Non so se avete avuto voglia di provare a dare una spiegazione per la notevole coincidenza che ho presentato mercoledì scorso. Qui ci sono le mie pensate, che mi hanno portato lentamente a trovare una soluzione.

La prima cosa che mi è venuta in mente è stata la legge di Benford, che si vede bene nei valori delle potenze di 10. Quella è però una falsa pista: beh, a dire il vero nemmeno troppo falsa, ma solo nel senso che il procedimento che porta alla legge di Benford è simile a quello che ci interessa. La seconda cosa che mi è venuta in mente è che $2^{10} \approx 10^3$, e che questo poteva forse spiegare la somiglianza dei valori. Però anche $2^{20} \approx 10^6$; d’accordo, l’errore è circa il doppio, ma la successione delle potenze “scalate tra 1 e 10” non assomiglia affatto a quella delle potenze frazionarie di 10. Però è anche vero che in certi casi la concordanza è ottima: abbiamo che $6^9 = 10077696$, e costruendo la tabella con le prime nove potenze (e quelle di 10 da $10^{1/9}$ in su) otteniamo (sempre approssimando)

$$
\begin{matrix}
n & \textrm{potenza} & \textrm{seietto} & \textrm{differenza} \\
0 & 1 & 1 & 0.00\% \\
1 & 1.2915 & 1.296 & 0.34\% \\
2 & 1.6681 & 1.6796 & 0.69\% \\
3 & 2.1544 & 2.16 & 0.26\% \\
4 & 2.7826 & 2.7993 & 0.60\% \\
5 & 3.5938 & 3.6 & 0.17\% \\
6 & 4.6416 & 4.6656 & 0.52\% \\
7 & 5.9948 & 6 & 0.09\% \\
8 & 7.7426 & 7.776 & 0.43\% \\
\end{matrix}
$$

Insomma, a volte l’essere arrivati molto vicino a una potenza di 10 funziona e a volte no. A questo punto sono tornato sui miei passi, e ho ripreso l’idea della legge di Benford, o meglio mi sono ricordato di come Simon Newcomb avesse notato la legge qualche decennio prima di Benford: le prime pagine delle tavole dei logaritmi erano più sporche delle ultime, il che significava che quelle pagine venivano usate di più. Prendiamo dunque i logaritmi in base 10 delle potenze di 10 usate nella tabella: per costruzione saranno tutti equidistanti tra 0 e 1 (più precisamente saranno 0/10, 1/10, …, 9/10, visto che ci siamo fermati prima di $10^1$). Cosa abbiamo invece nelle prime dieci potenze di 2? Sappiamo che $2^{10} \approx 10^3$, e quindi i loro logaritmi saranno equidistanti, con un passo di circa 3/10 (e infatti $\log_{10} 2 \approx 0.30103$). Trasformare le potenze di due mettendo il punto decimale dopo la prima cifra corrisponde a considerare solo la parte decimale (la mantissa) dei logaritmi; quindi abbiamo (quasi) la parte decimale dei multipli di 0.3; la cifra decimale di questi multipli varia da 0 a 9. Ora è chiaro perché considerare le prime venti potenze di 2 non funziona: abbiamo i valori della prima cifra decimale a coppie. Nel caso dei seietti, le parti decimali sono nove e quindi i logaritmi saranno distanziati circa di 1/9 uno dall’altro, mentre quelli delle potenze di 10 sono distanziati esattamente di 1/9.

A questo punto possiamo anche capire il motivo per cui gli errori variano: nei logaritmi abbiamo un residuo (0.00103 nel caso delle potenze di 2) che man mano si accumula. Gli errori maggiori si hanno pertanto in corrispondenza delle potenze più grandi di 2. In definitiva: no, non era una coincidenza, ma accorgersi del motivo non è immediato.

Colin Wright ha recentemente postato sul suo sito questa curiosità, segnalatagli da un suo amico.

