Quizzino della domenica: testa o croce

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791 – probabilità

Ieri pomeriggio pioveva, e non sapevo cosa fare: così ho preso una moneta e ho cominciato a lanciarla, segnando se usciva testa o croce, per un quarto d’ora, fino a che non è squillato il telefono: il solito venditore di offerte imperdibili per luce e gas. L’idea era di avere un generatore di numeri casuali, ma mi sono fermato un po’ troppo presto, mi sa. La domanda che vi faccio è però un’altra: se prima dei lanci avessi voluto stimare la lunghezza dell’ultima striscia di lanci con la stessa faccia, che valore avrei ricavato? La striscia può essere anche solo di un lancio, se la successione termina con …TC. In altri termini: supponiamo che l’ultimo lancio fatto fosse croce (se fosse testa il ragionamento è lo stesso), e contiamo quante croci consecutive avevo fatto, compresa quest’ultima. Qual è il valore medio del numero di croci consecutive?

una moneta
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p791.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Fiddler on the Proof; immagine da SVGRepo.)

Numeri che pensano (ebook)

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copertina È noto che le intelligenze artificiali hanno dietro di sé tanta matematica, e spesso se ne sentono anche dire i nomi. Ma conoscete le storie dietro quei campi della matematica? In questo libro, Paolo Alessandrini ha scelto sei temi matematici fondamentali per le IA e prima di spiegarli ha raccontato una storia su ciascuno di essi. La legge dei grandi numeri vede come protagonista Cardano; la geometria cartesiana, come del resto il nome stesso dice, Cartesio; Newton è il personaggio per le derivate (o più esattamente il gradiente, ma il concetto è quello); il reverendo Bayes è chi ci ha permesso di calcolare le probabilità a posteriori; Hermann Grassmann ha ideato l’algebra lineare; infine Tullio Levi-Civita ha perfezionato il calcolo tensoriale, che le IA usano al loro interno per aggiustare i parametri.
La caratteristica più bella di questo libro è proprio il vedere come le IA attuali non abbiano inventato nulla (no, non è vero. Il concetto di transformer, la T di ChatGPT, è quello che ha permesso di fare un enorme salto di qualità) ma si siano basate su tecniche vecchie di secoli. Il bello della matematica è proprio questo: avere sempre a disposizione le fondamenta su cui costruire nuove palazzi;

Paolo Alessandrini, Numeri che pensano : Le sei grandi idee matematiche dentro l’IA, Hoepli 2025, pag. 214, € 15,99 (cartaceo 19), ISBN 9788836019038 – come Affiliato Amazon, se acquistate il libro dal link Bezos mi dà qualche centesimo dei suoi utili
Voto: 5/5

Operazioni aritmetiche e scorciatoie

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Lo Scientific American riporta la conclusione di due studi, che mostrano come quando occorre fare dei conti i maschi sono molto più propensi delle femmine a trovare una scorciatoia anziché mettersi a fare i conti secondo le formule che si imparano a scuola. Se per esempio vi venisse chiesto di calcolare 25×9 il suggerimento è di calcolare prima 25×4 = 100, poi raddoppiarlo e infine sommarci 25. Io a dire il vero ho moltiplicato 25×10 e ho tolto 25, ma in ogni caso non ho eseguito la moltiplicazione standard.

Questo potrebbe spiegare perché a scuola le ragazze sono più brave dei ragazzi – seguendo le procedure si arriva con meno errori alla risposta – ma poi abbiano risultati peggiori nei test come il SAT. Mi restano molti dubbi sul fatto che si possa insegnare a trovare le scorciatoie, e aggiungo un’evidenza aneddotica personale. Uno degli studi afferma che c’è una forte correlazione tra il trovare queste scorciatoie e riuscire a ruotare mentalmente oggetti tridimensionali: bene, io sono sempre stato un fan delle scorciatoie perché sono fondamentalmente pigro, ma l’unica volta in cui feci un test per il QI alle scuole medie andò tutto benissimo salvo per una prova: quella di trovare la figura che non era solo ruotata ma anche riflessa.

Voi che ne pensate?

I MAGA e i numeri

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Un paio di settimane fa il New York Times ha pubblicato un articolo del matematico Aubrey Clayton sui numeri sparati dall’amministrazione USA. Attenzione, non “sparati a caso”, anche se a prima vista potrebbe sembrare che sia così. Quando Trump afferma che con le sue misure il costo delle medicine si è ridotto del 300% (e il segretario al Commercio Howard Lutnick si è affrettato ad aggiungere che “è solo un modo diverso di vedere le cose”, misurando la percentuale dal prezzo finale a quello iniziale) si guarda bene da applicare la stessa “formula matematica” ai tagli fatti da Biden. Quando Trump ha affermato che con i suoi dazi ha creato investimenti negli USA per 18 trilioni di dollari, più di metà del PIL statunitense, oppure Pam Bondi ha detto che la loro lotta al fentanyl ha salvato 119 milioni, anzi no, 258 milioni di americani da una morte certa, cioè i tre quarti della popolazione, quei numeri sono usati semplicemente come corpo contundente, così come quando affermano che espelleranno 100 milioni di immigrati irregolari, il doppio del numero totale di immigrati regolari o no.

