Innanzitutto buon Natale, così non me lo dimentico :-)
Conoscete tutti il rapporto aureo, il numero che divide un segmento in due parti che hanno rapporto uguale a quello tra il segmento stesso e la parte maggiore: $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$; o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = x + 1$. È molto meno noto il suo fratello, il rapporto argenteo (o numero argenteo) σ. Esso si definisce in modo simile: è il numero dato dall’uguaglianza $\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b} = \sigma$, o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = 2x + 1$.
Facendo i conti, il rapporto argenteo vale $1 + \sqrt{2}$, cioè circa 2,41421 o se preferite circa 70/29. In figura in alto vedete un rettangolo argenteo che contiene un altro rettangolo argenteo ottenuto togliendo i due quadrati verdi; da qui togliendo i due quadrati rossi si ottiene un terzo rettangolo argenteo.
Il rapporto argenteo non è carino come quello aureo, ma ha comunque alcune interessanti proprietà. Se per esempio consideriamo l’iterazione $x \gets \tfrac12 (x^2+1) /(x-1)$ per $x_0 \in [2,3]$, abbiamo che σ è un punto fisso superstabile: cioè la derivata della funzione in quel punto è nulla, il che significa che la convergenza è estremamente rapida. Inoltre, lo sviluppo in frazione continua del numero argenteo è σ = [2; 2, 2, 2, 2, …] (confrontatela con quella del numero aureo ϕ = [1; 1, 1, 1, 1, …]), con 1/σ = [0; 2, 2, 2, 2, …]; il rapporto argenteo è un numero di Pisot (il secondo, dopo il rapporto aureo), il che significa che le sue potenze sono ottime approssimazioni di numeri interi.
Dall’iterazione $x \gets \sqrt{1 +2x \vphantom{/} }$ otteniamo poi il radicale innestato σ = $\sqrt{1 +2\sqrt{1 +2\sqrt{1 +\cdots}}} \;.$ Troviamo un rettangolo argenteo anche all’interno di un ottagono regolare, come mostrato in figura. Altre proprietà del numero argenteo: $1 =\frac{1}{\sigma -1} + \frac{1}{\sigma +1}$, $\sigma =\frac{\sigma +1}{\sigma -1}$, $ \sigma =2\sum_{n=0}^{\infty} \sigma^{-2n}$.
Un’ultima curiosità: nella figura qui sotto vediamo come dei rettangoli di rapporto tra i lati σ−1 (blu e verde), σ/(σ−1) (rosso e marrone) e σ (viola, giallo) tassellano un quadrato.
(Immagine dei rettangoli non proprio argentei di Zilverspreeuw, da Wikimedia Commons)
Cosa vuol dire fare matematica sperimentale? Semplice: provare a vedere cosa succede se facciamo alcune ipotesi. Qualcuno potrebbe pensare che la matematica sperimentale sia una contraddizione in termini; qualcun altro pensare che sia nata con l’avvento dei computer, e in effetti Pierluigi Vellucci in questo volume presenta ipotesi fatte così (e dà degli esercizi basati su alcuni suoi articoli di ricerca…). Ma non è così! Anzi, potremmo dire che la matematica è nata come sperimentazione e solo dopo un po’, coi greci prima e soprattutto con Gauss che si premurava di nascondere tutte le tracce di come era arrivato ai suoi risultati, è passata ad apparire un corpus di informazioni necessarie, proprio quelle che odiamo studiare a scuola.
Io usavo da anni Stocard per salvare sul telefono i codici delle carte fedeltà. Un paio di anni fa Stocard annuncia di essere stata acquistata da Klarna. L’altro giorno improvvisamente Stocard non funziona più e sono stato costretto a passare i miei dati su Krarna. In realtà non ha nemmeno copiato tutto (per esempio le foto che mettevo per tessere senza codice a barre) ma soprattutto è un modello che non sopporto per nulla, visto che a quanto pare vuole tanto avere i miei dati personali da aggiungere alle tessere.
Una delle cose che ho più apprezzato di questo libro è lo stile di Matteo Serra, che non solo ha scelto di intervistare vari giovani ricercatori che spaziano su tutti i campi della fisica, ma mette in tutte le interviste un tocco personale. È possibile che la scelta sia anche dovuta al fatto che le interviste sono state fatte nel periodo del lockdown, quando i contatti umani mancavano: ma magari quello è proprio il suo stile.
Avete presenti gli utensili di plastica neri? Un articolo pubblicato lo scorso ottobre sulla rivista Chemosphere ha sollevato pesanti dubbi sulla loro tossicità, e la notizia è balzata subito sulle prime pagine dei media americani. Da noi non ho visto nulla, ma non significa molto. Abbiamo avuto titoli come “Quegli utensili di cucina così carino potrebbero stare per avvelenarvi, dice uno studio. Ecco che dovete fare”, dal L.A. Times. Molti americani hanno buttato via i loro utensili.
