Non credo nessuno abbia mai imparato a memoria la tabellina del 13. Non che uno ne veda la necessità, a dire il vero: già quella del 12 secondo me è un’esagerazione. Ad ogni modo, questa tabellina ha una proprietà piuttosto strana. I suoi primi termini sono 13, 26, 39, 52: saltiamo insomma il 4 come cifra iniziale. Certo, prima o poi un multiplo di 13 dovrà ben cominciare con 4: tra 399 e 500 ce ne saranno parecchi. Ma dobbiamo appunto arrivare fino a 400, e quindi arrivare oltre 13×30 = 390. (In effetti 13×31 = 403)
Qualche anno fa Christian Lawson-Perfect provò a generalizzare questo risultato: in fin dei conti il 4 non ha nulla di particolare come numero. Lawson-Perfect si chiese dunque quale fosse, dato un numero n, il più piccolo k per cui l’insieme delle prime cifre dei numeri n×1, n×2, …, n×k comprendesse tutte le cifre da 1 a 9. La tabella risultante è mostrata qui sotto:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k(n) 9 45 27 23 18 15 13 12 9 9 9 42 62
Evidentemente il valore di k(n) non può mai essere inferiore a 9, sennò non possiamo avere tutte le cifre iniziali: è un po’ meno evidente che k(n) non sia mai superiore a 81. Credo che se avessi un po’ di tempo a disposizione potrei dimostrarlo, anche senza verificare quanto scritto nell’articolo di The Aperiodical da cui ho tratto queste informazioni. Vediamo che anche il 2 è piuttosto sfortunato, ma potevamo aspettarcelo perché arrivare a 90 a due a due è lungo; il 13 comunque lo supera di parecchio, per arrivare a un multiplo che cominci per 8. La figura qui sotto, una gif animata presa dall’articolo citato e che mappa il valore di k(n) per n che va da 1 a una potenza di 10, mostra che la struttura è abbastanza autosimilare.
Per i curiosi, il primo numero per cui occorrono i suoi primi 81 multipli per avere tutte e 9 le possibili cifre iniziali è 112, e in genere ceil(10i/9) richiede 81 multipli per tutti gli i maggiori o uguali a 3. Questo è facile da dimostrare: volete cimentarvi?
La matematica è reale? Per un platonista come me sì, ma non è questo il punto. La vera domanda è “la matematica ci permette di capire il mondo?” La risposta parrebbe essere positiva, ma a ben pensarci non è del tutto così. Diciamo che la matematica ci aiuta a comprendere la realtà, e la realtà ci costringe a inventarci nuova matematica per cercare di capirla. La cosa più interessante, che Marco Menale ci racconta in questo volume, è che non solo il pensiero di matematica come studio di modelli del mondo è relativamente recente (no, non parlo di Galileo, è ancora successivo!) ma sta anche cambiando negli ultimi tempi, sia per una concezione filosofica diversa che per la possibilità di avere a disposizione molti più dati.
Che cos’è un agente intelligente? Bella domanda. La definizione che si ha in matematica è un sistema – non necessariamente un essere umano, potrebbe anche essere un software – che può compiere azioni autonome per raggiungere i suoi scopi. Potremmo dire che un software non può compiere azioni autonome, ma qualche filosofo potrebbe anche affermare che nemmeno noi siamo davvero dotati di libero arbitrio, quindi siamo punto e daccapo. La parte più interessante, e quella che Pierluigi Vellucci tratta in questo volume, sono però appunto gli agenti umani. Sembra incredibile, ma si può formalizzare matematicamente concetti come quello di echo chamber, e vedere che sotto assunti assolutamente naturali essi sono il risultato inevitabile delle regole che ci siamo dati.