Qui a fianco vedete lo sviluppo di tre dadi non standard, nel senso che non hanno tutti i numeri da 1 a 6. Cosa c’è di interessante in questi dadi? Semplice. Immaginate di dire a un vostro (ancora per poco…) amico “scegli un dado qualunque, e io poi ne scelgo un altro. Poi lanciamo il nostro dado per 10 volte, e chi ha ottenuto il punteggio più basso per il maggior numero di volte pagherà la cena per entrambi”. Vediamo che succede.

Se l’amico ha scelto A, noi scegliamo C. In due casi su sei (se io faccio 6) vinco sicuramente; negli altri quattro casi vinco una volta su 3 (se lui fa 1). Probabilità di mia vittoria: 2/6 + (1/3)(4/6) = 5/9.

Se l’amico ha scelto B, noi scegliamo A. In quattro casi su 6 (se io faccio 5) vinco cinque volte su sei (lui non deve fare 6); negli altri due casi perdo. Probabilità di mia vittoria: (4/6)(5/6) = 5/9.

Se l’amico ha scelto C, noi scegliamo B. In un caso su sei (se io faccio 6) vinco quattro volte su sei e pareggio le altre due; in tre casi su sei (se io faccio 4) vinco quattro volte su sei e pareggio le altre due; nei restanti due casi vinco due volte su 6, pareggio due volte e perdo due volte. Probabilità di mia vittoria: (1/6)(4/6) + (3/6)(4/6) + (2/6)(2/6) = 5/9. (E a volte pareggio comunque!)

Dadi di questo tipo si chiamano non transitivi, perché non è possibile creare un ordine transitivo di valore tra i dadi.

È interessante notare che se invece che avere dadi a sei facce (tanto, ormai…) li prendiamo con F_m facce, dove F_m è un numero di Fibonacci, e chiamiamo $Pr(A\gt B)$ la probabilità che il dado A vinca sul dado B, possiamo trovare una configurazione di punti per cui
$Pr(A\gt B) = Pr(B\gt C) = F_{m-1}/F_m$
e
$Pr(C\gt A) = F_{m-1}/F_m \pm 1/F_m^2.$
Il “più o meno” nell’ultima espressione dovrebbe subito farvi venire in mente il rapporto aureo φ, e infatti si può anche dimostrare che la minima di queste tre probabilità deve essere minore di 1/φ, che è il risultato asintotico migliore.

Il risultato è indubbiamente carino, perché poco intuitivo: ma si può persino fare di meglio, come vedremo la prossima settimana!

Aggiornamento: 22:00) Carlo Mannucci ha stampato in 3D i dadi. Chi è interessato può trovare lo schema qui.

La scorsa settimana ho detto quali dimostrazioni sono considerate in genere dai matematici “non eleganti”, aggiungendo che la comunità matematica è abbastanza d’accordo. Quando però bisogna definire cosa rende elegante una dimostrazione, le cose si fanno più difficili. Certo, Paul Erdős affermava che Dio (anzi, il Supremo Fascista) aveva un libro con tutte le dimostrazioni eleganti, e che a volte un matematico riusciva a darci un’occhiata; ma questo non significa molto. Alla fine ho deciso di provare a spiegare quali tipi di dimostrazione sono eleganti per me: almeno potrete commentare sui miei pessimi gusti.

(a) Una dimostrazione elegante è spesso minimale, nel senso che non c’è bisogno di avere una serie di lemmi oppure usare teoremi molto complessi per arrivare alla soluzione. Ecco un esempio di dimostrazione minimale ma non certo elegante:

Dimostrare che $\sqrt[3]{2}$ è irrazionale.
Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che $\sqrt[3]{2} = p/q$ con $p,q$ interi positivi. Elevando al cubo e moltiplicando per $q^3$ otteniamo $q^3 + q^3 = p^3$, che è falso per l’Ultimo Teorema di Fermat.

(la dimostrazione standard è uguale a quella che mostra che $\sqrt{2}$ è irrazionale; dal mio punto di vista è elegante)

(b) Una dimostrazione che cambia le carte in tavola è elegante. Prendiamo per esempio il Teorema di Desargues, che afferma che se in un piano due triangoli sono in prospettiva, cioè le rette che uniscono le coppie di vertici corrispondenti si incontrano in un punto, allora i prolungamenti dei lati corrispondenti si incontrano in tre punti che sono allineati. Il metodo più semplice di dimostrarlo è passare alla terza dimensione; per due triangoli nello spazio la proprietà è facile da dimostrare, e quindi basta aggiungere un triangolo ausiliario fuori dal piano e applicare due volte il teorema nello spazio.

(c) Una dimostrazione che usa un campo della matematica diverso da quello in cui il problema è posto per semplificare il risultato è elegante. Prendiamo per esempio la formula del quadrato del binomio: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Possiamo fare una “dimostrazione senza parole” (altra caratteristica di una dimostrazione elegante) in questo modo:

(d) Una dimostrazione che usa tecniche standard in modo non standard è elegante. Un esempio è questa dimostrazione dovuta a Cauchy:

Dati $n$ numeri reali positivi, la loro media geometrica $\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ è minore o uguale alla loro media aritmetica $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$.
Dimostrazione: per induzione. Innanzitutto eleviamo alla potenza n-sima i due valori, ottenendo $\prod_{k=1}^{n}a_k$ e $\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{n}\right)^n$. Per $n = 2$ abbiamo che $a_1 a_2 \leq (a_1 + a_2)/2$ è equivalente a $(a_1 – a_2)^2 \geq 0$, banalmente vero. Ora, invece che dimostrare che se la proprietà vale per $n$ allora vale per $n+1$, dimostriamo (1) che se vale per $n$ allora vale per $2n$, e (2) che se vale per $n$ allora vale per $n-1$.
Per (1), $\prod_{k=1}^{2n}a_k = \left(\prod_{k=1}^{2}a_k\right)\left(\prod_{k=n+1}^{2n}a_k\right) \leq $ (per ipotesi induttiva) $\left(\sum_{k=1}^{2}a_k\right)\left(\prod_{k=n+1}^{2n}a_k\right) \leq \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{n}\right)^n \left(\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{a_k}{n}\right)^n \leq $ (per il caso n=2 ) $ \left(\frac{\sum_{k=1}^{2n}\frac{a_k}{n}}{2}\right)^{2n} $ = $\left(\frac{\sum_{k=1}^{2n}{a_k}}{2n}\right)^{2n} $.
Per (2), se $A = \sum_{k=1}{n-1}\frac{a_k}{n-1}$ (cioè la media aritmetica dei primi $n-1$ numeri), abbiamo $\left(\prod_{k=1}{n-1}a_k\right)A \leq $ (per ipotesi induttiva) $ \left( \frac{\sum_{k=1}^{n-1}a_k + A}{n}\right)^n = \left(\frac{(n-1)A+A}{n}\right)^n = A^n$, da cui $ \prod_{k=1}^{n-1}a_k \leq A^{n-1}$, che è la nostra tesi.

Dite quello che volete, ma l’induzione all’indietro è un bel gambetto!

In generale concordo insomma con quanto scritto da Giovanni nei commenti al post precedente: credo che perché una dimostrazione si possa considerare elegante la semplicità gioca un ruolo minore rispetto alla creatività, o se preferite alla sorpresa di vedere arrivare la soluzione in una maniera inaspettata. Controprova: una dimostrazione che segua pedissequamente la strada più diretta, come ne si trova quando si sta studiando, non è sicuramente elegante. Voi che ne pensate?