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matematto non praticante

Buon 2025 matematico!

Il 2025 è un anno il cui valore ha molte proprietà matematiche, come racconta Greg Ross:

  • È un quadrato (45²).
  • È il prodotto di due quadrati (9² × 5²).
  • È la somma dei cubi dei primi nove numeri naturali (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ = 2025), e pertanto il quadrato della loro somma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 2025.
  • È il termine centrale di una progressione aritmetica di quadrati (81, 2025, 3969).
  • È il più piccolo numero con esattamente 15 fattori dispari (1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025).
  • È la somma dei numeri in una tavola pitagorica 9×9.

Nel 2025 avremo inoltre un “giorno pitagorico”: il 24/7/25, perché 24² + 7² = 25².

Se volete giocare un po’ con il numero 2025, ecco alcuni problemi, gli ultimi due tratti da Mathy Jokes for Mathy Folks.

  1. La nazione di Tesséra ha come moneta il quad. Ma la cosa davvero interessante è che tutte le banconote hanno come valore un numero che è un quadrato perfetto: quindi ci sono banconote da 1, 4, 9, 16, … fino a 50² = 2500 quad. Se devo pagare 2025 quad ma non ho la banconota corrispondente, posso ovviamente usare 2025 banconote da 1 quad; ma non ne servono così tante. Per esempio, ne posso usare solo quattro: una da 1936 quad, una da 81 quad e due da 4 quad. È possibile pagare 2025 quad con solo tre banconote? E con due?

  2. Se dividiamo tipograficamente a metà il 2025, ottenendo dunque 20 25, sommiamo i due numeri e li eleviamo al quadrato otteniamo di nuovo 2025: (20 + 25)² = 2025. Quali sono gli altri due numeri di quattro cifre con la stessa proprietà?

  3. Ho con me 2025 cubetti unitari. Qual è la minima superficie di una scatola che li contenga tutti esattamente?

  4. Un numero naturale n si dice disponibile se è possibile trovare un insieme di n numeri interi non necessariamente distinti tali che la somma e il prodotto di numeri dell’insieme è uguale al numero di partenza. Per esempio, {−1, −1, 1, 1, 1, 1, 2, 4} ha somma e prodotto 8, quindi 8 è disponibile. Secondo voi, 2025 è disponibile o no?

  5. Usando una sola volta le quattro cifre 2,0,2,5 scrivete un’espressione che valga 2025. Sono accettate le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, la radice quadrata, fattoriali “!”, semifattoriali “!!”, concatenazione di al massimo due cifre (altrimenti avreste già 2025…), il punto decimale. Io non ho trovato una soluzione che lasci le cifre in ordine, voi magari ci riuscite…

Infine, siete in grado di emulare Inder Taneja e ottenere 2025 usando al più nove copie di una singola cifra da 1 a 9, con le quattro operazioni, l’elevazione a potenza e parentesi a piacere? Lo si può fare con tutte e nove le cifre.

Aggiornamento: (7 gennaio) Ecco la dimostrazione per induzione che la somma dei cubi da 1 a $n$ (che abbrevio in $C_n$) è uguale al quadrato della somma dei numeri da 1 a $n$: il tutto per induzione. Il caso $n = 1$ è immediato; se l’uguaglianza vale per $n$ abbiamo nel caso $n+1$

$(1 + 2 + \cdots + n + (n+1))^2 = ((1 + 2 + \cdots + n) + (n+1))^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2 + (n+1)^2 + 2(1 + 2 + \cdots + n)(n+1) = C_n + (n^2 + 2n + 1) + 2n((n+1)/2)(n+1) = C_n + n^2 + 2n + 1 + n^3 + 2n^2 + n = C_n + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = C_n + (n+1)^3 = C_{n+1}.$