Passo 1: Scriviamo le potenze di 2 da 0 a 9: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.
Passo 2: Mettiamo questi numeri in ordine lessicografico: 1, 128, 16, 2, 256, 32, 4, 512, 64, 8.
Passo 3: Mettiamo un punto decimale (o una virgola, se preferite) dopo la prima cifra di ciascun numero: 1.0, 1.28, 1.6, 2.0, 2.56, 3.2, 4.0, 5.12, 6.4, 8.0.

A questo punto abbiamo dieci numeri in ordine crescente, compresi tra 1 e 8. Chiamiamoli “duetti” e lasciamoli un attimo da parte.

Passo 4: Calcoliamo le potenze di $10$ da $10^{0.0}$ a $10^{0.9}$ con gli esponenti che crescono man mano di 0.1. Otteniamo (arrotondando)

$10^{0.0} = 1.000$; $10^{0.1} \approx 1.259$; $10^{0.2} \approx 1.585$; $10^{0.3} \approx 1.995$; $10^{0.4} \approx 2.512$; $10^{0.5} \approx 3.162$; $10^{0.6} \approx 3.981$; $10^{0.7} \approx 5.012$; $10^{0.8} \approx 6.310$; $10^{0.9} \approx 7.943$

Chiamiamo questi dieci valori (che evidentemente sono già in ordine crescente) “potenze”.

Passo 5: Prendiamo i duetti e le potenze, mettiamoli a fianco e vediamo la differenza in percentuale tra i valori corrispondenti:

$$
\begin{matrix}
n & \textrm{potenza} & \textrm{duetto} & \textrm{differenza} \\
0 & 1.000 & 1.0 & 0\% \\
1 & 1.259 & 1.28 & 2\% \\
2 & 1.585 & 1.6 & 1\% \\
3 & 1.995 & 2.0 & 0\% \\
4 & 2.512 & 2.56 & 2\% \\
5 & 3.162 & 3.2 & 1\% \\
6 & 3.981 & 4.0 & 0\% \\
7 & 5.012 & 5.12 & 2\% \\
8 & 6.310 & 6.4 & 1\% \\
9 & 7.943 & 8.0 & 1\% \\
\end{matrix}
$$

Una coincidenza notevole, vero? Ma sarà davvero una coincidenza o c’è qualcosa sotto? Vi lascio un paio di giorni per provare a trovare una spiegazione comprensibile di questa coincidenza. Sono buono e vi voglio aiutare: se provate con le prime venti potenze di 2 (e naturalmente fate crescere le potenze di 10 di un ventesimo anziché un decimo) la coincidenza non c’è. In compenso se provate le prime nove potenze di 6 e fate crescere di un nono le potenze di 10 la coincidenza è ancora maggiore, con un errore massimo dello 0.69%.

“Canta tra i cespugli nella luce”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 190 del Carnevale della matematica, dal tema “Ada & Friends”. Oggi, essendo il secondo martedì di ottobre, si festeggia infatti Ada Byron, contessa di Lovelace, prima persona a programmare nella storia. Io ne avevo parlato nel 2015 e nel 2022, oltre ad aver recensito il libro “The Thrilling Adventures of Lovelace and Babbage“.

La cellula melodica di Dioniso è molto semplice, passando da un do maggiore a un do settima. (Io avrei messo in mezzo un mi settima e un la minore, ma si sa che sono troppo contaminato dalla musica pop degli anni ’60…) Eccola qua.

Il 190 è un numero triangolare (la somma dei numeri da 1 a 19), esagonale, ennagonale centrato; è parte delle terne pitagoriche (114, 152, 190), (190, 336, 386), (190, 456, 494), (190, 1800, 1810), (190, 9024, 9026); è idoneo (dopo il 177 e prima del 210), felice, malvagio, palindromo in base 4 (2333₄), congruente.

Annalisa Santi con il suo “Fake news? La matematica le smaschera!” celebra la visionaria che vide oltre i numeri, considerando il fatto che Ada Lovelace previde che i progressi tecnologici avrebbero avuto un profondo impatto culturale e intellettuale sulla società, consapevole che il ruolo della tecnologia fosse profondamente intrecciato con i valori, le capacità e gli obiettivi sociali: tecnologia sempre più pregnante nell’informazione e che nasconde spesso fake news difficili da smascherare o generate dall’IA, che però la matematica ci aiuta a scoprire.

