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matematto non praticante

Partizioni egizie – continua

l'inizio della tabella di GrahamMercoledì avevo raccontato di come Ron Graham avesse dimostrato che tutti i numeri maggiori di 77 erano strettamente egizi, cioè possono essere scritti come somma di numeri tutti distinti i cui inversi hanno somma 1. Come l’ha dimostrato? Basta leggere il suo papero, no? Riporto qua il suo ragionamento, che parte dal fatto che D. H. Lehmer aveva dimostrato che 77 non era strettamente egizio.

Graham ha calcolato una tabellona contenente una partizione per ciascun numero da 78 a 166, e ciascun numero dispari da 167 a 333. L’inizio di questa tabella è mostrato in figura. Ma perché proprio questi numeri? Perché gli servivano per costruire tutti gli altri. Per la precisione, chiaramente $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} = 1$. Ma se allora abbiamo una partizione con $1 = \tfrac{1}{d_1} + \tfrac{1}{d_2} + \cdots + \tfrac{1}{d_k}$ e $\sum_1^k d_i = n$, possiamo costruirne una del tipo $1 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2d_1} + \tfrac{1}{2d_2} + \cdots + \tfrac{1}{2d_k}$; tutti i termini sono distinti, perché nessun $d_i$ può essere 1, e la somma dei denominatori è 2$n$ + 2. Questo significa che prendendo i numeri da 78 a 166 nella tabella (l’articolo ha un refuso, tra l’altro) e applicando questo trucco otteniamo tutti i numeri pari da 168 a 334. Quindi sappiamo che tutti i numeri da 78 a 334 sono strettamente egizi. A questo punto Graham, da buon prestigiatore, tira fuori dal cappello un’altra somma che dà $\tfrac{1}{2}$, cioè $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{78} + \tfrac{1}{91}$. Notate che tutti i denominatori sono dispari tranne il 78, e quindi raddoppiare i denominatori di un numero strettamente egizio non può creare doppioni… E per quanto riguarda il 78, “casualmente” non ci sono denominatori 39 nella tabella e quindi non può essere generato. In questo caso abbiamo che la nuova somma dei denominatori è 2$n$ + 179. Usando entrambe queste formule possiamo ora estendere la nostra tabella da 2·78 + 179 a 2·334 + 2, cioè da 335 a 670; e anche qui continuiamo a non avere denominatori 39 che ci rovinerebbero il gioco. Da qui possiamo estenderla a 1340 (raddoppiando tutti i numeri fino a 670 e notando che i numeri fino a 570 con la seconda formula ci fanno arrivare a 1339) e così via. Quod erat demonstrandum :-)

La dimostrazione non è bella, concordo con voi; la tabella è troppo grande per essere accettabile esteticamente. Ma meglio una tabella e un po’ di teoria che nessun teorema. Tra l’altro, costruire la tabella oggi non sarebbe chissà quale problema, e anzi potremmo facilmente calcolare tutte le possibili partizioni per quei numeri in pochi secondi; ma ricordo che l’articolo è stato pubblicato nel 1963, e anche se Graham lavorava ai Bell Labs che probabilmente aveva computer all’avanguardia non è che ci fosse così tanta potenza di calcolo. Immagino che per parecchi numeri abbia usato la prima delle uguaglianze qui mostrate, e poi abbia usato alcuni trucchi partendo dalle partizioni “piccole”; ma comunque deve essere stato un lavoraccio. Ma ancora peggio deve essere stata la fatica di Lehmer per dimostrare che 77 non era strettamente egizio, visto che in questo caso non si possono trovare controesempi… di quello sì che mi piacerebbe vedere la dimostrazione!

OneDrive non si sincronizzava

Era qualche settimana che mi ero accorto che il mio OneDrive aziendale sul PC che ho a casa non si sincronizzava. Controllando meglio, non c’era proprio l’icona del programma tra i task. L’altro giorno mi sono impuntato e ho cercato di capire il busillis: ho ovviamente spento e riacceso il PC, ho disinstallato e reinstallato OneDrive, ma niente da fare. Le pagine in rete che trovavo non dicevano nulla di più di questo. Addirittura Glary Utilities non mostrava nessun sistema lanciato all’avvio, il che ovviamente era falso.

