È ovvio che se prendiamo un polinomio in una variabile x a coefficienti interi, come 3x³+14x²+15x+10, e assegniamo a x un valore intero otteniamo un risultato intero. Ma è vero anche il viceversa? In altri termini: se abbiamo un polinomio in x che ha un valore intero per un qualunque valore intero assegnato a x, possiamo dedurre che quel polinomio è a coefficienti interi?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p481.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di David Butler.)

Un numero è composto da tre cifre diverse, nessuna uguale a zero. Esso è uguale alla media aritmetica dei sei numeri che si ottengono permutando l’ordine delle sue cifre; inoltre è il più grande con questa caratteristica. Qual è il numero in questione?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p480.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Prisma, settembre 2020.)

È possibile disporre in fila i numeri da 1 a 9 in modo che la somma di qualunque coppia vicina sia un numero primo?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p479.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Matt Parker.)

Grandi novità al Circolo Backgammon “Pierre and Blaise”. Il classico torneo annuale a eliminazione diretta è stato modificato, dopo che molti giocatori si sono lamentati perché non era giusto che la sorte nel lancio dei dadi fosse così importante. Così quest’anno bisognerà perdere due partite per essere eliminati. (Ricordo che nel backgammon non è possibile il pareggio.) Il torneo si svolgerà sempre facendo incontrare contemporaneamente tutti i giocatori non eliminati, accoppiandoli a caso: se il numero fosse dispari, un giocatore salterà il turno. Il torneo si allungherà, visto che dopo il primo turno nessun giocatore può essere eliminato, ma non di troppo. Gli iscritti sono 33: sapete dire qual è il numero minimo e quello massimo di partite che dovranno essere giocate?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p478.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Gifted Mathematics; immagine di Danny Allen, da FreeSVG.)

Il teorema dei quattro colori afferma che sono sempre sufficienti quattro colori per colorare una mappa (di regioni connesse, che non si tocchino solo in un numero finito di punti) senza che due regioni vicine abbiano lo stesso colore. La dimostrazione è molto pesante, tanto che è stato necessario usare un computer per testare un migliaio di “configurazioni di base” a cui si può ridurre qualunque mappa e mostrare che erano tutte colorabili. Immaginiamo ora di avere un insieme di cerchi, tutti dello stesso raggio, che si toccano tra di loro come in figura. Parrebbe che in questo caso bastino tre colori per evitare che due cerchi che si tocchino abbiano lo stesso colore, come si vede nell’esempio qui sotto. Ma non è così: esistono esempi dove sono necessari quattro colori. Ne riuscite a trovare uno?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p477.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Gifted Mathematics.)

Ultimo aggiornamento: 2020-10-05 13:16

La storia del piccolo Gauss che sommò in un attimo i numeri da 1 a 100 è ben nota a tutti. Ma forse non sapete che il maestro, piuttosto arrabbiato perché aveva dato quel compito per starsene un po’ tranquillo e il ragazzino gliel’aveva impedito, diede un altro compito a Carl Friedrich. “Bene, immagina ora che ciascuno di quei numeri possa essere positivo o negativo: abbiamo insomma ±1 ±2 ±3 … ±99 ±100. Quante sono le somme diverse che si possono ottenere, scegliendo opportunamente i segni più e meno?” Mal gliene incolse: Gauss rispose senza nemmeno tornare al banco. Quante sono queste somme?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p476.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 10.1.)

Prendete quattro numeri interi positivi distinti a, b, c e d e moltiplicate tra di loro tutte le sei possibili differenze ottenute scegliendone due (prendendo il valore assoluto, giusto per non avere numeri negativi). Qual è il più grande fattore per cui quel numero è sicuramente divisibile?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p470.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 8.2.)

In un torneo di pallanuoto tra quattro squadre tutte le partite hanno avuto lo stesso numero complessivo di gol, ma non ci sono stati due punteggi uguali. La classifica finale (si assegnano 2 punti alla vittoria, 1 al pareggio, 0 alla sconfitta) è stata quella indicata qui sotto. Quali sono stati i risultati, sapendo che Verde non ha mai segnato un numero pari di reti e il cannoniere di Blu ha segnato una tripletta in ogni partita?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p469.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 5.3.)