino anche sappiate che la serie diverge, come già sapeva Oresme nel medioevo: basta raggruppare $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$,
$\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots +\frac{1}{16}$ e così via, e notare che la somma di ogni raggruppamento è maggiore di 1/2. Per i curiosi, come si può intuire dalla figura qui a fianco, il valore parziale della serie armonica da 1 a $n$ si può approssimare con $\text{ln}n$, cioè con il logaritmo naturale. (E addirittura l’errore tende alla costante di Eulero-Mascheroni $\gamma$).

Chiamiamo ora diabolico un numero che contiene al suo interno la successione 666, e sommiamo gli inversi di tutti i numeri che non sono diabolici. Bene: questa somma invece converge. Quello che forse non è noto a tutti è infatti che se si eliminano dalla somma tutti i numeri che contengono una certa cifra allora il risultato è finito. La cosa fu scoperta da A. J. Kempner nel 1914, e le serie così costruite si chiamano serie di Kempner, appunto. La dimostrazione che quelle successioni sono finite ricorda un po’ quella di Oresme che abbiamo visto sopra. Togliamo per esempio tutti i numeri che contengono il 9. Dato un numero naturale $n$, i numeri di $n$ cifre che non contengono il 9 sono $8\cdot 9^{n-1}$, poiché ci sono 8 scelte possibili (da 1 a 8) per la prima cifra, e 9 scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre $n-1$. Ma ciascuno di questi numeri senza 9 è maggiore o uguale di ${10}^{n-1}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci è minore di $8(9/10{)}^{n-1}$. Facendo la somma di tutti i contributi dati dai numeri di 1, 2, 3, … cifre si ottiene che la somma è minore di 80. (Il valore effettivo è circa 22,92067: diciamo che in questo caso la stima era molto grossolana.) Qualcuno potrà lamentarsi perché la dimostrazione parla di numeri di una cifra che vengano tolti, e non di 666: ma il ragionamento qui sopra si può fare con una qualunque base e una qualunque cifra in quella base tolta. Se lavoriamo in base 1000 e togliamo la “cifra” 666 otteniamo una serie che ha più termini di quella che cerchiamo (per esempio conterrà 426660, visto che il numero si divide come 426-660) ma che comunque converge.

Ah: può sembrare incredibile, ma la somma degli inversi dei numeri primi invece diverge. Cresce in modo davvero lento: l’ordine di grandezza della somma dei primi $n$ primi è $O(\text{ln}\text{ln}n)$, ma comunque diverge.

(immagine di Baszoetekouw, da Wikimedia Commons)