Il punto è che fare debunking di affermazioni così banalmente false è inutile se non controproducente. Se una persona non è in grado di accorgersi di idiozie come quelle, penserete mica che possa seguire un ragionamento analitico? Clayton conclude che dobbiamo chiedere uno standard più elevato per i politici: io preferirei andare alla radice e insegnare alla gente a riconoscere quando i numeri sono usati come arma di distrazione di massa. È sempre meglio insegnare a pescare, che dare un giorno un pesce.

Gli Ig Nobel non saranno più assegnati negli USA

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Non so quanto Marc Abrahams abbia deciso di spostare a Zurigo la cerimonia di premiazione per gli Ig Nobel a causa dei problemi per entrare negli USA oppure perché la cerimonia stava diventando ripetitiva e un cambiamento ci voleva, come da commento “sarà un po’ come l’Eurovision Song Contest, con base a Zurigo”. Però mi piacerebbe sapere (a) se Donald Trump commenterà sul suo social network personale e (b) se quest’autunno vincerà l’Ig Nobel per la pace.

Numeri primoriali e compositoriali

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Ok, il fattoriale di un numero naturale \( n \) è il prodotto dei numeri da \( 1 \) a \( n \) e si indica con la notazione \( n! \). Questo immagino vi sia ben noto. Ma avete mai sentito parlare dei numeri primoriali? Dato un numero naturale \( n \), il suo primoriale \( n\# \) è il prodotto dei numeri primi da \( 1 \) a \( n \). Questo ovviamente significa che per esempio il primoriale di 12 è uguale a quello di 11 (e vale \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310 \)); in effetti c’è anche chi afferma che i primoriali sono solo quelli relativi ai numeri primi, e li rappresenta quindi con \( p_n\# \). In ogni caso, i primi primoriali distinti sono 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Non esiste una funzione continua che estende i primoriali, a differenza della funzione Gamma per il fattoriale; la colpa, per così dire, sta nel fatto che la distribuzione dei primi è erratica. Se però prendiamo la funzione di Čebyšëv \( \vartheta(x)=\sum_{p\le x} \ln p \), cioè la somma dei logaritmi dei numeri primi inferiori a quello dato, sappiamo che \( \vartheta(n) \approx n \) e quindi \( n\# \approx e^{\vartheta(n)} \), per quello che può servire. La cosa buffa è che per \( n \lt 10^{11} \) abbiamo \( n\# \lt e^n \), ma sappiamo anche che ci sono sono infiniti intervalli di valori per cui invece \( n\# \gt e^n \). Quello che sappiamo al momento è che \(n\#\leq (2.763)^n\) e per \(>n \ge 563\) si ha che \( n\#\geq (2.22)^n \). Infine, se sommiamo gli inversi dei primoriali distinti otteniamo una costante:

\(\sum_{p\,\text{primo}} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots \),

e che questo numero è irrazionale (ma l’hanno dimostrato solo nel 2015… insomma non deve essere stato banale)

Ci sono poi i numeri compositoriali, che sono quello che manca ai primoriali per arrivare ai fattoriali: il prodotto di tutti i numeri composti da \( 1 \) a \( n \). Che io sappia, non esiste un simbolo per definirli: si scrive semplicemente \( n! \over n\# \) e chi si è visto si è visto. I primi compositoriali distinti sono 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000, 2781121609728000, 69528040243200000, 180772904632320000.

Tutta questa pappardella mi è servita per dire che il numero \( 751882!/751882\# + 1 \) è primo: questo è il più grande numero “quasi compositoriale” conosciuto, con le sue 3765621 cifre. Nella pagina che ho linkato il denominatore è \( 751879\# \), ma per quanto detto sopra il valore è lo stesso, e in questo modo si vede meglio che il numero differisce di 1 da un compositoriale. In genere è difficile dimostrare la primalità di numeri di questo tipo, e per questo se ne conoscono di meno: per dire, quando è stata certificata la sua primalità era il 109-simo più grande numero primo conosciuto…

Parlo di pi greco ad Alatri

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Non so quanti dei miei ventun lettori stiano dalle parti di Frosinone. Ad ogni modo, per festeggiare la Giornata Internazionale della matematica, venerdì prossimo sarò ad Arpino e Alatri per parlare di pi greco (e del mio libro… ma questo lo conoscete già) agli studenti del Tulliano e del liceo Pietrobono.
Ho però scoperto che mentre la prima presentazione sarà al castello di Ladislao, quella di Alatri sarà presso la biblioteca civica, e quindi a ingresso libero. Se vi interessa vedere la mia bella faccia, sapevàtelo!