From Counting to Continuum (libro)

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copertina L’approccio che Scheinerman usa in questo libro per definire i vari tipi di numero è quello che è di moda negli ultimi tempi, e avevo già visto sul testo di Körner, che infatti è citato in bibliografia. L’idea è quella di definire le varie estensioni dei numeri come classi di equivalenza di coppie di quelli precedenti: per esempio la coppia di naturali (a, b) viene associata al numero intero a-b. Ma come sempre in questi casi dobbiamo controllare i dettagli, e qui direi che il testo merita davvero. A differenza di Körner, che comincia assumendo una conoscenza intuitiva dei numeri naturali che poi vengono definiti formalmente più avanti, Scheinerman usa il concetto di corrispondenza biunivoca per definire i naturali, e poi proseguire. Ma soprattutto le note a latere sono secondo me molto illuminanti, e permettono di vedere la creazione dei numeri in modo meno calato dall’alto: tenete anche conto che nella prefazione Scheinerman dice esplicitamente che è più interessato alle definizioni che alle dimostrazioni. E soprattutto la parte finale con gli accenni a estensioni non standard dei reali (IL campo ordinato completo, e già questa definizione, ancorché formalmente standard, fa capire il suo interesse da vero matematico nel vedere come si può andare avanti a partire da quello che parrebbe un punto fermo) merita davvero. Scheinerman mostra non solo i quaternioni ma anche i numeri p-adici e quelli tropicali, di cui non avevo mai sentito parlare…
Una lettura davvero utile non solo per chi è interessato ai fondamenti della matematica ma anche per chi non vuole fermarsi alle definizioni scolastiche dei numeri.

Edward Scheinerman, From Counting to Continuum : What Are Real Numbers, Really?, Cambridge University Press 2024, pag. 232, € 24,26, ISBN 9781009538671 – se acquistate il libro dal link qualche centesimo va a me
Voto: 5/5

80 anni festeggiati “sobriamente”?

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Oggi è l’ottantesimo anniversario della Liberazione dell’Italia dai nazifascisti. Una data ovviamente simbolica, perché la guerra è finita il 2 maggio, Mussolini non era ancora stato ucciso mentre cercava di scappare, l’Italia centromeridionale era già controllata dagli Alleati e anche città come Bologna erano già state raggiunte dalle truppe alleate. Però il 25 aprile è il giorno in cui è cominciato lo sciopero generale a Torino, Milano e Genova (che tra l’altro si è liberata prima dell’arrivo delle truppe alleate); come data simbolica va benissimo.
Solo che lunedì mattina è morto il papa. Il governo italiano ha come sempre in questi casi ha indetto il lutto nazionale – che poi non significa molto, se non che ci sono le bandiere a mezz’asta, a scuola si fa un minuto di silenzio al funerale e le partite di calcio vengono rinviate – ma non l’ha fatto per tre giorni come per esempio con Wojtyła ma per cinque giorni. Immediatamente siamo stati in tanti a pensare male e fare peccato, accorgendoci che così il 25 aprile sarebbe stata giornata di lutto nazionale (cosa che in effetti per fascisti postfascisti neofascisti ha senso). La risposta del governo è stata a nome del ministro per la Protezione civile (?) Nello Musumeci che ha detto

«Tutte le cerimonie sono consentite naturalmente, tenuto conto del contesto e quindi con la sobrietà che la circostanza impone a ciascuno».

come anche scritto nel comunicato stampa del CdM. Io sono a un matrimonio e quindi non potrò ad ogni modo manifestare, e non sono mai stato un amante del casino: però mi fa un po’ specie pensare alla richiesta di una manifestazione sobria. Musumeci ha rincarato la dose:

«Balli e canti scatenati si potrebbero evitare, ecco, mentre la salma è ancora non tumulata.»