Passiamo ai Rudi Mathematici, che come sapete sono ospitati da MaddMaths! ma mantengono la loro autonomia. Ecco i loro contributi:

• I Classici, secondo noi [2 – Piotr] – Rudy ha deciso che siamo abbastanza vecchi da poterci permettere il lusso di dichiarare noi quali siano problemi classici e quali no. Così, ne abbiamo dovuto scegliere uno a testa tra quelli passati su RM, e finiscono sul blog. Il mese scorso c’era quello che scelto da Rudy, questo mese quello scelto da me, il mese prossimo ci sarà quello scelto da Alice. Questo qui parla di viaggi in treno, con tutti i passeggeri che sono molto diligenti nel pagare il biglietto, ma poco accorti nel sedersi nel posto di loro competenza.
• RM321, Ottobre 2025, è in linea – Quando stavamo sul blog di Le Scienze non mettevamo le Newsletter di accompagnamento all’uscita dei numeri di RM sul blog; ma da quando stiamo su MaddMaths! invece Alice ha deciso che sì, ce le mettiamo. Quello che decide Alice è legge.
• Giorni memorabili – Sempre sognato di vivere di rendita. O, perlomeno, di avere un minimo di pensione dopo quarant’anni e passa di lavoro. Dal punto di vista di RM, potrebbe assimilarsi a trovare qualcuno che scriva al posto nostro. Ebbene, questo mese ci è arrivata una pensione con tanto di tredicesima. BraMo logicar, ovvero Marco Broglia, ha mandato questo post. La fine di settembre 2025 ha visto alcune date numericamente molto interessanti…
• I Problemi di LeScienze – Settembre 2025 – Uno, nessuno, cento (alberi) – Una volta lo chiamavamo “post istituzionale”, anche perché il blog su Le Scienze doveva servire essenzialmente a pubblicarci le soluzioni dei problemi. Un po’ lo è ancora, perché abbiamo un posticino sul sito di LS per mettere una soluzione un po’ più lunga di quella che compare sul numero successivo del giornale cartaceo. Per lasciar liberi i lettori di commentare, linkiamo quella pagina sul blog di Maddmaths!. Il problema di questo mese è un problemino di matematica applicata all’economia di base (compro, rivendo, mi resta l’invenduto) e la cosa più originale è che parliamo di Natale a fine Settembre.

MaddMaths!, a parte lo spazio dei Rudi Mathematici, ha come sempre tantissime cose. Cominciamo con i post più generali.

• Archimede 3/2025: l’errore in matematica – Numero monografico di Archimede, curato da Francesca Gregorio e Roberto Natalini, dedicato all’errore in matematica. Un argomento fondamentale, in quanto è proprio il fatto di poter affermare con certezza che una certa cosa sia giusta o sbagliata, caratterizza e dà forza all’attività matematica, ma al tempo stesso è proprio la causa principale di tanti sentimenti negativi, paura e di ansia, che la caratterizza.
• Il ciclo di vita del prodotto: quando la matematica racconta il mercato – Di fronte a un mondo in continua evoluzione, il concetto di ciclo di vita del prodotto emerge come una delle chiavi interpretative del successo e dell’obsolescenza dei beni. Questo approccio ha ispirato lo sviluppo di modelli matematici capaci di descrivere l’andamento delle vendite attraverso funzioni che riproducono le diverse fasi evolutive. In questo articolo di Corrado Binetti vediamo come si applicano questi concetti a dei prodotti alimentari — un formaggio artigianale, un olio d’oliva e un dolce tradizionale — in cui tradizione, sostenibilità e interventi di rilancio si integrano per rinnovare continuamente il percorso di vendita.
• Rivoluzioni matematiche: i teoremi della dualità in programmazione lineare di Alice Raffaele – Con il numero di Ottobre di Le Scienze troverete in allegato il trentasettesimo dei volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato ai teoremi della dualità in programmazione lineare ed è stato scritto da Alice Raffaele.
• Cellulari in classe: vietare o accettare la sfida educativa? – Una riflessione di Domingo Paola, a partire da un’intervista rilasciata dal Ministro Giuseppe Valditara all’Avvenire in cui si parlava di cellulari in classe e uso dei social, sulla responsabilità educativa della scelta.

