Sul sudoku a spirale e la sequenza Pulsar
L’ultimo quizzino della domenica presentava un problema con una specie di “sudoku a spirale”: una griglia 5×5 nella quale in ciascuna riga e colonna troviamo i numeri da 1 a 5, e sulla spirale abbiamo un 1, due 2, tre 3, quattro 4 e cinque 5. La soluzione è mostrata qui a destra: magari vi siete accorti che nella spirale, partendo dal centro e andando verso l’esterno, troviamo una successione che possiamo suddividere come 5-45-345-2435-14325. Se siete amanti dei pattern come me, avrete anche notato che la successione dei numeri non cerchiati è in un certo senso il suo complementare: abbiamo infatti 1-21-321-4231. In entrambi i casi abbiamo gruppi di dimensione crescente, e la somma delle cifre rispettive di ciascun gruppo è sempre 6. Richard Green ha parlato di questa struttura: il suo post è dietro paywall, ma potete leggere qualcosa in più sulla struttura in questo preprint di Vadim Ponomarenko che descrive appunto la sequenza Pulsar, quella che parte da 1.
La sequenza Pulsar è una delle ultime aggiunte a OEIS, il che significa che è qualcosa di davvero nuovo: cosa piuttosto incredibile, dopo decenni di ricerca di successioni di interi. I primi suoi termini sono
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 5, 2, 3, 4, 1, 6, 2, 4, 3, 5, 1, 7, 2, 5, 4, 3, 6, 1, 8, 2, 6, 4, 5, 3, 7, 1, 9, 2, 7, 4, 5, 6, 3, 8, 1, …
dove ho scritto alternativamente in corsivo e grassetto i numeri delle sottosequenze per riconoscerli meglio. Riuscite a vedere come queste sottosequenze S(n) sono generate? In pratica il primo termine di S(n) è sempre n e l’ultimo è 1; a partire da S(3) i numeri in mezzo sono quelli di S(n−2) a cui si somma 1 e che vengono scritti in ordine inverso. Quindi se S(5) è (5,2,3,4,1) noi scriviamo (6,3,4,5,2), lo rovesciamo in (2,5,4,3,6), gli mettiamo in cima 7 e in fondo 1 e otteniamo S(7). Ma possiamo anche continuare per induzione a costruire quadrati contenenti la sequenza pulsar! Per passare per esempio da 5 a 6 caselle, aggiungiamo una striscia verticale per la spirale e la striscia orizzontale che completa il quadrato: poi sommiamo 1 a tutti i numeri della spirale (nella figura sotto li vedete in rosso), completiamo la spirale con i numeri per formare un quadrato latino (sono in blu nella figura) e infine aggiungiamo S(5) in basso (in verde). Da qui potete facilmente verificare le varie proprietà accennate sopra: esiste un’unica successione, perché c’è solo un modo per riempire righe e colonne: il primo valore è sempre n (perché nell’antipulsar della spirale è 1) e l’ultimo 1 (perché nell’antipulsar è n), e così via.


Gli ultimi due punti sono più filosofici ma probabilmente i più interessanti. Guardate 
Questo libro, anche se formalmente ancora a catalogo Electa, non pare essere acquistabile: io l’ho preso in prestito in biblioteca. Come tutte queste strenne, oltre che avere un peso non indifferente, il libro ha delle bellissime immagini delle varie chiese. La parte che mi è piaciuta di più è la sezione sulle chiese che non esistono più, dove evidentemente le uniche fonti che ci sono rimaste sono quelle scritte e i disegni dell’epoca salvo in qualche caso più fortunato in cui c’è stata la possibilità di fotografare la chiesa prima della distruzione; molto bella anche la storia delle singole chiese, con le spiegazioni di come si sono modificate nel tempo; il tutto con dovizia di rimandi ad altre fonti, se proprio si è interessati a una singola chiesa. L’altra faccia della medaglia è che spesso i testi sono scritti per addetti ai lavori, e ho fatto spesso fatica a capire di cosa si parlava.
Io sono fermo ai supereroi Marvel degli anni ’60, massimo ’70. Ho qualche idea del casino che ha fatto Marvel in questi decenni, a partire dal multiverso che permette di fare reboot a iosa, e della quantità di supereroi e supercattivi che è stata aggiunta. Aggiungete il fatto che non ho visto i tre film precedenti di questa linea temporale, e potete immaginare quanto io abbia capito della trama di