come se balli e canti fossero fatti durante il funerale…

Quando gli LLM si dimenticano quello che hanno detto

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In queste settimane sul sito calenpiario.it vengono proposti alcuni problemi matematici. Quello del 16 aprile aveva una formulazione un po’ strana, forse per fare in modo che non venisse dato in pasto agli LLM. Ad ogni modo io ho voluto comunque provare a usarli, non con il testo originale ma con uno semplificato, per vedere come avrebbero risposto. Ho così fatto la domanda «un cubo deve essere dipinto col minor numero possibile di colori scelti tra 24 in modo tale che due facce confinanti su uno spigolo non siano dello stesso colore.In quanti modi può essere colorato il cubo? (Colorazioni che usano gli stessi colori, anche disposti in modo diverso, sono da considerarsi equivalenti)» per vedere cosa succedeva. Un ragionamento “umano” vede che sono necessari tre colori distinti, questi devono essere collocati su facce opposte del cubo, e quindi c’è essenzialmente un unico modo per colorarli: il numero totale di possibilità è pertanto $24 \choose 3 $ = 2024. Che è successo in pratica?

Sia Gemini Pro che Math GPT che Claude 2.7 hanno dato la risposta corretta. Invece DeepSeek nella versione “veloce” si è completamente impallato, scrivendo possibili risposte e poi ripensandoci su, fino a terminare con la risposta errata 4048:

la "dimostrazione" di DeepSeek.

Per confronto, DeepSeek “pensante” ha fatto tutto il ragionamento in inglese ma ha dato la risposta corretta.

L’errore di DeepSeek “base” mi ha lasciato molto stupito. Una caratteristica degli LLM che viene molto sottolineata è infatti che il testo generato durante la risposta viene usato per tarare meglio la risposta stessa, in un ciclo di feedback. Insomma, non è un banale sfoggio di “competenza” ma proprio un ausilio alla risposta del sistema. Invece a quanto pare questo è stato un tipico caso di allucinazione: DeepSeek è partito per la tangente, scrivendo

Ma questo è valido solo se consideriamo che tutte le colorazioni con 3 colori sono equivalenti a meno di permutazioni, il che non è vero. In realtà, ci sono 2 distinte classi di colorazioni con 3 colori:
– Colorazione a coppie: Due colori sono usati per due facce opposte ciascuno, e il terzo colore per le altre due facce opposte.
– Colorazione non a coppie: Un colore è usato per tre facce, un altro per due, e il terzo per una faccia, con particolari vincoli di adiacenza.

Quello che parrebbe è che DeepSeek si sia dimenticato del vincolo di non avere due facce adiacenti (o meglio, che non l’abbia più mantenuto nel suo input), anche se comunque il ragionamento resta errato: manca infatti la classe “4 facce del colore A, 1 del colore B, 1 del colore C”. E questo tipo di errore è molto più strano… Diciamo insomma che il ragionamento matematico può ancora lasciare a desiderare.

Quasi pi greco

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Ali Kaya mostra la quasi-uguaglianza che potete vedere qui sotto:
pi greco è circa il quadrato di 1/10^5 volte la somma per n che va da meno infinito a infinito dell'esponenziale di meno n quadro diviso 10 alla decima
L’approssimazione è corretta a 42 miliardi di cifre decimali. Riuscite a immaginare da dove arrivi questa formula? Se proprio non ci riuscite, posterò un aiutino e poi la risposta: ma sono sicuro che tra i miei ventun lettori saranno in tanti a farcela.

Insiemi di Ulam

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La settimana scorsa ho parlato dei numeri di Ulam: una successione che comincia con 1,2 e continua aggiungendo man mano il più piccolo elemento che è esprimibile come somma di due elementi distinti della successione in un solo modo.

