Oggi mi limito a mostrarvi due formule matematiche, la prima con una dimostrazione grafica e la seconda che dovete accettare in maniera fideistica (non ho mica voglia di fare i conti!)
Senza calcolatrice, sapreste dire se è più grande e^π oppure π^e? Il trucco, come mostrato da The Math Flow, consiste nel considerare la funzione $\frac{\ln(x)}{x}$. La sua derivata è $\frac{1-\ln(x)}{x^2}$, che si annulla solo per $x = e$. Prendendo i punti di ascissa $e$ e $\pi$ sul grafico della funzione, abbiamo pertanto che $\frac{1}{e} > \frac{\ln(\pi)}{\pi}$; moltiplicando per $\pi$, abbiamo $\frac{\pi}{e} > \ln(\pi)$; prendendo l’antilogaritmo otteniamo $e^{\pi/e} > \pi$; elevando infine alla potenza $e$ ricaviamo $e^pi > \pi^e$.
Passiamo ora al primo grande risultato trovato da Gauss: la costruzione di un nuovo poligono regolare di riga e compasso, oltre a quelli già noti ai greci. Per la precisione Gauss ha trovato tutti i possibili poligoni costruibili, che hanno un numero di lati che una volta fattorizzato risulta essere una potenza di due per un prodotto di primi di Fermat. I primi di Fermat che conosciamo sono solo 3, 5, 17, 257 e 65537; triangolo e pentagono li conoscevamo, il 257-gono e il 65537-gono non sono disegnabili in pratica, e quindi resta l’eptadecagono. La formula presentata da Fermat’s Library è quella che dà il lato di un eptadecagono inscritto in un cerchio di raggio unitario:
$$\begin{align}
&\cos \left( \frac{2\pi}{17} \right) = \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16} + \\& + \frac{2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}
\end{align}$$
Questo numero è chiaramente (…) costruibile con riga e compasso, perché si ottiene usando solo addizioni, moltiplicazioni ed estrazione di radice quadrata: ma vi voglio vedere ad ottenere una costruzione geometrica esplicita. Non ho idea di come Gauss sia arrivato a scoprire questa costruzione. Una cosa è però certa: Gauss è riuscito a trasformare un problema apparentemente geometrico in uno algebrico, e ha così mostrato come cambiare punto di vista può portare a risultati entusiasmanti!
Il “teorema dell’ombrello” (che poi non è un teorema, come Launay svela alla fine del testo) afferma che «Se volete andare da un posto all’altro mentre piove, ma senza bagnarvi, procedete come segue: 1. Aprite l’ombrello; 2. Fate il vostro percorso; 3. Chiudete l’ombrello.» Questo è il principio che i matematici usano più o meno consciamente quando cercano di dimostrare qualcosa: l’apertura dell’ombrello corrisponde alla matematizzazione del problema, la chiusura alla dematematizzazione e il percorso alla dimostrazione vera e propria. Nel testo Launay prende appunto varie caratteristiche del mondo reale e mostra in maniera accattivante a cosa esse corrispondono: per esempio la legge di Benford vale perché molte grandezze reali sono moltiplicative e non additive. Andando avanti nei capitoli si scopre anche l’unitarietà della matematica: man mano che vengono introdotti nuovi temi, Launay ritorna spesso a quanto già scritto, per far vedere che i concetti sono sempre gli stessi e sono solo declinati in altro modo. Sì, anche la teoria della relatività!