La scorsa settimana vi ho raccontato della scoperta di un nuovo numero primo di Mersenne. Mi è stato chiesto se queste ricerche servano a qualcosa, anche solo a verificare che le CPU (e ora le GPU) funzionino correttamente.

La risposta, mi spiace dirvelo, è no. Certo, è utile far fare dei conti pesanti a un processore, soprattutto se nuovo: ma innanzitutto non si cercano nuovi record, che sarebbero da verificare indipendentemente, e in secondo luogo conviene computare un po’ di cifre di pi greco, che possono essere statisticamente verificate con la formula BBP. La ricerca di nuovi primi di Mersenne può verificare se ci sono strani scostamenti dalla distribuzione prevista (con una quantità di primi inferiori a n che dovrebbe essere proporzionale a log log n), ma chiunque abbia avuto a che fare con i numeri primi sa che gli scostamenti sono sempre all’ordine del giorno.

E allora perché si cercano questi numeri? Perché ci si diverte a farlo: non credo nemmeno sia per poter dire di avere stabilito un record. Non è poi una delle peggiori cose da fare, secondo me, anche rispetto ad altre ricerche come quella sulla congettura di Goldbach o di quella di Collatz. Poi c’è sempre un certo qual fascino, almeno per me, nel pensare che ci sono strutture (molto ben) nascoste tra i numeri: in fin dei conti è la stessa cosa che abbiamo con i teoremi di incompletezza di Gödel, che ci dicono che se appena cominciamo a mettere un po’ di struttura tra i numeri, nemmeno poi troppa visto che chiediamo solo l’aritmetica di base, la complessità scoppia a punto tale che non possiamo più verificare tutto. Non ci sono dubbi che Gödel fosse un platonista: come è possibile che questa complessità sia solo un prodotto della nostra mente? :-)

Ci sono voluti sei anni e un nuovo algoritmo che sfrutta le GPU, ma lunedì 21 ottobre 2024 il progetto GIMPS ha annunciato che 2^136279841−1 è un numero primo, il 52.mo di Mersenne. Ok, potrebbe essercene qualcun altro, perché non tutti gli esponenti inferiori sono stati testati; ma la cosa è abbastanza improbabile.
I numeri primi di Mersenne si chiamano così perché l’abate Marin Mersenne aveva stilato una lista – non molto precisa, a dire il vero – di quali numeri della forma 2^p−1 sono primi. Perché tanto interesse da parte di Mersenne? Perché se 2^p−1 è primo allora 2^p−1(2^p−1) è un numero perfetto. (Eulero dimostrò poi che tutti i numeri perfetti pari sono di questa forma; nessuno sa se esista un numero perfetto dispari, ma non credo che siano molti i matematici che scommetterebbero sulla sua esistenza). E perché c’è tanto interesse in questi decenni? Perché esiste un algoritmo “relativamente” rapido (di Lucas-Lehmer, dal nome degli scopritori) per verificare se un numero di questo formato è primo. Relativamente rispetto a un numero generico, ovvio: però resta il fatto che se dobbiamo cercare numeri primi grandi tanto vale provare con questi.
E in effetti il GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search, il sito citato all’inizio del post) fa proprio quello. Come dicevo, il vecchio programma Prime95 che era stato quello usato finora per trovare i primi di Mersenne è stato spodestato da un nuovo programma nato per sfruttare le GPU in modo diverso dal fare una ricerca con ChatGPT. Lo scopritore, Luke Durant, è un trentaseienne che ha lavorato in NVIDIA (ma va?) e ha cominciato la sua ricerca solo da un anno, con un cluster di migliaia di GPU sparse su 17 nazioni. Naturalmente la primalità del numero trovato da Durant è stata verificata in modo indipendente da vari programmi diversi tra loro, fatti girare su architetture hardware e tipi di CPU diversa: in questi casi è sempre meglio essere molto attenti a evitare errori invisibili.
Si troveranno altri primi di Mersenne? Chi lo può sapere. Io tra l’altro faccio parte della minoranza convinta che essi siano finiti, anche se non ho nessuna idea di quanti ce ne possano essere…

Un’ultima curiosità: in esadecimale il numero si scrive con un 1 seguito da 34069960 F. Chiaramente tutti i primi di Mersenne sono della forma xFFF…FFF, dove x può valere 1, 3, 7 oppure F.