MATEMATICA – Lezione 47: Algoritmi e immagini

copertina
A che serve la matematica quando si scattano foto? A tante cose, naturalmente. Tanto per dire, ormai le foto sono tutte in digitale, e quindi abbiamo delle funzioni che combinano l’output ricevuto dai sensori per tirare fuori l’immagine che vediamo a video. Ma non è di questo che Marta Lazzaretti parla in questo volume. Dopo un’introduzione storica che ci mostra come la digitalizzazione delle immagini ha più di un secolo di storia, Lazzaretti spiega quali sono le funzioni matematiche che usiamo per migliorare l’immagine. Inpainting, denoising, deblurring sono termini che probabilmente abbiamo visto quando abbiamo aperto una libreria per migliorare le nostre immagini (occhei, nel mio caso bisogna cominciare con una rotazione): in questo volume scopriremo come vengono migliorate le immagini e scopriremo che spesso un opportuno ritocco dei parametri ci permette di scoprire particolari che sono invisibili nell’immagine originale ma in realtà sono ancora presenti: solo che il nostro occhio non riesce a notare differenze troppo sottili tra i colori.
Veronica Giuffré parla di Vladimir Arnol’d, che ha fatto praticamente di tutto, anche in effetti delle trasformazioni delle immagini: a dire il vero Arnol’d si definiva un fisico, dicendo che “la matematica è quella parte della fisica dove gli esperimenti costano poco”, ma io sono della scuola “se uno fa matematica, è un matematico”. I miei giochi matematici sono piuttosto tecnici, perché parlano delle proprietà dei polinomi riprendendo problemi dati nelle versioni di base delle gare di giochi matematici statunitensi.

Marta Lazzaretti, Algoritmi e immagini, allegato a Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera, €6.99 più il prezzo del giornale.

Jimmy Carter

Non sono solo quelli del Post che affermano che Jimmy Carter è stato più popolare, e fors’anche influente, dopo aver terminato malamente il proprio mandato. Eppure lui ci è riuscito. Non so se questo significa che non era adatto a fare il presidente degli USA, oppure che l’ha fatto nel momento sbagliato, o chissà cos’altro. Però è vero che una volta che non aveva più il fardello della Sala Ovale avrebbe potuto fare di tutto, e invece ha scelto di continuare a cercare di migliorare per quanto poco sia possibile il mondo. Massimo rispetto.

Quizzino della domenica: Fette di pentagono

728 – geometria

Il pentagono in figura (non disegnato in scala) è stato diviso in sei parti, congiungendo un punto al suo interno con i cinque punti medi dei lati e con un vertice. Sappiamo le aree di quattro delle parti, quelle che non passano per un vertice: sono rispettivamente 4, 8, 7, 5 unità. Qual è la differenza delle aree delle due parti restanti?

il pentagono
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p728.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)


Excelsior! (ebook)

copertina Per quelli della mia generazione Stan Lee era semplicemente un mito, se non qualcosa in più. Non ho però idea di cosa sappiano di lui i ragazzi di oggi, anche se magari hanno visto tutti i film Marvel. Sergio Badino pensa proprio a loro, con questo libriccino sotto forma di un immaginario taccuino dove Lee scrive un po’ di cose (in stile da ragazzo anche quando aveva già passato da un pezzo la quarantina…) Solo la postfazione ha uno stile più serio.
Se riuscite ad accettare questo stile potrete avere un’idea almeno parziale di quanto Lee sia stato esuberante e onnipresente, anche se con trucchetti vari come scrivere solo inizio e fine della sceneggiatura e lasciare ai disegnatori il compito di trovare come arrivare fino a lì. Ah: il titolo è una delle espressioni preferite da Stan Lee, e se non sbaglio la sua vera autobiografia si intitola allo stesso modo.

(Sergio Badino, Excelsior! : Il taccuino segreto di Stan Lee, Giunti 2023, pag. 160, € 5,99 (cartaceo 8,50), ISBN 9788809914049 – se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me)
Voto: 4/5

AI e matematica: ci sono miglioramenti?

Alex Wilkins in questo articolo racconta dei progressi ottenuti nel 2024 dalle intelligenze artificiali nel campo della risoluzione di problemi matematici.
Come sapete, gli LLM non “comprendono” quello che hanno in input (o in output, se per questo) ma scelgono fondamentalmente la frase più probabile data la successione di parole in ingresso e le variabili nascoste che hanno a disposizione. Quindi se chiediamo a ChatGPT e ai suoi amici quanto fa 2 + 2 è estremamente probabile che la risposta sia 4; ma alla domanda “Add 34957 to 70764” rischiamo che la risposta sia 105621. (Non ho fatto la prova, ma immagino che chi sviluppa gli LLM abbia tenuto conto di questa particolare addizione e quindi ci sia del codice che faccia dare la risposta corretta.) Il guaio è che proprio perché gli LLM non capiscono quello che fanno è difficile per loro anche solo accorgersi che il problema è matematico e passarlo a un modulo “classico” che faccia i conti.