Che può fare a questo punto un matematico? Generalizzare, ovvio. Nel 2020 è stato pubblicato un articolo di Tej Bade, Kelly Cui, Antoine Labelle e Deyuan Li (supervisionati da Noah Kravitz) che hanno generalizzato al di là dei numeri naturali i numeri di Ulam. L’esempio più semplice è per l’appunto l’insieme di Ulam sull’insieme delle stringhe binarie generate da {0,1} con una regola simile, sostituendo alla somma la concatenazione. Quindi una stringa fa parte dell’insieme di Ulam se può essere generata in un unico modo come concatenazione di due altre stringhe diverse tra loro. Quindi le stringhe di lunghezza 2 sono 01 e 10 (ma non 00 e 11); quelle di lunghezza 3 sono 0.01, 01.1, 10.0 e 1.10, dove il punto serve semplicemente per distinguere le due stringhe concatenate e non fa parte della stringa in sé. Passando alle stringhe di quattro elementi abbiamo 0.001, 001.0, 0.100, 011.1, 100.0, 1.011, 110.1, 1.110. Non abbiamo 10.10 (concatenazione di due stringhe uguali) né 0011, che è la concatenazione 0.011 ma anche 001.1.
percentuale di stringhe di lunghezza n che sono nell'insieme di Ulam
Perché si chiama insieme e non successione di Ulam generalizzata? Perché non c’è nessuna ragione specifica per dare un ordinamento tra le varie stringhe, a differenza dei numeri, e quindi è più opportuno lasciarle sotto forma di insieme. A oggi si sa ancora meno sugli insiemi di Ulam che sui numeri di Ulam. Per esempio il grafico che vedete, preso dal succitato articolo, mostra la percentuale di stringhe di lunghezza n che sono nell’insieme di Ulam. Gli autori congetturano che, proprio come per la densità dei numeri di Ulam, questa percentuale abbia un limite diverso da zero: ma in quest’altro articolo del 2024 Paul Adutwum, Hopper Clark, Ro Emerson, Alexandra Sheydvasser, Arseniy Sheydvasser, e Axelle Tougouma congetturano che essa tenda a zero proporzionalmente a $n^{-0,\!3}$.

Qualcosa si riesce però a dimostrare: per esempio, Adutwum et al. hanno mostrato che se plottiamo l’insieme dei punti $(x,y)$ per cui la stringa 111…1000…0 con $x$ elementi 1 seguiti da $x-y$ elementi 0 è una stringa di Ulam allora i punti formano un triangolo di Sierpiński discreto con in più il punto (1,1). Non ho idea di quale sia la relazione, ma indubbiamente c’è!

Trent’anni dopo…

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Negli anni ’90 avevo cominciato a musicare una messa pop (ho anche composto due corali per il battesimo dei figli di miei amici che facevano parte della cantoria della parrocchia: ottave e quinte parallele come se non ci fosse stato un domani, come compositore valgo una cippa ma del resto non ho mai studiato davvero armonia). Poi ho lasciato perdere, perché come sempre faccio troppe cose.
Domenica mi è venuta in mente la melodia per un Gloria in formato antifonale, il che farà piangere Sandro Magister che ha sempre tuonato affermando che il Gloria è un inno e non può avere un ritornello. Vabbè, tanto il mio brano non verrà mai cantato :-) I curiosi lo possono comunque vedere qui sotto, in licenza CC-BY-SA 4.0.

papa Francesco

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Vabbè, oggettivamente rinviare le partite di calcio in segno di lutto mi pare un’esagerazione. Poi siamo in molti ad aver pensato che JD Vance porta più sfiga di Salvini. E il fatto che ancora ieri abbia voluto scendere in piazza San Pietro fa tornare in mente la regina Elisabetta: quello era il suo lavoro, e lo si deve fare fino all’ultimo momento.

