Nella sua mailing list Beyond Euclid, Ali Kaya ha presentato un’approssimazione di e costruita da Richard Sabey, che usa tutte le cifre da 1 a 9 e che vedete qui sotto. Il valore è corretto a 18.457.734.525.360.901.453.873.570 cifre decimali. Come è possibile?

Immagino che vi siate accorti tutti del trucco (in senso buono, naturalmente: l’approssimazione è proprio quella, non ha barato) di Sabey. Una delle definizioni di e è il limite per n tendente a infinito di (1 + 1/n)ⁿ. Quindi se prendiamo n abbastanza grande ci avviciniamo molto a e. Ora, il meno nell’esponente tra parentesi serve per fare l’inverso. Poi abbiamo 4^(7×6) = 4⁴² = 2⁸⁴; ma questo è l’esponente di 9 che è 3², quindi tutto il numerone tra parentesi è 3^{2^85}, esattamente come il numerone a cui si eleva il valore tra parentesi.
L’idea di Sabey è stata dunque quella di trovare un modo per scrivere in due modi diversi il numero più grande possibile usando una sola volta le cifre da 2 a 9: complicato ma non così tanto come il compito poteva sembrare a prima vista. (Poi ha anche dovuto calcolare quanto fosse corretta l’approssimazione, e lì ammetto di non sapere come si fa.)

Spero di non avervi rovinato la poesia dell’espressione algebrica!

La scorsa settimana avevo parlato del rapporto superaureo, dato dall’unica radice reale dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$. Esso si indica con la lettera greca ψ e vale circa 1,46557. Si ha inoltre l’uguaglianza $\psi^{2} \left( \psi – 1 \right) = 1$. Vediamo ora qualche altra proprietà del rapporto superaureo.

Innanzitutto possiamo vedere quali sono le altre due radici (complesse coniugate) dell’equazione che definisce ψ. Dividendo il trinomio $x^{3} -x^{2} -1$ per $x – \psi$, ricaviamo $x^{2} + (x /\psi^{2}) + (1 /\psi)$ da cui troviamo che le altre due radici sono $x_{1,2} = \left( -1 \pm i \sqrt{4 \psi^2 + 3} \right) /2 \psi^{2}$. Tali radici hanno l’interessante proprietà che $x_1 +x_2 = 1 -\psi$ e $x_1x_2 =1 /\psi$; pertanto sia la somma che il prodotto delle tre radici è 1, come del resto si poteva vedere dall’equazione di partenza (usando una generalizzazione del fatto che nelle equazioni di secondo grado della forma $x^2 + sx + p = 0$ la somma delle radici è $-s$ e il loro prodotto $p$; in generale in un’equazione polinomiale monica di grado $n$ il termine noto è il prodotto delle radici, mentre il coefficiente del termine di grado $n-1$ è $(-1)^{n-1}$ volte la loro somma.)

La proprietà corrispondente a quella del numero aureo, cioè $ \phi^{n} =\phi^{n-1} +\phi^{n-2} $, per il numero superaureo diventa $ \psi^{n} =\psi^{n-1} +\psi^{n-3} $, che possiamo far diventare con un po’ di manipolazioni $\psi^{n-2} +2\psi^{n-4} +\psi^{n-6}$. Più interessante notare che ψ è un numero di Pisot (il quarto più piccolo in valore; Vijayaraghavan mi perdoni se non uso anche il suo nome), perché è maggiore di 1 e le due altre radici dell’equazione che lo definisce hanno valore assoluto minore di 1. Questo significa che le sue potenze (di esponente sufficientemente alto) sono ottime approssimazioni di numeri interi. Perché, vi chiederete? Sempre per la storia della somma delle radici: si può dimostrare che la somma delle n-sime potenze delle radici è un numero intero, e visto che il valore assoluto di tutte le altre radici è minore di 1, al crescere della potenza contano sempre di meno. Uno degli esempi più noti di numeri di Pisot è tra l’altro il rapporto aureo, come vediamo facilmente dalla serie di Fibonacci o se preferite dalla formula di Binet. Qui bisogna aspettare un po’ di più per avere un quasi-intero: per esempio, $\psi^{11} = 67.000222765…$. A proposito di somiglianze, ce n’è una che manca. Mentre φ è il numero “peggio approssimabile” con frazioni, perché il suo sviluppo in frazione continua è [1;1,1,1,1,…] e come sapete più piccoli sono i termini meno si riesce ad approssimare un numero troncando lo sviluppo, quello di ψ è [1;2,6,1,3,5,4,22,1,…] e quel 22 ci fa capire che fermandosi subito prima avremo una buona approssimazione: 1873/1278, per la cronaca.

Esistono gli equivalenti del rettangolo e della spirale aurei? Certo, e con grande fantasia si chiamano rettangolo e spirale superaurei. Sulla spirale non c’è molto da dire, se non è che logaritmica, passa per i vertici dei rettangoli superaurei sempre più piccoli che compongono quello di partenza e però spunta un po’ fuori da essi. Per il rettangolo superaureo, invece, non solo abbiamo tanti rettangoli simili all’interno – e, come abbiamo visto la volta scorsa, rettangoli che non sono superaurei ma hanno la stessa area di quello opposto rispetto alla diagonale; ma possiamo anche fare una partizione del rettangolo in quattro triangoli rettangoli, dove il vertice interno di due di essi è proprio il punto da cui si fa la divisione in sottorettangoli. Questa proprietà, come tante altre e il concetto stesso di rettangolo superaureo, era sfuggita ai greci perché non è possibile disegnarlo con riga e compasso… in questo caso l’algebra ci avvantaggia molto.

Se qualcuno infine si chiedesse se c’è un equivalente della successione di Fibonacci che sfrutta il rapporto superaureo, la risposta è positiva: ma ne parlerò la settimana prossima :-)

Le immagini del rettangolo superaureo e della spirale superaurea sono di Zilverspreeuw, e si trovano su Wikimedia Commons