Pare però che quest’anno ci sia stato un miglioramento nelle performance di questi sistemi, partendo da Google Deepmind che sarebbe riuscita a prendere una medaglia d’argento alle olimpiadi della matematica – no, non vuol dire arrivare secondi, ma essere tra il 20% dei migliori – e arrivando al prossimo sistema O3 di OpenAI che avrebbe ottenuto il 75,7% di risposte corrette sul test “semiprivato” della ARC Challenge, studiato appunto per avere problemi facili per gli umani ma difficili per l’AI. Peccato che il costo per rispondere a ciascuna domanda è intorno ai 20$; O3 avrebbe anche raggiunto l’87,5%, sopra la soglia dell’85% che permetterebbe di vincere l’ARC Challenge, se non fosse per un piccolo particolare. Il costo per rispondere meglio alle domande è di 172 volte maggiore: in pratica per rispondere a una singola domanda O3 consuma 3500 euro di energia… e comunque le soluzioni in questo caso arrivavano per forza bruta, il che spiega il costo.

Diciamo insomma che questi sistemi ne hanno ancora da fare di strada…

Il rapporto argenteo

il rapporto argenteoInnanzitutto buon Natale, così non me lo dimentico :-)

Conoscete tutti il rapporto aureo, il numero che divide un segmento in due parti che hanno rapporto uguale a quello tra il segmento stesso e la parte maggiore: $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$; o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = x + 1$. È molto meno noto il suo fratello, il rapporto argenteo (o numero argenteo) σ. Esso si definisce in modo simile: è il numero dato dall’uguaglianza $\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b} = \sigma$, o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = 2x + 1$.

Facendo i conti, il rapporto argenteo vale $1 + \sqrt{2}$, cioè circa 2,41421 o se preferite circa 70/29. In figura in alto vedete un rettangolo argenteo che contiene un altro rettangolo argenteo ottenuto togliendo i due quadrati verdi; da qui togliendo i due quadrati rossi si ottiene un terzo rettangolo argenteo.

il rapporto argenteo nell'ottagono regolare Il rapporto argenteo non è carino come quello aureo, ma ha comunque alcune interessanti proprietà. Se per esempio consideriamo l’iterazione $x \gets \tfrac12 (x^2+1) /(x-1)$ per $x_0 \in [2,3]$, abbiamo che σ è un punto fisso superstabile: cioè la derivata della funzione in quel punto è nulla, il che significa che la convergenza è estremamente rapida. Inoltre, lo sviluppo in frazione continua del numero argenteo è σ = [2; 2, 2, 2, 2, …] (confrontatela con quella del numero aureo ϕ = [1; 1, 1, 1, 1, …]), con 1/σ = [0; 2, 2, 2, 2, …]; il rapporto argenteo è un numero di Pisot (il secondo, dopo il rapporto aureo), il che significa che le sue potenze sono ottime approssimazioni di numeri interi.

Dall’iterazione $x \gets \sqrt{1 +2x \vphantom{/} }$ otteniamo poi il radicale innestato σ = $\sqrt{1 +2\sqrt{1 +2\sqrt{1 +\cdots}}} \;.$ Troviamo un rettangolo argenteo anche all’interno di un ottagono regolare, come mostrato in figura. Altre proprietà del numero argenteo: $1 =\frac{1}{\sigma -1} + \frac{1}{\sigma +1}$, $\sigma =\frac{\sigma +1}{\sigma -1}$, $ \sigma =2\sum_{n=0}^{\infty} \sigma^{-2n}$.

Un’ultima curiosità: nella figura qui sotto vediamo come dei rettangoli di rapporto tra i lati σ−1 (blu e verde), σ/(σ−1) (rosso e marrone) e σ (viola, giallo) tassellano un quadrato.

(Immagine dei rettangoli non proprio argentei di Zilverspreeuw, da Wikimedia Commons)