Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da Chartitalia, un blog generalmente legato al mondo musicale e delle classifiche. Detto in altro modo, andate a darci un’occhiata anche se la matematica non la sopportate: alla peggio evitate di cliccare sui link (farete solo piangere noi poveri divulgatori, ma fa lo stesso)!

(segue da qui)
Il problema principale con l’intonazione naturale è che si è persa la perfetta simmetria dell’intonazione pitagorica. Il tono non è infatti piu “il” tono; il rapporto tra re e do (tono maggiore) è 9/8, mentre quello tra mi e re (tono minore) è 10/9. Questo significa che ci sono intervalli teoricamente uguali che suonano diversi; dunque una scala di do maggiore e una scala di re maggiore suonate all’organo – il pianoforte non c’era ancora! – non sono identiche, il che dà un certo qual fastidio all’orecchio. Per gli archi continuano a non esserci problemi, almeno fino a quando suonano tra di loro, senza tastiere di mezzo. C’è stato a dire il vero qualcuno che aveva proposto e fatto costruire degli strumenti (l’archicembalo e l’archiorgano) dove in ogni ottava venivano affastellati ben trentun tasti in modo da permettere di suonare tutte le note intonate giuste; ma credo che la lobby, pardon la gilda, dei costruttori di strumenti musicali e quella dei musicisti si siano alleate per mandare a stendere i propugnatori di quelle ipertroficità. Come per i toni, l’intonazione naturale prevede due semitoni distinti; quello che vediamo comparire nella scala standard, il cui rapporto vale 16/15 e viene chiamato semitono diatonico, e quello calcolato per differenza tra un tono minore e un semitono diatonico, detto semitono cromatico e che vale 25/24. Per confronto, il semitono pitagorico vale 256/243, cioè circa 20/19. La confusione nei nomi e nei numeri è enorme, e non è finita: nella discussione si intrufolò persino Galilei! Non Galileo, ma il su’ babbo Vincenzo, musicista di una certa importanza ben noto a chi ha studiato a Pisa; Galilei propose un semitono dal rapporto 18/17, probabilmente per rompere le scatole a qualcuno perché non so assolutamente come riuscisse poi ad accordare gli strumenti.
Già che stiamo parlando di numeri, aggiungo che la differenza tra tono maggiore e tono minore, il comma di Didimo o comma sintonico, è pari al rapporto 81/80; un rapporto importante anche se, nella migliore tradizione musicale, ci sono almeno altri due commi: quello pitagorico che vale 531441/524288 (parlavamo di numeri piccoli?) e quello enarmonico che vale 128/125. Se ci accontentiamo di un’approssimazione pratica, un tono vale circa 9 commi e un semitono diatonico vale cinque commi, quindi la differenza tra il sol diesis (un semitono sopra il sol) e il la bemolle (un semitono sotto il la) è un comma. Da qua si capisce come mai per vari secoli il comma è stato usato come unità pratica per le approssimazioni.
A proposito di approssimazioni, Zarlino diceva che la sua proposta era da considerarsi uno studio teorico, perché l’Accordatura Migliore era già stata proposta qualche decennio prima: il temperamento mesotonico, detto anche “del tono medio”. Avete notato che prima parlavo di intonazione e adesso di temperamento? Non è un caso, e ora vedrete il perché. Il temperamento mesotonico è stato teorizzato da Pietro Aron nel 1523, e parte da un presupposto se volete lapalissiano: “Vogliamo che le terze suonino bene assieme, e accordando per quinte non riusciamo a farlo? Evitiamo di accordare per quinte!” All’atto pratico si iniziava ad accordare per quinte, cominciando con do – sol – re – la – mi. A questo punto si prendeva il mi ricavato in questo modo, e lo si abbassava (lo si accordava “calante”, nel gergo musicale) fino a che si poteva suonare contemporaneamente do e mi sentendoli intonati. A questo punto si divideva in quattro parti l’abbassamento complessivo e lo si distribuiva tra le quattro quinte, in modo che fossero tutte calanti uguali. Per accorciare il rapporto si fa la stessa operazione con cui si tempera una matita per accorciarla… da qui il termine “temperamento” (anche se a dire il vero sia una corda che una canna d’organo devono essere allungate per abbassarne il suono!) Una volta messa a posto la prima terza non ci sono più grossi problemi: si continua ad accordare per quinte abbassandole per farle diventare consonanti con la terza relativa. Ecco il risultato finale:
 