Seguono le rubriche:

• Torna Storie che contano, con un racconto a tema dei Rudi Mathematici: “Una passione analitica” In occasione dell’Ada Lovelace Day, viene proposto “Una passione analitica”, tratto dal loro libro Storie che contano, pubblicato da Codice Edizioni. Un racconto che intreccia matematica e storia.
• Per Radice di Pop di Massimo Martone: Dal feed al bidet: quando il cellulare diventa un problema. In questo nuovo episodio di Radice di Pop, la rubrica di Massimo Martone, affrontiamo un tema tanto quotidiano quanto delicato: le emorroidi. Può sembrare una barzelletta, ma non lo è! Alcuni ricercatori si sono infatti chiesti: usare lo smartphone in bagno aumenta davvero il rischio di sviluppare problemi come le emorroidi? Dopotutto, cosa c’è di più pop del guardare una serie, leggere un fumetto o giocare sul telefono… proprio mentre si è in bagno?
• Per La Lente Matematica di Marco Menale:
  • Procrastinare: l’arte di “lo faccio domani”. Quante volte avete detto “lo faccio domani”? E “se ne parla a settembre”? Che poi settembre arriva e passa pure. È l’arte di procrastinare. Un modello matematico sviluppato dal Premio Nobel Akerlof spiega perché rimandiamo un compito e quando cominciano i guai.
  • Salsa vinaigrette: la ricetta matematica La ricetta per una perfetta vinaigrette? Risponde la matematica! Tra olio, aceto, legge di Stokes separazioni di fase il segreto è nella…Senape!
• Per le News di Stefano Pisani:
  • La stangata matematica: chi “gonfia” le proprie citazioni? Nel novembre 2023, Clarivate – una multinazionale che gestisce strumenti fondamentali per la valutazione della ricerca, come la banca dati Web of Science e il Journal Impact Factor – ha annunciato una decisione clamorosa: l’esclusione dell’intero settore della matematica dalla sua lista degli Highly Cited Researchers. Nei giorni scorsi sono usciti due documenti delle maggiori associazioni matematiche internazionali che cercano di fare chiarezza sulla situazione di queste pubblicazioni fraudolente in matematica, fornendo anche delle linee guida per la comunità scientifica. Vediamo di cosa si tratta.
  • I nodi della teoria dei nodi vengono al pettine: smentita una congettura che resisteva da un secolo. Una congettura di Teoria dei Nodi che resisteva da circa un secolo è stata dimostrata non vera.
  • Le risorse naturali gestite secondo la teoria dei giochi. Come può la teoria dei giochi aiutare a gestire risorse naturali in via di esaurimento?
• Infine per il mio Diario di un matematico non praticante:
  • Come spiegare le dimostrazioni alle AI? Tim Gowers ha lanciato un progetto collaborativo per insegnare la matematica agli LLM.
  • La gioia delle dimostrazioni Vi siete mai chiesti cosa c’è di bello per un matematico nel trovare una dimostrazione?

Mauro Merlotti ha un contributo non a tema ma coglie l’occasione per rispolverare due vecchi post dove si racconta di scienziate che non hanno ricevuto il meritato riconoscimento.

• Zibaldone Scientifico: 277. Partizioni – come fare partizioni di un cerchio, in modo alternativo, dove almeno la metà di queste partizioni sono cerchi il cui diametro è contenuto un numero intero di volte nel diametro del cerchio principale.
• Zibaldone Scientifico: 11. Emmy Noether – Simmetrie – Emmy Noether è nota per l’omonimo teorema che formula la profonda connessione tra simmetrie e leggi di conservazione.
• Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA – Rosalind Franklin è invece nota per il fondamentale contributo alla scoperta della doppia elica del DNA.

