747 – algebra
L’equazione (x+3)(x+5)(x+7)(x+9) = 9 ha evidentemente quattro soluzioni tra i numeri complessi. Trovatene almeno una.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p747.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Twitter, dove si dice che è stato usato nei test di ammissione ad Harvard)
Sappiamo ormai tutti che Robert Prevost, papa Leone XIV, ha una laurea triennale in matematica presa prima di iniziare la sua carriera ecclesiastica. In questi giorni sono apparsi alcuni post – io l’ho visto per la prima volta su Language Log, che poi ha corretto; in italiano trovate la notizia qui – secondo cui il papa aveva scritto prima un articolo e poi addirittura un libro sulla probabilità e il teismo.
Il tutto è troppo bello per essere vero, e infatti vero non è. O meglio: è vero che un Robert Prevost ha scritto articolo e libro. Però l’affiliazione all’oxoniano Oriel College non mi tornava, così ho sfruttato i potenti mezzi di internet e ho recuperato il testo del libro, dove nei ringraziamenti si legge
I would like to thank especially my parents, Dr and Mrs R. W. Prevost, Jr., whose support and encouragement made this essay possible.
Il padre del papa si chiamava Louis Marius Prevost, non “R. W.”: insomma si tratta di un caso di omonomia. Possiamo al più chiederci quali fossero le probabilità a priori e a posteriori che due persone si chiamino allo stesso modo e abbiano entrambe gli stessi interessi (religione e matematica, un binomio non proprio comunissimo). Così ad occhio la coincidenza è davvero incredibile; ma magari il fatto che di cognome facciano “Prevost” ha aiutato :-)
(oh, se Corriere o Repubblica usciranno con la “notizia” del libro scritto dal papa, i miei ventun lettori avranno un vantaggio competitivo!)
[Disclaimer: Ho ricevuto il libro grazie al programma Early Reviewer di LibraryThing]
Questo libro è stato un finalista per il Prism Prize for Climate Literature: è facile immaginare di cosa tratta. Weed riesce a raffigurare in modo molto vivido un’umanità che sta per estinguersi: questa parte del libro è ottima. Ho invece trovato meno interessante l’altra parte che si inframmezza, dove si parla di un uomo mandato 10000 anni nel futuro per vedere se la razza umana era riuscita in un modo o nell’altro a sopravvivere, e aiutarli a non commettere gli errori del passato. D’accordo, non è semplice immaginare come il nostro pianeta potrebbe essersi trasformato se l’uomo per dieci millenni non è stato una presenza ingombrante, ma non mi sembra che il testo sia stato all’altezza delle aspettative. Tutto sommato, però, il libro è comunque godibile.
Tim Weed, The Afterlife Project, Podium 2025, pag. 256, € 7,38, ISBN 978-1-0394-8045-2 (cartaceo) – come Affiliato Amazon, se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me
Voto: 4/5
Stanotte mi è arrivato un messaggio da un utente (evidentemente fasullo, il nome è “Private Private”) pvt2011ab su hotmail, con titolo “choreographed”, che diceva
Good day,
Could the corporate actually work well-choreographed performance of looking busy?
Thank you
Philip
Ho trovato su Reddit la frase “well-choreographed performance of looking busy”, ma nulla più. Il messaggio pare effettivamente essere spedito da hotmail: non ho idea se esistano API per spammare in giro collegandosi offline a hotmail, ma la cosa mi parrebbe strana, non foss’altro che perché ci sarà bene una limitazione sul flooding. QUesto tipo di messaggi dovrebbe nascere per selezionare i grulli che rispondono all’esca, ma per farlo occorrono grandi numeri che appunto non dovrebbero esserci. Idee al riguardo?
Quando alla quarta votazione è uscita una fumata bianca, ho pensato che a essere eletto fosse Parolin: un ottimo candidato di compromesso, anche se come avevano fatto notare in molti non è mai stato nemmeno parroco. (Montini era stato mandato apposta a Milano per studiare da pastore di anime, tanto per dire; e Ratzinger, prima della carriera curiale, era stato vescovo di Monaco e Frisinga). Come praticamente sempre, mi ero clamorosamente sbagliato.
Robert Francis Prevost era nella seconda linea dei papabili: il NYT ne aveva parlato per esempio la settimana scorsa. È sicuramente un cosmopolita: padre franco-italiano, madre spagnola, nato a Chicago ma con lunghi trascorsi in Perù, nella quasi omonima piccola diocesi di Chiclayo. Ha anche un B.Sc. in matematica: credo sia il primo papa matematico da un millennio e spiccioli, quando Gerberto di Aurillac salì al soglio pontificio con il nome di Silvestro II. Le battute si sprecano, da “Evidentemente conosceva bene i cardinali” a “This guy doesn’t just understand sin. He understands cos.”
