Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da una new entry, Gianluigi Filippelli nel suo Science Backstage. Inutile aggiungere di andare a vedere cosa hanno scritto i soliti noti; meno inutile ricordare che il club non è affatto esclusivo, e chiunque voglia parlare di matematica può partecipare!

Ecco, non riesco mai a capire perché tutti quelli che sono così convinti che nel problema di Monty Hall sia indifferente cambiare porta non accettano mai la mia scommessa. Sono soldi da guadagnare facile, no? E allora perché non accettare questa mia bella scommessina, fatta alla luce del sole e verificabile indipendentemente da chiunque?
Scherzi a parte, mi sa che anche le più granitiche credenze si possano incrinare un poco quando uno debba iniziare a metterci su dei soldi; purtroppo però rimane questa schizofrenia per cui nonostante tutto non si cambia idea. Se ad ogni buon conto non avete davanti a voi un fondamentalista probabilistico, eccovi alcune possibilità per convincerlo che in effetti nel problema di Monty Hall in versione standard conviene cambiare porta.
(1) Ripetere più volte l’esperimento. Come nella scommessa da me proposta, se invece di un singolo evento se ne hanno parecchie decine tra loro indipendenti è facile accorgersi se in media la porta iniziale nasconde un’auto una volta su tre oppure una su due. Il buffo è che la Legge dei Grandi Numeri, per come è recepita dalla gente comune, è assolutamente errata; eppure dà loro molte più sicurezze della logica corretta di questo problema.
(2) Aumentare il numero di porte. Se invece di tre porte ce ne fossero un milione, voi scegliete la numero 1 e Monty apre tutte le altre tranne la 142857, oltre ovviamente alla 1, siete ancora così sicuri che l’auto non tia dietro la porta 142857? Visto che il caso è logicamente identico a quello con tre porte, la risposta dovrebbe essere la stessa.
(3) Mettersi a esplicitare i casi possibili. Per simmetria si può supporre di scegliere la porta numero 1; a questo punto si può clonare la famigerata scelta, enumerando i sei casi possibili in teoria, controllando quali sono i quattro possibili in pratica, e valutando le varie possibilità. Questa è la soluzione più debole, nel senso che è difficile convincere l’interlocutore che sia corretta; immagino che la colpa stia nell’abitudine di considerare tutti i casi come equiprobabili, e non accorgersi che i due sottocasi che si hanno quando l’auto era proprio dietro la porta da lui scelta sono appunto sottocasi e quindi la loro unione sia equivalente alla probabilità degli altri casi.
(4) Calcolare la probabilità a posteriori con il teorema di Bayes. Pur essendo l’unica che dà la certezza che la risposta sia corretta è quella meno preferita; l’evoluzione della razza umana non ha richiesto in effetti di impratichirci con le probabilità a posteriori.
(5) Prima di aprire una porta, Monty dice al concorrente “vuoi confermare la porta scelta, oppure cambiare con entrambe le altre porte? Io in ogni caso poi aprirò una tra due porte che non hai scelto inizialmente.” Se l’interlocutore riesce a convincersi che la formulazione è esattamente equivalente, allora la scelta è immediata.
Ho tralasciato apposta l’argomento “Monty può sempre aprire una porta con dietro una capra, qualunque sia la scelta del concorrente” perché, come vedremo tra poco, può essere fuorviante.
Detto tutto questo, non credo che se qualcuno è convinto di avere ragione gli si possa far cambiare idea; insomma, non perdeteci troppo tempo. In compenso, può essere simpatico vedere qualche scenario in cui tutto quello che ho scritto è falso. Naturalmente il trucco c’è: sto leggermente cambiando le ipotesi iniziali. Suppongo però sempre che la probabilità iniziale che l’auto si trovi dietro una porta sia 1/3 in ogni caso.
(1) Dopo che il concorrente ha scelto una porta e Monty ne ha aperta un’altra, arriva di corsa un’altra persona che conosce come funziona il gioco ma non sa quale sia stata la scelta del concorrente. Per costui le due porte sono assolutamente equivalenti, visto che non ha nessun dato su cui basarsi.
(2) Monty apre una porta davvero a caso tra le due che ha a disposizione, con il rischio di mostrare l’automobile e terminare il gioco con ignominia. In caso contrario, il concorrente può scegliere assolutamente a caso tra le due porte: però bisogna ricordarsi che alcune delle possibilità iniziali non sono più possibili a posteriori, e quindi la situazione è cambiata.
(3) Il concorrente sa che Monty ama la porta numero 3 e la apre sempre, se ne ha la possibilità. Se lui ha scelto la porta 1 e Monty apre la 2, è certo che l’auto stia dietro la 3, e quindi è obbligatorio cambiare scelta. Se invece apre la 3, è indifferente cambiare o no porta.
Qual è la morale di tutto questo? che bisogna sempre verificare molto attentamente le ipotesi, e non bisogna mai fidarsi troppo della propria intuizione!