Quello che vedete qui a sinistra è un poligono (intrecciato) di 100 lati. D’accordo, assomiglia più a uno scarabocchio, ma tecnicamente è un poligono. Supponiamo di costruire un nuovo poligono i cui vertici siano i punti di mezzo dei cento lati, e ripetere l’operazione a piacere. Cosa otterremo come limite? Beh, sempre un poligono di cento lati, mi direte: ma non è esattamente così. Il poligono ottenuto sarà sempre più piccolo, e il limite dei vari poligoni sarà un singolo punto, il baricentro di quelli iniziali.

Questo non è poi così interessante: cambiamo allora leggermente il nostro esperimento. Dopo ciascun passo scaliamo il poligono ottenuto in modo che i due vettori formati dalle coordinate $x$ e dalle coordinate $y$ dei punti abbiano norma 1, e il baricentro del poligono sia l’origine degli assi: ingrandiamo insomma man mano il poligono, e non pensiamo di arrivare all’infinito ma solo a un numero abbastanza alto di iterazioni. Quello che succede è che i vertici dei poligoni man mano ottenuti tenderanno a essere parte di un’ellisse, inclinata di 45 gradi rispetto agli assi cartesiani. Potete vedere all’opera l'”ellissizzazione” in questa pagina di Jason Davies.

Attenzione: i punti non tendono a una posizione fissa. Lo si vede bene se prendete un poligono di 10 lati e vi fate mostrare solo una posizione ogni due, per smussare il disegno: in pratica si nota una lenta rotazione dei punti. Come mai? Adam N. Elmachtoub e Charles F. Van Loan lo spiegano in questo articolo, dove vengono calcolati i semiassi dell’ellisse partendo dai vettori $x$ e $y$. Ma anche senza studiare la matematica, vedere “sbrogliarsi” il poligono e poi aggiustarsi lentamente è piuttosto ipnotico!

Se abbiamo un cerchio di raggio $r$, la sua circonferenza è $2\pi r$. Questo è facile. Se abbiamo un’ellisse di semiassi $a$ e $b$, il suo perimetro è $P(a,b) = 4aE(e^2)$, dove l’eccentricità $e$ è data da $\sqrt{a^2-b^2}/a$ ed $E$ è l’integrale $E(x) = \int_{0}^{\pi/2}(1-x \sin^2\theta)^{1/2}d\theta$. Un po’ meno facile, considerato poi che quell’integrale è un integrale ellittico del secondo tipo (poca fantasia nei nomi, concordo) e non è risolubile se non con metodi numerici.
Che si può fare, allora? Si può provare a cercare un’approssimazione e accontentarsi di quella. Il solito Ramanujan trovò questa formula:

dove $\lambda = (a-b)/(a+b)$. Io non ho idea se questa formula sia davvero venuta a Ramanujan in sogno, ma è di una precisione incredibile. Tenete conto che queste formule in genere sono sempre meno precise man mano che l’eccentricità $e$ aumenta; John D. Cook mostra che se prendiamo l’orbita del pianeta nano Sedna che ha un’eccentricità 0,8549 (Plutone, per confronto, ha 0,2488 e la terra 0,0167) e un semiasse maggiore di 76 miliardi di chilometri, l’errore commesso con questa formula è di 53 chilometri.
La cosa ancora più bella di questa approssimazione è che l’errore relativo è limitato, e resta sempre sotto lo 0,0051% anche con un’eccentricità massima. Direi che ci si può accontentare!

(figura di ZetaZeti, da Wikimedia Commons)