Alla fine sono riuscito a capitare qui, dove veniva consigliato di aprire il registro di sistema, cercare la chiave HKEY_LOCAL_MACHINE\Software\Policies\Microsoft\Windows\OneDrive , e se al suo interno c’era la chiave DisableFileSyncNGSC = DWORD:1 cancellarla. Appena fatto, Glary ha mostrato tutti i processi automatici, e rilanciando OneDrive quello si è finalmente messo a sincronizzare.

La mia domanda, che so già che rimarrà senza risposta, è “ma chi diavolo ha aggiunto quella chiave di sistema?”

Partizioni egizie

L'occhio di Horus e le sue frazioni corrispondenti Gli antichi egizi scrivevano i numeri frazionari come somma di frazioni con numeratore 1 e denominatori tutti diversi tra loro: per esempio 5/14 = 1/3 + 1/42 e 9/11 = 1/2 + 1/4 + 1/15 + 1/660. Per scrivere una frazione come egizia si può usare il metodo “greedy”, togliendo a ogni passo la frazione più grande possibile; non è detto però che esso porti alla somma con il minor numero di addendi. L’occhio di Horus, mostrato qui in figura e che magari vi ricorda l’album dell’Alan Parsons Project Eye in the Sky, contiene appunto alcuni geroglifici corrispondenti a frazioni egizie la cui somma è quasi 1. (Il “quasi” è stato completato da Toth, o Hathor secondo altre tradizioni, per mezzo della magia.)

Ma non è direttamente delle frazioni egizie che voglio parlarvi oggi. Luca Rovelli ha scritto di un tema leggermente diverso, ma correlato. Diciamo che un numero è strettamente egizio se può essere scritto come somma di numeri tutti distinti i cui inversi hanno somma 1. Il più piccolo numero strettamente egizio è 11: infatti 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6, e 2 + 3 + 6 = 11. Nel 1963 Ron Graham studiò questi numeri e scoprì che esiste un numero finito di numeri che non sono strettamente egizi: il maggiore di essi è 77, e il loro elenco si trova (ovviamente…) su OEIS.

(immagine di Kompak, Benoît Stella e Ignacio Icke da Wikimedia Commons)

MATEMATICA – Lezione 36: L’analisi di Fourier

copertina L’analisi di Fourier è uno di quei temi che se studiati vedendo l’evoluzione storica, come giustamente Pierluigi Vellucci fa in questo volume, mostra come non è affatto vero che la matematica funzioni sempre al primo colpo. Fourier ebbe una doppia intuizione: che si poteva calcolare come il calore fluiva all’interno di un metallo per mezzo di equazioni differenziali, ma soprattutto che le funzioni matematiche potevano essere descritte come una somma di infinite sinusoidi. Mentre la prima intuizione fu subito accolta favorevolmente, i grandi matematici del tempo osteggiarono Fourier perché le fondazioni matematiche non erano per nulla solide. Ci volle molto tempo per capire quali funzioni potessero essere espresse per mezzo dell’analisi di Fourier, ma i risultati finali sono stati spettacolari e sono stati sfruttati in altri campi: per esempio la trasformata veloce di Fourier è quella che permette il digital processing dei segnali.
Sara Zucchini ci parla di Julia Robinson, matematica americana del secolo scorso i cui grandi contributi, come la risoluzione del decimo problema di Hilbert, passarono al tempo in secondo piano perché era sposata a un altro matematico e quindi in posizione secondaria; i miei giochi matematici si risolvono più facilmente partendo dal fondo e cercando quale può essere la strada che porta lì dall’enunciato del problema.

Pierluigi Vellucci, L’analisi di Fourier, allegato a Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera, €6.99 più il prezzo del giornale.

