Una delle caratteristiche più sorprendenti, almeno per me, dei numeri naturali è il teorema di fattorizzazione unica. Nulla ci potrebbe fare immaginare a priori che un qualunque numero (e ce ne sono infiniti!) potrà sempre essere scritto in unico modo come prodotto di elementi di un insieme anch’esso infinito ma molto più “piccolo”: i numeri primi, i mattoni con cui si formano i numeri per mezzo della moltiplicazione. Certo, il fatto che possiamo moltiplicare il numero per 1 quante volte vogliamo ci rovina un po’ la festa; anzi, ce la rovina così tanto che a un certo punto i matematici hanno deciso di eliminare 1 dall’elenco dei numeri primi, mettendolo in una categoria a parte: quella delle unità, o se preferite degli invertibili. In effetti 1 è l’unico numero naturale il cui inverso è ancora un naturale: ed è questo che gli permette di essere presente in un numero di copie a piacere: tutte le volte che ce n’è uno basta moltiplicare anche per il suo inverso (che in questo caso è sempre 1) ed è come se non avessimo fatto nulla. In effetti se al posto dei numeri naturali usiamo gli interi succede che all’unità 1 si aggiunge il suo opposto -1 ma la fattorizzazione unica resta, mentre se passiamo ai numeri razionali, dove tutti gli elementi tranne 0 sono invertibili, non ha senso parlare di fattorizzazione.

Potrmmmo chiederci cosa succede se ampliamo la definizione di interi: sempre con una difficoltà geneale a trovare un inverso, ma su insiemi più ampi dei numeri interi. Il primo candidato che viene in mente è il campo dei numeri complessi, dove potremmo prendere i numeri della forma $a + bi$ dove $a$ e $b$ sono numeri interi. Questi numeri si chiamano interi di Gauss, l’insieme relativo si indica come $\mathbb{Z}[i]$ oppure $\mathbb{Z}[-1]$, dove si prender il numero tra parentesi quadre, si fa la sua radice quadrata e lo si aggiunge alla struttura numerica di $\mathbb{Z}$, e giocano appunto nel campo dei complessi lo stesso ruolo che gli interi giocano tra i reali. Cosa succede con questi numeri, almeno per quanto riguarda la fattorizzazione? Per esempio, 2 non è un numero primo: infatti è il prodotto $(1+i)(1-i)$. Anzi, è addirittura un quadrato: infatti i numeri invertibili negli interi di Gauss sono $1, -1, i, -i$ e abbiamo $i(1-i)^2 = 2$. Perché ci sono solo quei quattro invertibili? Semplice. Sappiamo che l’inverso di un numero complesso $a + bi$ ha a denominatore la sua norma $|a^2 + b^2|$, e l’unica possibilità per cui la norma sia 1 è che uno tra $a$ e $b$ valga 1 e l’altro valga 0. In compenso, 3 continua a non avere divisori, e quindi è un numero primo di Gauss (d’accordo, la fantasia nei nomi è poca). Ci sono poi numeri primi anche tra gli immaginari e i complessi: $3i$ è primo, perché il prodotto di un invertibile per un numero primo, e $1-i$ è anch’esso primo. Nella figura in cima alla pagina vedete una rappresentazione grafica dei primi di Gauss “piccoli”.

In definitiva, un intero di Gauss $a + bi$ è un primo di Gauss se:

• è un numero reale o immaginario puro, e il suo valore assoluto è un numero primo della forma $4k = 3$;
• è $\pm 1 \pm i$;
• $a$ e $b$ sono entrambi non nulli e $a^2 + b^2$ è un nuemro primo (e quindi della forma $4k + 3$.

In definitiva, pare che il concetto di numero primo sia comunque qualcosa di naturale anche se passiamo da una a due dimensioni numeriche. Sarà proprio vero?

Immagine di Dr Zibu, da Wikimedia Commons)