Che papa sarà? Come ho detto all’inizio, io sono bravissimo a fare previsioni sbagliate. Posso però immaginare che la scelta del nome Leone XIV si rifaccia a Leone XIII, che da un lato aprì la chiesa al mondo ma dall’altro fu un attentissimo difensore della dottrina. Seguirà insomma la strada di Bergoglio riguardo a poveri e migranti, come del resto faceva già prima, ma non vedremo modifiche dottrinali. Non che le abbiamo viste con Francesco, che in effetti faceva più che altro proclami; ma almeno nel suo caso lasciava che i preti sul territorio facessero quello che hanno sempre fatto, cioè accogliere i fedeli senza fanfare né da una parte né dall’altra. Qui invece mi aspetto prese di posizione più nette e sicuramente più pensate. Ah: lo so che non c’è la certezza che l’account @drprevost sia effettivamente suo: ma se non lo fosse ci sarebbe un complotto che dura da vari anni, il che sarebbe piuttosto incredibile.
Che ci siano voci del suo insabbiamento di abusi sessuali da parte di sacerdoti della sua diocesi non mi stupisce: forse l’unico cardinale per cui non ci possono essere di quelle voci è appunto Parolin, banalmente perché non ha mai avuto nemmeno una parrocchia. Vedo che la Nuova Bussola Quotidiana aveva molto pompato questi casi, il che mi fa pensare che sarà un conservatore di quelli odiati dagli ultraconservatori, che hanno meno appigli per screditarlo. Ma anche qui vedremo che succede: spesso il papato cambia completamente le persone. D’altra parte, se uno si dice cattolico deve obbedire al papa.
Un ultima cosa: questo conclave ha mostrato che ormai l’Italia (ma oserei dire l’Europa tutta) non avrà più un papa per lungo tempo, il che probabilmente ha anche senso, visto che il baricentro del cattolicesimo non è più qua.
Ieri si è parlato molto di una lettera spedita dal dipartimento federale americano per l’educazione (ma non doveva essere smantellato?) all’Harvard University nella quale Linda McMahon dice al rettore dell’università che non riceverà più fondi federali fino a che non seguirà le nuove regole trumpiane. Se ne è parlato non tanto per il contenuto della lettera, quanto perché sono apparse delle versioni, ufficiosamente fatta partire da Harvard, dove la lettera è stata commentata… indicando tutti gli errori grammaticali in essa presenti. In figura vedete la prima pagina.
Vero o falso? La lettera è indubbiamente stata inviata e il contenuto è quello svarioni compresi, a meno che qualcuno abbia bucato l’account Twitter di McMahon e fatto fessi anche quelli di Fox News. Potrebbe essere possibile che le correzioni arrivino ufficiosamente da Harvard – non sono così stupidi da pubblicizzare un atto del genere, quindi nel sito dell’università non si trova molto – ma la mia ipotesi è che le correzioni siano state fatte da qualcuno in rete e lanciate come una specie di meme. Il risultato non cambia molto, del resto: stiamo sempre parlando di un funzionario del dipartimento dell’educazione (per essere buoni e non pensare che sia farina del sacco di McMahon, anche se sarei pronto a scommettere a favore di questa ipotesi) che non è in grado di scrivere in un inglese formalmente (e non solo: “systemic” al posto di “systematic” è proprio un errore) corretto. Nulla di così strano, purtroppo, e non credo che a chi ha votato Trump la cosa importi più di tanto, anzi.
Quello che mi preoccupa è invece che Harvard abbia dovuto creare un corso di recupero di matematica (“remedial math course”) perché troppe matricole non sapevano nulla, nemmeno rispetto alle lasche richieste dei college americani. Fox ovviamente la butta in politica, ma anche in questo caso io credo che non sia tanto importante il perché, quanto il fatto che qualcosa del genere sia necessario. La china sta diventando sempre peggiore.
Prendiamo un foglio a quadretti, e consideriamo i vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera più seria: nel seguito parlerò di punti a coordinate intere o punti del lattice.) Disegniamo ora sul foglio un cerchio. Secondo voi, il teorema “dato un numero $n$, è sempre possibile costruire un cerchio che contiene al suo interno esattamente $n$ punti a coordinate intere” è vero o falso? (Possiamo accettare o no i punti a coordinate intere sulla circonferenza, tanto è sempre possibile allargare il raggio di un $\varepsilon$ abbastanza piccolo da non toccare nessun altro punto a coordinate intere). In questo caso la dimostrazione è relativamente semplice: se troviamo un punto del piano che abbia distanza diversa da tutti i punti del lattice, possiamo costruire un cerchio di centro quel punto, e al crescere del raggio il numero di punti ivi contenuti crescerà di una singola unità per volta. Un punto simile è $P = (\sqrt 2, \frac{1}{3})$.