¡Cristóbal Colón fue judío español!

Cristoforo Colombo :-) Ieri ne ha parlato anche tutta l’italica stampa, ma io avevo già visto la notizia direttamente dal sito RTVE, facendo finta di saper leggere lo spagnolo dopo i tre anni in cui i gemelli l’hanno studiato a scuola (e io facevo loro notare che ne sapevo più di loro, almeno in lettura). RTVE ha trasmesso un documentario con le scoperte di José Antonio Lorente, professore di medicina legale all’università di Granada: nel documentario si dimostra che i resti di Colombo sepolti a Siviglia sono proprio suoi, che il fratello Diego in realtà non è un fratello ma al più un parente di quinto grado (il figlio di un cugino secondo, insomma), e soprattutto che il cromosoma Y di Colombo proverebbe che era un ebreo sefardita, e quindi non poteva essere genovese perché in quella città gli ebrei non potevano vivere; inoltre il DNA dei Colombo liguri e lombardi non coinciderebbe affatto.
Per prima cosa, segnalo che nemmeno tutti gli spagnoli sono così convinti. Quello che mi chiedo io, ma se lo chiede anche El Pais, è un’altra cosa: voi siete davvero convinti che una scoperta di questa portata venga anticipata in una trasmissione televisiva? Mettiamola così: tutto è possibile, ma il modo con cui la situazione è stata gestita mi sembra tendere molto più alla spettacolarizzazione che alla verità scientifica. Poi è chiaro che dormirò ugualmente anche se Colombo si dimostrerà essere in realtà Colón…

(Immagine di Colombo generata da Foooocus)

Quizzino della domenica: Mastermind 2D

717 – alfametica

Nel Mastermind, come sapete, (ma anche in Wordle…) chi deve risolvere uno schema indica una possibile soluzione, e gli viene detto quali elementi sono nella posizione corretta e quali sono presenti ma nella posizione sbagliata. In questa versione bidimensionale si ha un quadrato 3×3, dove sono inserite tutte le cifre da 1 a 9; sono anche indicati nei tre tentativi quali numeri sono nella riga corretta ma nella colonna errata e quali sono nella colonna corretta e nella riga sbagliata (in questo caso non c’è nessun numero nella posizione corretta). Sapete trovare la composizione corretta?

la griglia: [4 5 ? | ? 3 6 | 1 ? ?] 4 numeri sono nella colonna corretta ma nella riga sbagliata; nessun numero è
nella riga corretta; [ ? ? 3 | ? ? ? | 2 4 ? ] 2 numeri sono nella colonna corretta ma nella riga sbagliata; 1 numero è nella riga corretta ma nella colonna sbagliata; [ ? ? ? | 7 1 4 | 6 9 3] Nessun numero è nella colonna corretta; 5 numeri sono nella riga corretta ma nella colonna sbagliata.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p717.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Reddit)

All of Us Alone (ebook)

copertina [Disclaimer: Ho ricevuto il libro grazie al programma Early Reviewer di LibraryThing]
Cosa succede se alcuni membri di una razza aliena con poteri telepatici, mentre fuggono dal loro pianeta invaso da altri alieni, finiscono bloccati sulla Terra (vicino ad Area 51…) e devono sopravvivere nascosti dagli umani, mentre cercano di lasciare il pianeta? Holly Payne-Strange fa un ottimo lavoro nel descrivere e sviluppare le caratteristiche di esseri molto diversi da noi: non è semplicemente la loro forma, ma il modo in cui vivono e cercano di superare le situazioni complicate in cui si trovano. Trovo però che ci siano vari buchi nella storia, a partire dalla situazione iniziale posta più o meno come deus ex machina ma che in realtà non è portata alle sue logiche conseguenze. Detto questo, il libro è comunque godibile e l’ho apprezzato.

Holly Payne-Strange, All of Us Alone, 2023, pag. 294, € 5,50, ISBN cartaceo 9798867164546 – se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me
Voto: 4/5