Non so se le frasette “massimo comun divisore” e “minimo comune multiplo” facciano ancora venire a qualcuno un brivido di terrore, al pensiero dei conti che ci facevano fare a scuola e magari anche per capire com’è che una di quelle due sigle – che ricordano pericolosamente 1400 e 1900 scritti in numeri romani – fosse tutta in maiuscolo e l’altra tutta in minuscolo, e perché quello maiuscolo fosse il più piccolo dei due numeri, e non il più grande. Forse è vero che oggi questi concetti sono un po’ meno importanti di un tempo, quando i conti si facevano a mano; ma hanno ancora un certo qual interesse.
Per prima cosa occorre fare un passo indietro e approcciare il tutto da parecchio lontano. I numeri naturali hanno una simpatica proprietà, niente affatto scontata: quella della fattorizzazione unica. Un fattore di un numero n è un numero f tale che la divisione n/f non dà resto: i numeri primi, forse ricordate, sono quelli maggiori di 1 che hanno come fattori solo sé stessi e 1. Se prendiamo un qualsiasi numero, la fattorizzazione unica ci assicura che lo possiamo scrivere in un solo modo come prodotto di numeri primi; per esempio, 1001 = 7·11·13.
In matematica la fattorizzazione unica è importantissima, ed è il motivo fondamentale perché si definisce che 1 non è un numero primo; piuttosto che aggiungere qui la frasetta “eccetto che si possono aggiungere tanti fattori uno quanti si vogliono”, si preferisce aggiungere “eccetto 1” nella definizione di numero primo. Come curiosità posso aggiungere che all’inizio del XIX secolo si pensava di poter dimostrare il teorema di Fermat con alcune tecniche nemmeno troppo difficili matematicamente ma che presupponevano che la fattorizzazione unica valesse anche per numeri “più o meno interi”, quelli della forma n + m √(-1); ed è stato un brutto colpo acccorgersi che non è affatto vero.
Ma basta con le divagazioni, e torniamo alla fattorizzazione unica. Abbiamo visto che ogni numero si può scrivere in modo univoco come prodotto di numeri primi; ma allora se prendiamo due numeri possiamo trovare quali fattori – e presi quante volte – hanno in comune. Per esempio, 9009 = 3²·7·11·13 e 147 = 3·7² hanno in comune il prodotto 3·7, cioè 21. Detto in altro modo, posso dividere sia 9009 che 147 per 21 senza ottenere nessun resto, e non c’è nessun numero maggiore con questa proprietà. Quindi 21 è un divisore, comune a entrambi i numeri e massimo; il Massimo Comun Divisore (MCD), appunto. In maiuscolo, perché immagino che la parola “massimo” faccia pensare a qualcosa di grande.
Supponiamo però che ci interessi qualcosa di diverso; possiamo riempire degli scatoloni di libri mettendoli a gruppi di sei oppure a gruppi di otto a seconda di cosa il Comitato Centrale ci comunicherà, non vogliamo scatoloni mezzi pieni perché non sta bene, e vogliamo evitare di fare troppi scatoloni perché siamo pigri. Ovviamente prendere sei per otto, quarantotto, libri ci permette di riempire in ogni caso gli scatoloni; però si può fare di meglio limitandoci a 24 libri. Questo 24 è il minimo comune multiplo (mcm) di 6 e 8, appunto. In minuscolo, perché immagino che la parola “minimo” faccia pensare a qualcosa di piccolo.
Se ci capita di sommare due frazioni, a denominatore ci conviene usare il minimo comune multiplo dei denominatori, perché ci troveremo con numeri più piccoli. Ma come si fa a sapere qual è il mcm di due numeri? Più semplice di quanto possa sembrare a prima vista: si moltiplicano tra di loro i due numeri e si divide il risultato per il loro massimo comun divisore. In fin dei conti il MCD indica proprio quali fattori sono in comune tra i due numeri, e quindi è inutile contare doppi. E come si fa a sapere qual è il massimo comun divisore dei numeri? Beh, quello lo racconto la prossima volta :-)