Quizzino della domenica: primi vicini

È possibile disporre in fila i numeri da 1 a 9 in modo che la somma di qualunque coppia vicina sia un numero primo?


da 1 a 9
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p479.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Matt Parker.)


16 comments

  1. Devo dire che non ho letto subito l’aiutino.

    Quello che salta all’occhio è che il 7 si può accostare solo al 4 e al 6, mentre per tutti gli altri, quest’ultimi compresi, c’è più scelta.

    Continuando così, ho trovato una serie che inizia con 3, 8, 9 e finisce con 1, 2, 5; ma poi ho letto l’aiutino e non sono più sicuro di nulla…

    :-)

  2. A me viene 123476589, considerando che
    – ogni coppia deve contenere un numero pari e uno dispari
    – le coppie che non hanno un numero primo per somma sono (1, 8) (3, 6) (5, 4) (7, 2) (7, 8) (9, 6)
    – l’aiutino fissa gli estremi
    – la sequenza iniziale va quasi bene

    Mi viene il dubbio di non avere capito il quizzino pero’.

  3. Non ho letto l’aiuto, ma anche a me viene la sequenza 123476589, che dà come somma di vicini 3,5,7,11,13,11,13,17

  4. Ammesso di aver capito il problema …
    Ragionando sono solo arrivato al fatto che pari e dispari devono alternarsi in modo da avere una sequenza DPDPDPDPD.
    E mi sono fermato li’.
    A questo punto ho provato a farli cercare al PC e lui ha trovato 140 soluzioni.
    Chissa’ se e’ giusto ?

  5. Corollario: dalla necessità di alternanza Pari/Dispari, deriva che non è possibile disporre una qualunque serie di 9 numeri diversi in cerchio, col vincolo della somma “prima” tra vicini. Il primo e il nono termine sono per forza DD o PP, e la loro somma è pertanto obbligatoriamente pari. Lemma: se i numeri possono essere ripetuti, una coppia di “1” ci può invece stare

    • potremmo aggiungere lo zero e acere un circolo di 10
      :-)

  6. forse meglio un 10. Introdurre uno zero potrebbe avere conseguenze terribili sulla definizione dello zero come numero pari…;-)

  7. e volendo metterli in un quadrato 3×3, con adiacenza non in diagonale, c’è soluzione?

        • Ho solo provato col PC, non so quanto valga come dimostrazione.
          Poi ovviamente posso aver sbagliato io il programmino.

        • No, ripensandoci mi sembra facilmente dimostrabile. :)

          Per avere somme dispari i numeri pari e quelli dispari vanno disposti come bianchi e neri sulla scacchiera.
          Quindi nel centro c’e’ un numero dispari.
          I quattro numeri adiacenti (alla casella centrale) sono i quattro numeri pari, cioe’ 2, 4, 6, 8.
          Quindi il numero dispari centrale, sommato a questi quattro numeri pari, genera 4 numeri dispari consecutivi.
          E non esiste una sequenza di 4 numeri dispari consecutivi che siano tutti primi.
          Se non sbaglio, dopo la sequenza 3, 5, 7 esistono solo coppie di primi consecutivi, credo che queste coppie siano dette ‘primi gemelli’.

          • (solo una puntualizzazione: dopo quella banale non esistono sequenze di tre numeri dispari primi consecutivi perché uno di essi deve essere necessariamente multiplo di 3)