A chi non è capitato di dover far passare un mobile piuttosto grande attraverso una porta, e chiedersi come diavolo riuscirci? Douglas Adams ci aveva persino fatto una gag, nel suo libro Agenzia Investigativa Olistica Dirk Gently. Ma come sapete i matematici non hanno un grande senso dell’umorismo: quindi qualcuno ha provato a darne una formulazione matematica.

Qual è la più ampia superficie rigida che si può spostare attraverso un corridoio ad angolo retto, ossia a forma di L, con entrambi i lati del corridoio di larghezza 1?

Il problema circolava informalmente da tempo, ma solo nel 1966 Leo Moser ne diede una definizione formale. Nel 1968 John Hammersley, ispirandosi alla forma di una cornetta del telefono, elaborò una superficie di area circa 2,2074. Questo risultato fu migliorato nel 1992 da Joseph L. Gerver, che trovò una forma composta da 18 curve analitiche (mostrato più sotto) la cui area è circa 2,2195: un altro metodo di costruzione diverso aveva trovato una superficie della stessa area, ma non c’era la certezza che quello fosse davvero il massimo.

L’altra settimana però il mondo matematico è venuto a sapere che Jineon Baek ha postato su ArXiv un preprint dove dimostra che quello di Gerver è effettivamente il divano più grande che può girare intorno all’angolo del corridoio. L’unico problema è che la dimostrazione è lunga più di 100 pagine, e quindi ci vorrà un po’ di tempo prima di capire se non ci sono errorini. Vi farò comunque sapere!

(immagini di Claudio Rocchini (1) e TillmanR (2, da Wikimedia Commons)

Quando si gioca ad alcuni giochi, spesso è necessario lanciare un dado non standard, per esempio perché deve dare un valore da 1 a 10 con la stessa probabilità. In quel caso si dice “lancia un d10”. Oggi non è molto difficile simulare uno di questi lanci: se su Google fate una ricerca “dice d10” avete immediatamente il risultato, oppure potete andare su un sito come Roll a Die. Una volta però non era così, e ad ogni modo c’è un sottile piacere a lanciare i dadi. Che fare, dunque? Esistono alcuni dadi con un numero non standard di facce, come si può vedere su questa pagina Wikipedia: devo dire che ho apprezzato il d1 :-) mentre ho dei dubbi sul fatto che il d9 funzioni davvero.

Tutto questo nasce da un post vecchio ormai di dieci anni che mi è capitato tra gli occhi e che “spiega” come avere dadi da d2 a d30. Solo che l’amico bara, perché per d9 dice “prendete un d10, e se esce 10 ripetete il lancio”. Così sono capaci tutti, e soprattutto è vero che la probabilità di non terminare l’operazione è zero, ma non è detto che non ci voglia molto tempo per arrivare ad avere un valore diverso da 10. Naturalmente si può fare molto di meglio. Avete qualche soluzione? Se volete fermarvi un attimo prima che io la posti è il momento giusto, mentre scrivo qualche riga per far passare lo spazio.

Se fosse stato un d11, ci sarebbero in effetti stati dei problemi: non ho idea di come riuscire ad avere un dado. Ma nove è un bel numero: è il quadrato di 3, e avere un d3 non è così difficile: basta prendere un dado qualunque e accoppiare i suoi risultati, per esempio rovesciandolo se viene un numero da 4 a 6: come sapete, la somma dei numeri sui due lati opposti di un dado è sempre 7. Lanciando due volte il dado così trattato, il primo valore dice se sommare 0, 3 oppure 6 al risultato del secondo dado. Ma non è questa l’idea che ho avuto.

Il mio primo pensiero è stato infatti che lanciando due dadi abbiamo trentasei possibili risultati, se siamo in grado di distinguere i due dadi (diciamo che sono R e B perché uno è rosso e l’altro blu). Se assegniamo i possibili risultati a gruppi di 4, ne avremo esattamente nove, come richiesto. Questo lo si può fare in modo molto semplice: per esempio potremmo dire che se B ha un risultato da 1 a 4 allora consideriamo il valore di R. Se invece B vale 5 o 6, prendiamo il valore di A, lo dimezziamo, arrotondiamo per eccesso e sommiamo 6. Lascio al lettore il facile esercizio di verificare che in questo modo abbiamo la nostra suddivisione perfetta. Una procedura come questa funziona anche solo con un dado, naturalmente da lanciare due volte, e quindi è relativamente semplice da implementare.

(immagine di Dozenalism, da Wikimedia Commons)