Non si direbbe che il triangolo di Tartaglia – quello dove i due lati obliqui hanno sempre il numero 1 e i numeri interni sono la somma dei due superiori – e $\pi$ (spero di non dovervi spiegare cos’è…) abbiano qualcosa a che fare. E invece se guardate il disegno qui sopra, dove sono cerchiati un numero sì e uno no su una diagonale, sommate e sottraete man mano gli inversi di quei numeri ($\frac{1}{4} – \frac{1}{20} + \frac{1}{56} – \frac{1}{120} + …$) e moltiplicate per due terzi ottenete la parte decimale di pi greco! Magia? Non proprio.
Come raccontato in Cut the Knot, Daniel Hardisky ha scoperto la formula modificando la serie infinita per pi greco costruita dal matematico cinquecentesco del Kerala Nīlakaṇṭha Somayāji. La formula in questione è
$$\pi = 3 + \frac{4}{2\cdot 3 \cdot 4} – \frac{4}{4\cdot 5 \cdot 6} + \frac{4}{6\cdot 7 \cdot 8} – …$$
Da qui si sostituiscono i 4 a numeratore con $1 \cdot 2 \cdot 3$, moltiplicando per 2/3, e ottenendo
$$ \pi = 3 + \frac{2}{3} \left( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2\cdot 3 \cdot 4} – \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4\cdot 5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6\cdot 7 \cdot 8} – … \right) $$
che è appunto la formula cercata.
Sempre nella stessa pagina, Alexander Bogomolny presenta un altro risultato, scoperto nel 2007 da Jonas Castillo Toloza, e che ricava $\pi$ a partire dai numeri triangolari:
$$\pi – 2 = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} – \frac{1}{28} – \frac{1}{36} + …$$
Questa formula si può dimostrare lasciando da parte il primo termine, raggruppando a quattro a quattro gli altri, facendo le somme e scoprendo che sono esattamente i termini della serie di Nīlakaṇṭha. (D’accordo, prima bisogna dimostrare che la serie è assolutamente convergente e quindi possiamo fare i giocolieri con l’ordine degli addendi… ma ve lo risparmio).
È proprio vero che $\pi$ spunta quando meno ce l’aspettiamo!
G.K. Chesterton è soprattutto noto, almeno in Italia, per i suoi racconti che hanno come protagonista Padre Brown. Molti sanno anche della sua conversione al cattolicesimo (arrivata dopo che aveva cominciato a scrivere del piccolo prete cattolico; ma il suo percorso è stato piuttosto complicato). Però Chesterton ha scritto davvero tantissimo, in svariati campi, e così non è poi così strano che abbia anche pubblicato questo libretto, ben tradotto da Federica Giardini, sul perché alla fine si è convinto che la religione cattolica fosse la migliore. Non è che volesse scrivere un opuscolo per fare proseliti: nel testo afferma spesso che molte delle cose che l’hanno portato a quel passo valgono solo per lui e non possono essere generalizzate.