Ma a parte queste affermazioni parecchio irriverenti, che dire di Jorge Bergoglio? Che ha fatto quello che ha potuto. È vero che il papa è l’ultimo sovrano assoluto, ma anche lui ha dei limiti, e lo si vede soprattutto da quello che Francesco non ha fatto. Riforme vere e proprie ufficiali non ce ne sono state, anche se ufficiosamente ha appoggiato la prassi che almeno in Occidente era già comune da decenni: per dire, pensate mica che a un divorziato risposato venisse negata la comunione? Da questo punto di vista l’unica vera novità è stata due mesi fa la nomina di una donna come prefetto, una mossa indubbiamente dirompente ma che non poteva essere criticata dai conservatori perché non attinente alla liturgia, come sarebbe per esempio potuta essere l’accettazione di donne diacono (di cui ci sono esempi nel Nuovo Testamento: non credo che almeno in questo secolo si arriverà mai alle donne sacerdote, ma per le diaconesse non ci sono impedimenti di questo tipo). Come tutti i papi, Francesco ha dovuto barcamenarsi per tenere insieme due anime della chiesa cattolica che sono da più di mezzo secolo agli antipodi, e direi che più o meno ce l’ha fatta, anche se quello che leggete in giro dice l’opposto. In politica ha fatto quello che fanno tutti i papi: parlare con tutti, perché se non parli non puoi sicuramente ottenere nulla. Questa era la massima di Giovanni XXIII, diplomatico provetto, come leggevo proprio ieri.

Chi sarà il prossimo papa? E chi lo sa. Bergoglio ha nominato tantissimi cardinali, ma lo Spirito santo (o se preferite la Realpolitik) ci insegna che le vie del Signore sono infinite. Posso scommettere comunque che non sarà papa né Tagle né Zuppi o Parolin. Potrei dare qualche chance a Pizzaballa se voteranno un italiano; qualche settimana fa avevo trovato il nome di un cardinale asiatico che secondo me poteva avere chance, ma me lo sono già dimenticato…

EDIT: il sito (conservatore) che intendevo è questo, e i cardinali su cui punto sono Rainjit e Bo. Entrambi non giovanissimi e abbastanza centristi da essere candidati di compromesso.

C’è negozio e negozio

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La bicicletta che uso per andare in ufficio è conciata molto male. Da anni non funziona il deragliatore, quindi sono fermo su un solo rapporto; ci sono poi dei cigolii pericolosi, e ogni poco la sento sbandare come se stesse per rompersi da un momento all’altro. (No, non è perché ho un raggio rotto, quel tipo di sbandamento lo conosco bene). Mi sono così deciso a comprare una nuova bicicletta.

Chi mi conosce sa che non sono per nulla attento all’estetica, e nemmeno al peso della bici: tanto è rarissimo che io superi i 15 chilometri di percorso. Né mi servono i rapporti davanti o i freni a disco. Ci sono però tre cose su cui sono molto attento: la mia bici deve avere un telaio grande, i raggi posteriori più spessi e la gomma posteriore antiforatura. Il combinato disposto del mio peso non proprio da libellula, del modo probabilmente errato con cui pedalo e delle strade milanesi mi facevano portare la bici dal ciclista almeno una volta al mese, fino a che mi sono scocciato e ho fatto le cose per bene.

Venerdì sono passato con Anna a un grande negozio di biciclette che sta a Lissone. Risultato: più di cinque minuti per trovare qualcuno a cui chiedere informazioni, e le informazioni sono state “no, abbiamo solo quel modello lì con quel telaio; no, non mettiamo raggi o pneumatici diversi” (il tutto detto davanti a una porta con su scritto “officina”…). A questo punto, tanto eravamo comunque in Brianza, siamo andati alla Casa del ciclo a Concorezzo dove finalmente ho trovato qualcuno che non mi ha guardato strano quando ho fatto le mie domande, ha tirato fuori i listini e mi ha detto il prezzo delle modifiche (parecchio, rispetto a quello della bici, ma come scrivevo sono soldi che risparmio dopo), oltre ad avere un modello con telaio S – M – L.

Per fortuna che c’è ancora la possibilità di comprarsi una bicicletta che non sia proprio da supermercato ma nemmeno una roba per chi la bici la usa sul serio…