Il matematico tedesco Richard Dedekind è soprattutto noto per la sua definizione dell’insieme dei numeri reali (i “tagli di Dedekind”), e per la sua corrispondenza con Georg Cantor sulla teoria dei numeri transfiniti. Come molti matematici, però, ha anche fatto altre scoperte: tra le altre cose, nel 1897 studiò una successione di numeri che in suo onore sono detti numeri di Dedekind. (Al momento in cui scrivo non c’è la voce di Wikipedia in lingua italiana, ma potete sempre scriverla voi :-) )
I numeri di Dedekind contano quanti sistemi di un certo tipo si possono costruire con 0, 1, 2, … elementi. Che tipo di sistemi? Beh, ce n’è più di uno, il che fa capire che il concetto ha un certo qual interesse teorico, visto che rappresentazioni apparentemente diverse si scoprono essere equivalenti: qui ne mostro tre. Il primo sistema è quello delle funzioni booleane monotone di n variabili. Una funzione booleana ha come ingresso n variabili che possono assumere solo due valori (Vero e Falso, V/F), ed essendo una funzione ha un solo valore di uscita, sempre V o F. In informatica si usano spesso funzioni a due variabili, come AND, OR, XOR, ma nulla ci vieta di aumentare il numero di variabili. Una siffatta funzione si dice monotona se quando cambiamo un qualsiasi valore di input da F a V si possono dare solo due casi: l’output resta lo stesso oppure passa anch’esso da F a V. La funzione AND è per esempio monotona, mentre XOR non lo è perché XOR(V,F) = V ma XOR(V,V) = F. Il secondo sistema è quello delle anticatene. Dato un insieme parzialmente ordinato, un’anticatena è un sottoinsieme di questo insieme in cui nessun elemento è contenuto in un altro elemento. Per esempio, se prendiamo come insieme parzialmente ordinato quello dei divisori di 30, {2, 3, 5} e {6, 10, 15} sono delle anticatene, poiché nessun elemento dell’insieme ne divide un altro, mentre {2, 5, 15} non lo è perché 5 è un divisore di 15. Se prendiamo un insieme di n elementi e consideriamo il suo insieme delle parti, cioè tutti i suoi sottoinsiemi possibili, abbiamo un certo numero di possibili anticatene. Per n=2, cioè con i soli elementi 0 e 1, le anticatene possibili sono {{0,1}}, {{0},{1}}, {{0}}, {{1}}, {{∅}} e {∅} (notate la differenza tra le ultime due anticatene; la seconda è quella vuota, la prima contiene l’insieme vuoto). Il terzo modo consiste infine nel prendere un ipercubo a n dimensioni, metterlo in modo che si poggi su un vertice e abbia il vertice opposto perpendicolare all’iperpiano passante da quel vertice; in due dimensioni abbiamo un quadrato ruotato di 45 gradi, come vedete nel disegno qui sotto. Se la regola è “non possiamo colorare di blu un vertice dell’ipercubo se ce ne sono di bianchi più in alto”, otteniamo di nuovo sei possibili colorazioni.
Insomma, il numero di Dedekind D(n) corrisponde al numero di combinazioni possibili. Quanti sono? Dedekind trovò che i valori da D(0) a D(4) sono rispettivamente 2, 3, 6, 20, 168. Nel 1940 Randolph Church calcolò (immagino con una calcolatrice elettrica) D(5) = 7581; nel 1946 Morgan Ward calcolò D(6) = 7.828.354; nel 1965 di nuovo Church calcolò D(7) = 2.414.682.040.998; nel 1991 Doug Wiedemann calcolò D(8) = 56.130.437.228.687.557.907.88. La successione OEIS corrispondente si fermò lì fino a questa primavera, quando due diversi articoli mostrarono indipendentemente che D(9) = 286.386.577.668.298.411.128.469.151.667.598.498.812.366. Come racconta Quanta, il problema era che D(9) non può essere calcolato direttamente per la banale ragione che non esisterebbe sufficiente potenza di calcolo in tutto il pianeta, e dunque occorre trovare delle scorciatoie. Ottenere lo stesso risultato calcolandolo in due modi differenti ci permette di essere più che ragionevolmente certi che esso sia quello giusto: anche in matematica ogni tanto bisogna fidarsi dell’output dei computer!
Si potrà mai conoscere D(10)? Secondo Patrick De Causmaecker, coautore di uno degli articoli, tra qualche decennio potremmo farcela. Ma Christian Jäkel, che ha scritto l’altro articolo, è scettico. La cosa buffa è che però esiste una stima analitica che sbaglia di pochi punti percentuali il valore di D(n). In altre parole, abbiamo un’idea abbastanza precisa di quante sono queste funzioni, ma il diavolo si nasconde nei dettagli…
Immagine di Watchduck, da Wikimedia Commons.
Mio nipote ha scritto un libro di favole. Ha provato a scrivere a un editore per la pubblicazione, editore che gli ha risposto positivamente: mio fratello mi manda la bozza del contratto per vedere se va tutto bene. Il contratto è sufficientemente standard, anche se mi faceva specie che per un testo cartaceo i diritti durassero solo tre anni; vabbè, la stampa è in print-on-demand ma non si può pretendere più di tanto dalla vita. Ma poi c’è un Accordo Integrativo dove casca l’asino. L’autore può scegliere se comprare (a prezzo pieno…) cinquanta copie del suo libro, oppure 20 copie e venti altri volumi di quella collana, oppure cinque copie e trenta altri volumi di quella collana.
La morte di Matteo Messina Denaro mi fa pensare che l’ipotesi che era circolata al momento del suo arresto lo scorso gennaio fosse vera: il boss mafioso era troppo malato, non poteva più essere curato andando e venendo da un clinica, e si è quindi consegnato più o meno volontariamente per vedere se poteva essere curato meglio. (Il fatto che non abbia pensato di farsi curare all’estero sotto falso nome fa anche capire come il pensiero dei mafiosi resti sempre limitato geopoliticamente).
Come forse sapete, la mia azienda non se la passa troppo bene, e ci fa stare a casa per lunghi periodi. Da settembre 2022 a febbraio 2024, per esempio, il gruppo dove lavoro io è in contratto di espansione (tolgono soldi a noi per assumere qualche giovane) con una percentuale del 25%, il che significa che per cinque o sei giorni al mese siamo a casa. (In alcuni di quei giorni dobbiamo però seguire dei corsi di formazione…)
Napolitano veniva chiamato “re Giorgio” un po’ per la sua aria indubbiamente compassata, parecchio perché assomigliava molto a Umberto II di Savoia, tanto che erano state fatte girare voci secondo cui era il suo figlio illegittimo. (Umberto era principe di Napoli, e frequentava spesso la città) Ma quelle sono solo voci, così come le accuse di aver fatto la cresta sui viaggi a Bruxelles quando era europarlamentare, con tanto di giornale tedesco che aveva fatto un servizio video che nemmeno Striscia la Notizia. (In quel caso la risposta è “sì, faceva la cresta ma del tutto legalmente visto come funzionavano i rimborsi, tanto che poi la modalità è cambiata”).
Passerino continua a pubblicare microlibri legati in qualche modo alla matematica che – se non fate come me che me lo sono preso in prestito su MLOL – potete trovare tranquillamente 