Come dimostrarlo? Supponiamo per assurdo che i punti distinti del lattice di coordinate $(a,b)$ e $(c,d)$ siano alla stessa distanza da $P$. Abbiamo allora per definizione
$(a-\sqrt 2)^2 + (b-\frac{1}{3})^2 = (c-\sqrt 2)^2 + (d-\frac{1}{3})^2$
Separando la parte irrazionale da quella razionale otteniamo
$2(c-a)\sqrt 2 = c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d)$
Poiché il secondo membro è un numero razionale, anche il primo deve esserlo; pertanto devono essere entrambi uguali a zero. Abbiamo così
$c=a; c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d) = 0.$
Sostituendo la prima uguaglianza nella seconda, abbiamo $d^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d) = 0$, cioè
$(d-b)(d+b-\frac{2}{3}) = 0.$
Ma $b$ e $d$ sono interi, quindi il secondo fattore non può essere nullo; pertanto $d=b$. Ma allora i due punti $(a,b)$ e $(c,d)$ coincidono, il che va contro la nostra ipotesi. Pare che Hugo Steinhaus sia anche riuscito a dimostrare che è possibile trovare un cerchio di area $n$ che contiene esattamente $n$ punti a coordinate intere, ma non sono riuscito a trovare traccia di questa dimostrazione.
Passiamo ora a un problema più complicato, considerando non il cerchio ma solo la circonferenza appena costruita. È possibile che questa circonferenza non passi per nessuno dei vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera più seria). Ma a volte capita che alcuni dei punti della circonferenza abbiano coordinate intere. Per esempio, la circonferenza $x^2 + y^2 = 25$, cioè di centro l’origine e raggio 5, passa per i punti $(-5,0), (5,0), (0,-5), (0,5), (-3,-4), (-3,4), (3,-4), (3,4)$. La domanda che ora possiamo farci è “ma dato un numero $n$, riusciamo a costruire una circonferenza che passi per esattamente $n$ punti di coordinate intere?”
Se $n=1$ trovare una circonferenza simile è semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\frac{1}{4})$ e raggio \frac{1}{4}. Se $n=2$ è altrettanto semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\frac{1}{2})$ e raggio \frac{1}{2}. In figura vedete una possibile soluzione per il caso $n=4$. Ma provate a risolvere il caso $n=3$… Una dimostrazione del teorema si è avuta solo nel 1958, a opera del matematico polacco Andrzej Schinzel, e ha il pregio di essere costruttiva: se $n$ è pari e quindi $n = 2k$ allora la circonferenza cercata ha centro $(\frac{1}{2}, 0)$ e raggio $\frac{1}{2} \cdot 5^{(k-1)/2}$, mentre se $n$ è dispari e quindi $n = 2k+1$ la circonferenza ha centro $(\frac{1}{3}, 0)$ e raggio $\frac{1}{2} \cdot 5^k$.
Non scrivo la dimostrazione, che è piuttosto lunga (e la pagina di Wikipedia è troppo stringata per capirci qualcosa, tra l’altro): posso però dire che si basa su un teorema di teoria dei numeri, che non dimostrerò, che afferma che il numero $r(n)$ di soluzioni intere $(x,y)$ dell’equazione $x^2 + y^2 = n$ è quattro volte la differenza tra il numero di divisori di $n$ della forma $4h+1$ e quelli della forma $4h+3$: il numero in realtà è da dividere per due perché si contano sia $(x,y)$ che $(y,x)$.
Dopo il concerto del mese scorso torno a cantare, stavolta col coro della Chiesa protestante di Milano. Il programma è abbastanza ridotto, senza orchestra ma solo con l’organo – il che significa che non mi vedrete, perché canteremo presso l’organo. A parte un brano vivaldiano per soprano e organo ci sarà una sonata per organo e un requiem, entrambi di Josef Rheinberger.
Confesso di non aver mai sentito nominare Rheinberger fino a che non abbiamo cominciato a studiare il requiem. È un tardo ottocentesco (morto nel 1901), ma la sua musica si diparte abbastanza da quella dei suoi contemporanei. Non è proprio classico, mi trovo intervalli di settima minore che non ero abituato a cantare: però una volta che siamo riusciti a capire come cantarlo devo dire che l’ho apprezzato molto.
Per i milanesi che vogliono passare a sentire il concerto, la chiesa protestante è in via Marco De Marchi (M3 Turati): la data è domenica 11 maggio alle 20.30.