Daniela Molinari scrive appunto di Ada and Friends. L’anno scorso, in occasione di un incontro con l’autore a scuola (si trattava di Alessandro Barbaglia autore di L’invenzione di Eva) Daniela ha realizzato un percorso per i suoi studenti che aveva intitolato “Hedy Lamarr e le altre”. Ha quindi scelto di mettere al centro Ada e raccontare la mia lezione, elencando anche le letture disponibili sull’argomento: propone libri illustrati per bambini, fumetti, biografie, romanzi e saggi. Qua e là qualche riflessione su come gli uomini percepiscono le donne.

Anche Gianluigi Filippelli ha molto materiale.

• Si inizia con la doppia rubrica dei Paralipomeni e dei Rompicapi di Alice.
  In questo periodo, infatti, sta pubblicando i rompicapi tratti da A tangled tale di Lewis Carroll nella rubrica dei Rompicapi e le soluzioni in quella dei Paralipomeni, a volte rielaborate rispetto a quelle originali, come nel caso della soluzione del nodo 3 Un giro sul treno. Inoltre, piuttosto recente, ecco il rompicapo tratto dal nodo 4: Una storia di sacchi e libbre , un classico all’interno della matematica ricreativa.
  Ovviamente l’invito a tutti i lettori del Carnevale è di provare a risolvere il rompicapo!
• Questo mese Gianluigi ha pubblicato molti post e articoli a tema astronomico e Universo neurale, grazie a un video dedicato sul tema delle reti neurali in astronomia, è uno dei pochi che si interseca con la matematica.
• Sempre in qualche modo a tema astronomico ecco L’amplituedro e la cosmologia , ovvero un nuovo approccio geometrico alla meccanica quantistica che potrebbe influenzare anche la cosmologia.
• Infine, visto che è stata da poco la settimana dei premi Nobel, racconta i premi Nobel per la fisica 2025 con Un effetto tunnel da Nobel.
• L’ultimissimo contributo è, invece, la recensione su EduINAF del libro di Giorgio Parisi In un volo di storni, che forse non è un libro esattamente di matematica, ma quest’ultima è comunque presente all’interno.

Infine tocca a me, che scrivo sempre troppo.

• I quizzini:
  • Tutti primi: leggete attentamente il testo prima di rispondere!
  • Area di un triangolo. Vladimir Arnol’d diceva che gli studenti americani lo risolvevano facilmente e quelli russi no. Voi?
  • Punti a coppie. Riuscite a scambiare di ordine un coppia?
  • Distanze stradali. Non dovete risolvere il problema del commesso viaggiatore, tranquilli!
  • Solo un tratto. È uno di quei problemi da non prendere sul serio.
• Il mercoledì matematico:
  • Come generare punti casuali dentro un triangolo. L’algoritmo banale che viene in mente non è casuale…
  • La Funzione 91 di McCarthy: una funzione ricorsiva in modo non lineare con un comportamento peculiare.
  • Base Fibonacci, insieme di Shevelev e congettura di Kimberling: una curiosa proprietà delle potenze di φ.
  • Kvick Sört. Un sito con alcuni algoritmi informatici scritti come fossero istruzioni di un manuale IKEA.
• I post del lunedì IA con contenuto matematico:
  • Come far sbagliare (a volte) un LLM: alcuni prompt “out of distribution” mandano in tilt gli LLM.
  • Stanno davvero arrivando le IA “intelligenti”? A quanto pare, OpenAI è riuscita a trovare un modo per usare gli LLM come biechi manovali.
  • Un po’ di fuffa sull’IA in matematica. L’hype sull’intelligenza artificiale tocca anche la matematica,
• Varie:
  • Una data numericamente particolare.
  • In trent’anni i computer si sono velocizzati parecchio.
  • Come è stato scoperto il Pentium Bug (ma Intel lo sapeva già)

La prossima edizione del Carnevale sarà ospitata da MaddMaths!: accorrete numerosi!