Come sapete, la costante ꬲ ≅ 2,71828… se la gioca alla pari con π nel campionato per il numero che appare più spesso nelle formule matematiche. A differenza del pi greco, però, ꬲ è più facile da gestire, non tanto perché è il limite per $n$ tendente all’infinito dell’espressione $(1 + 1/n)^n$ (la definizione usuale) quanto perché è la somma della serie $ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots $ che ha due vantaggi: è facile da scrivere e converge molto rapidamente. Ci sono anche altre rappresentazioni interessanti di ꬲ, come la forma in frazione continua [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …] che ha permesso a Eulero di dimostrare che è un numero irrazionale. Non è però immediato ricavare questo sviluppo; in compenso esiste una dimostrazione relativamente semplice, dovuta a Joseph Fourier (sì, quel Fourier) dell’irrazionalità di ꬲ. Eccola qua.
Cominciamo a considerare queste due successioni infinite (o meglio, la collezione di successioni infinite per ogni valore di $n$):
$$ a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots $$
$$ b_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots $$
È immediato vedere che la successione $b_n$ è una progressione geometrica, e quindi il suo valore è $\frac{1}{n}$; d’altra parte, ogni termine di $a_n$ tranne il primo è minore a quello corrispondente di $b_n$ mentre il primo è uguale, e quindi $ 0 < a_n < \frac{1}{n} $. Adesso viene il bello. Prendiamo la definizione di ꬲ come somma infinita e moltiplichiamola per $n!$. I primi $n$ termini del risultato sono tutti interi, mentre la somma di quelli che rimangono, dopo avere tolto $n!$ a denominatore, corrisponde proprio a $a_n$ e quindi è compresa tra 0 e 1. Possiamo riscrivere questo risultato dicendo $$ a_n = n!ꬲ - \textrm{int}(n!ꬲ)$$ La dimostrazione è praticamente terminata. Supponiamo infatti per assurdo che ꬲ sia razionale, e quindi possiamo scrivere $ꬲ = \frac{k}{m}$, con $k$ e $m$ interi. Ma allora $m!ꬲ$ è intero, e dunque $ (m!ꬲ) = \textrm{int}(m!ꬲ)$, il che è impossibile perché sappiamo che tutti gli $a_n$ sono maggiori di zero. QED. Cosa possiamo ricavare da questa dimostrazione? Che Fourier era uno che ne sapeva: a me non sarebbe mai venuto in mente un percorso del genere. Col senno di poi però si può forse intuire cosa sia venuto in mente a Fourier. Il fatto che i termini della successione infinita tendono a zero molto, molto rapidamente ci fa capire che non hai spazio per riuscire a mettere insieme tutti i coefficienti dei denominatori per arrivare a un numeratore multiplo di essi; è un po’ la stessa idea che ebbe Liouville quando costruì esplicitamente il primo numero che si poteva dimostrare essere trascendente. Il bello di questa dimostrazione è comunque che possiamo tranquillamente spiegarla a uno studente liceale, una volta dato per assodato qual è lo sviluppo in serie infinita di ꬲ; non è che siano cose che capitino tutti i giorni!
Ultimo libro scritto da Lucio Russo, in questo testo troviamo un riepilogo delle tesi che il matematico ha portato avanti negli ultimi anni: che cioè la conquista romana del Mediterraneo non solo ha bloccato lo sviluppo scientifico del mondo ellenistico, ma ha addirittura cancellato quanto fatto nei due secoli precedenti, perché nessuno dei vincitori capiva quei concetti. Per esempio, secondo Russo la filosofia soprattutto stoica ma anche quella epicurea e perfino quella dei successori di Platone e Aristotele nell’Accademia e nel Liceo erano molto più avanzate; la logica stoica è stata per esempio riscoperta solo nel XIX secolo. Ma essendo appunto troppo complicata, i romani hanno copiato solo Platone e Aristotele che sono così stati considerati le punte più avanzate del pensiero filosofico greco. Oppure Russo fa l’esempio di Polibio, che secondo lui era fondamentalmente un soldato ma le cui conoscenze l’hanno portato a diventare il primo storico di Roma una volta portato nell’Urbe come ostaggio, essendo molto più bravo dei romani.