Temperamento mesotonico

 
Ci sono un po’ di radici, addirittura radici quarte, e la logica pitagorica si è persa del tutto; ma non è poi la fine del mondo. Tra l’altro tutti i toni adesso hanno lo stesso rapporto, √5/2, che è la media geometrica tra il tono maggiore e quello minore, da cui il nome dato al temperamento. E la radice quadrata di 5 la si trova anche nel pentagono e nel rapporto aureo, quindi numerologicamente è accettabile. Il guaio è quando ci si mette a riempire l’ottava con i semitoni mancanti, e si casca di nuovo nel problema della chiusura del circolo delle quinte. Il problema era anche presente nell’intonazione pitagorica e in quella naturale, ma diventa importante solo adesso, visto che si inizia a comporre brani in tonalità diverse e a fare delle modulazioni, cioè cambiare tonalità all’interno di un brano inserendo note che non fanno parte della scala originaria. Quel che è peggio è che il temperamento mesotonico, per aggiustare le note usate di solito abbassando le quinte “normali”, rende ancora più difficile chiudere il circolo. Esiste così un singolo intervallo di quinta – la quinta del lupo, in genere tra sol♯ e mi♭, con un intervallo di ben 737 cent, rispetto ai 702 della quinta giusta e ai 697 della quinta temperata mesotonicamente. Quasi mezzo semitono – tecnicamente il famigerato comma enarmonico di cui parlavo prima – davvero difficile da digerire! Occhei, formalmente tra sol♯ e mi♭ c’è una sesta diminuita e non una quinta; diciamo che che se uno suona un brano in mi♭ si trova questo intervallo al posto di quello che dovrebbe essere l’intervallo di quinta la♭ – mi♭ similmente per chi vuole suonare in mi maggiore e (non) si trova l’intervallo sol♯ – re♯. Per ovviare a questo problema, una volta ammesso il principio del temperamento, occorreva qualcuno che con pazienza certosina studiasse quali martellate dare alle canne dell’organo (non scherzo, si fa anche così per accordarlo), insomma quali quinte toccare e di quanto per ottenere un risultato apprezzabile in qualunque tonalità si volesse suonare. Queste cose le sanno fare solamente i tedeschi e i giapponesi: ma questi ultimi non avevano al tempo contatti con gli europei, quindi toccò ai teutonici. Fu Andreas Werckmeister, organista e compositore di cui non rimane praticamente alcun suo lavoro musicale, a comporre il capolavoro ;-): il cosiddetto buon temperamento. Anzi ne compose ben quattro, un po’ come capita adesso nei supermercati americani dove non si può comprare un litro di latte ma bisogna scegliere tra quello che va meglio per una cosa, quello preferibile per l’altra, e così via. Non vi tedio mostrandovi tutti e quattro i temperamenti ideati da Werckmeister; se proprio siete curiosi date un’occhiata a Wikipedia. Mi limito a presentare il cosiddetto Werckmeister I (III), che è quello più adatto per i brani che tendono a usare tutte e dodici le note dell’ottava. Per la cronaca il temperamento si chiama I (III) perché il buon Werckmeister prima ha presentato i suoi metodi, poi ha pensato bene di premettere intonazione naturale e temperamento mesotonico, spostando di numero tutti gli altri.
 

Temperamento Werckmeister I (III)

 
Non spaventatevi dei numeracci! Werckmeister ha fatto un lavoro completamente diverso per far quadrare il circolo delle ottave, e i valori qui indicati sono stati calcolati a posteriori. Quello che ha fatto è dire “prendiamo alcune quinte giuste e temperiamone giusto qualcuna per far tornare i conti”. Le quinte abbassate di un quarto di comma sono quelle do-sol, sol-re, re-la e si-fa#; visto che il comma, come certo ricordate, era l’errore di chiusura del circolo delle quinte adesso il circolo si chiude eccome. I vari toni hanno naturalmente rapporti diversi, ma il risultato finale è apprezzabile all’orecchio, pur non essendolo all’occhio del matematico, tanto che… ma questa sarà la terza (e ultima) puntata della storia.